Страница 66, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

4. Сравни.

$376 + 177 + 223 + 124$ ( ) $800$

$128 + 435 + 165 + 272$ ( ) $1000$

$35 \cdot 10$ ( ) $34 \cdot 20$

$9 \cdot 100$ ( ) $90 \cdot 10$

376 + 177 + 223 + 124 ○ 800

Чтобы сравнить значение выражения с числом 800, нужно сначала вычислить значение выражения. Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа.
Сгруппируем $177$ и $223$, а также $376$ и $124$:
1) $177 + 223 = 400$
2) $376 + 124 = 500$
Теперь сложим полученные результаты:
3) $400 + 500 = 900$
Сравним полученную сумму с числом 800:
$900 > 800$
Ответ: $376 + 177 + 223 + 124 > 800$

128 + 435 + 165 + 272 ○ 1000

Вычислим значение выражения в левой части. Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые.
Сгруппируем $128$ и $272$, а также $435$ и $165$:
1) $128 + 272 = 400$
2) $435 + 165 = 600$
Теперь сложим полученные результаты:
3) $400 + 600 = 1000$
Сравним полученную сумму с числом 1000:
$1000 = 1000$
Ответ: $128 + 435 + 165 + 272 = 1000$

35 · 10 ○ 34 · 20

Вычислим значение каждого выражения, чтобы их сравнить.
1) Вычислим значение выражения слева: $35 \cdot 10 = 350$.
2) Вычислим значение выражения справа: $34 \cdot 20 = 680$.
Сравним полученные результаты:
$350 < 680$
Ответ: $35 \cdot 10 < 34 \cdot 20$

9 · 100 ○ 90 · 10

Вычислим значение каждого выражения.
1) Вычислим значение выражения слева: $9 \cdot 100 = 900$.
2) Вычислим значение выражения справа: $90 \cdot 10 = 900$.
Сравним полученные результаты:
$900 = 900$
Ответ: $9 \cdot 100 = 90 \cdot 10$

5 Найди длину ломаной линии, состоящей из трёх звеньев, если длина первого звена 2 дм 7 см, а длина каждого следующего звена на 1 дм 2 см больше предыдущего.

Для того чтобы найти общую длину ломаной линии, необходимо последовательно вычислить длину каждого из трёх звеньев, а затем сложить полученные значения. Для удобства вычислений переведем все длины в сантиметры, зная, что в одном дециметре 10 сантиметров ($1$ дм $= 10$ см).

1. Вычисление длины первого звена

Длина первого звена по условию равна 2 дм 7 см. Переведем это значение в сантиметры:
$2$ дм $7$ см $= 2 \times 10$ см $+ 7$ см $= 27$ см.

2. Вычисление длины второго звена

Каждое следующее звено длиннее предыдущего на 1 дм 2 см. Выразим эту разницу в сантиметрах:
$1$ дм $2$ см $= 1 \times 10$ см $+ 2$ см $= 12$ см.
Теперь найдем длину второго звена, прибавив эту разницу к длине первого звена:
$27$ см $+ 12$ см $= 39$ см.

3. Вычисление длины третьего звена

Длина третьего звена на 12 см больше длины второго:
$39$ см $+ 12$ см $= 51$ см.

4. Вычисление общей длины ломаной

Сложим длины всех трёх звеньев, чтобы найти общую длину ломаной линии:
$27$ см $+ 39$ см $+ 51$ см $= 117$ см.
Переведем итоговый результат обратно в дециметры и сантиметры:
$117$ см $= 110$ см $+ 7$ см $= 11$ дм $7$ см.

Ответ: 11 дм 7 см.

6 Вычисли значения выражений.

$(50 \cdot 7 - 80) : 9 \cdot 2 + 240$

$700 - (400 + 150 \cdot 3) : 2$

$800 : 2 + 60 : 15 \cdot 100$

$420 - 70 \cdot 4 + 381 : 3$

(50 · 7 – 80) : 9 · 2 + 240

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление и умножение слева направо, и в конце сложение.
1) Выполним умножение в скобках: $50 \cdot 7 = 350$.
2) Выполним вычитание в скобках: $350 - 80 = 270$.
3) Теперь выполним деление: $270 : 9 = 30$.
4) Далее выполним умножение: $30 \cdot 2 = 60$.
5) И, наконец, сложение: $60 + 240 = 300$.
Ответ: 300

700 – (400 + 150 · 3) : 2

Сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение, потом сложение), затем деление за скобками, и в последнюю очередь вычитание.
1) Выполним умножение в скобках: $150 \cdot 3 = 450$.
2) Выполним сложение в скобках: $400 + 450 = 850$.
3) Выполним деление: $850 : 2 = 425$.
4) Выполним вычитание: $700 - 425 = 275$.
Ответ: 275

800 : 2 + 60 : 15 · 100

В выражении без скобок сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение.
1) Выполним первое деление: $800 : 2 = 400$.
2) Выполним второе деление: $60 : 15 = 4$.
3) Выполним умножение: $4 \cdot 100 = 400$.
4) Выполним сложение: $400 + 400 = 800$.
Ответ: 800

420 – 70 · 4 + 381 : 3

В выражении без скобок сначала выполняются умножение и деление, а затем вычитание и сложение в порядке их следования (слева направо).
1) Выполним умножение: $70 \cdot 4 = 280$.
2) Выполним деление: $381 : 3 = 127$.
3) Теперь выражение выглядит так: $420 - 280 + 127$. Выполним вычитание: $420 - 280 = 140$.
4) Выполним сложение: $140 + 127 = 267$.
Ответ: 267

7 За 2 ч воробей может пролететь 78 км, а стрекоза — 60 км. Объясни, что означают выражения.

Что означает выражение $78 : 2$:
Скорость воробья.

Что означает выражение $60 : 2$:
Скорость стрекозы.

Что означает выражение $78 : 2 - 60 : 2$:
На сколько километров в час скорость воробья больше скорости стрекозы.

Что означает выражение $78 - 60$:
На сколько километров воробей пролетел больше, чем стрекоза, за 2 часа.

Что означает выражение $(78 - 60) : 2$:
На сколько километров в час скорость воробья больше скорости стрекозы (разность скоростей).

Для начала определим основные величины, данные в задаче:

• Расстояние, которое пролетел воробей: 78 км.
• Расстояние, которое пролетела стрекоза: 60 км.
• Время полета для обоих: 2 ч.

Теперь разберем каждое выражение.

78 : 2

В этом выражении расстояние, которое пролетел воробей (78 км), делится на время его полета (2 ч). По формуле скорости $v = S / t$, где $v$ - скорость, $S$ - расстояние, а $t$ - время, это выражение означает скорость воробья.
$78 : 2 = 39$ (км/ч).
Ответ: Скорость воробья.

60 : 2

Здесь расстояние, которое пролетела стрекоза (60 км), делится на время ее полета (2 ч). Это выражение означает скорость стрекозы.
$60 : 2 = 30$ (км/ч).
Ответ: Скорость стрекозы.

78 : 2 – 60 : 2

Это выражение представляет собой разность между скоростью воробья ($78 : 2$) и скоростью стрекозы ($60 : 2$). Оно показывает, на сколько километров в час скорость воробья больше скорости стрекозы.
$78 : 2 - 60 : 2 = 39 - 30 = 9$ (км/ч).
Ответ: Разница в скоростях воробья и стрекозы (на сколько скорость воробья больше).

78 – 60

Это выражение показывает разницу в расстояниях, которые пролетели воробей и стрекоза за одно и то же время (2 часа). Оно означает, на сколько километров воробей пролетел больше, чем стрекоза, за 2 часа.
$78 - 60 = 18$ (км).
Ответ: Разница в расстоянии, пройденном воробьем и стрекозой за 2 часа.

(78 – 60) : 2

Выражение в скобках ($78 - 60$) — это разница в расстоянии, которое пролетели воробей и стрекоза за 2 часа. Когда мы делим эту разницу в расстоянии на время (2 ч), мы получаем, на сколько километров каждый час расстояние, пройденное воробьем, было больше расстояния, пройденного стрекозой. Это значение равно разнице их скоростей.
$(78 - 60) : 2 = 18 : 2 = 9$ (км/ч).
Ответ: Разница в скоростях воробья и стрекозы, вычисленная через разницу в расстоянии за общее время.

8 Уроки в школе начинаются в 8 ч 30 мин. Каждый урок продолжается 45 мин. Перемены между вторым и третьим уроками, а также между третьим и четвёртым уроками длятся 20 мин. Продолжительность остальных перемен 10 мин. Определи время окончания пятого и шестого уроков.

Для решения задачи составим расписание уроков и перемен.

• Начало занятий: 8 ч 30 мин
• Продолжительность урока: 45 мин
• Продолжительность перемен между 2-м и 3-м, 3-м и 4-м уроками: 20 мин
• Продолжительность остальных перемен: 10 мин

Рассчитаем время окончания каждого урока последовательно:

1. 1-й урок: $8 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 8 \text{ ч } 75 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.
   Перемена 1 (10 мин): $9 \text{ ч } 15 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 25 \text{ мин}$.
2. 2-й урок: $9 \text{ ч } 25 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 70 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин}$.
   Перемена 2 (20 мин): $10 \text{ ч } 10 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.
3. 3-й урок: $10 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 75 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.
   Перемена 3 (20 мин): $11 \text{ ч } 15 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 35 \text{ мин}$.
4. 4-й урок: $11 \text{ ч } 35 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 80 \text{ мин} = 12 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.
   Перемена 4 (10 мин): $12 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 12 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.

Теперь, используя полученные данные, найдем время окончания пятого и шестого уроков.

Пятый урок начинается после четвертой перемены, то есть в 12 ч 30 мин.

Время окончания 5-го урока: $12 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 12 \text{ ч } 75 \text{ мин} = 13 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Ответ: 13 ч 15 мин.

После пятого урока следует "остальная" перемена продолжительностью 10 минут.

Начало шестого урока: $13 \text{ ч } 15 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 13 \text{ ч } 25 \text{ мин}$.

Время окончания 6-го урока: $13 \text{ ч } 25 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 13 \text{ ч } 70 \text{ мин} = 14 \text{ ч } 10 \text{ мин}$.

Ответ: 14 ч 10 мин.

9. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Длина прямоугольника: 56 м 48 м 44 м 40 м 36 м 32 м

Ширина прямоугольника: 12 м 11 м 14 м 9 м 8 м 7 м

Периметр прямоугольника: 136 м 126 м 116 м 98 м 88 м 78 м

Объясни, почему периметр прямоугольника уменьшается на 10 м.

Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Для вычисления пропущенных значений воспользуемся формулой периметра прямоугольника $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

1. Для первого прямоугольника (длина 56 м, ширина 12 м):
Необходимо найти периметр. $P = 2 \times (56 + 12) = 2 \times 68 = 136$ м.

2. Для второго прямоугольника (ширина 11 м, периметр 126 м):
Необходимо найти длину. Сначала найдем полупериметр (сумму длины и ширины): $a + b = P / 2 = 126 / 2 = 63$ м.
Теперь найдем длину: $a = 63 - 11 = 52$ м.

3. Для третьего прямоугольника (длина 48 м, периметр 116 м):
Необходимо найти ширину. Найдем полупериметр: $a + b = P / 2 = 116 / 2 = 58$ м.
Теперь найдем ширину: $b = 58 - 48 = 10$ м.

4. Для четвертого прямоугольника (длина 44 м, ширина 9 м):
Необходимо найти периметр. $P = 2 \times (44 + 9) = 2 \times 53 = 106$ м.

5. Для пятого прямоугольника (длина 40 м, ширина 8 м):
Необходимо найти периметр. $P = 2 \times (40 + 8) = 2 \times 48 = 96$ м.

6. Для шестого прямоугольника (длина 36 м, ширина 7 м):
Необходимо найти периметр. $P = 2 \times (36 + 7) = 2 \times 43 = 86$ м.

Пропущенные значения в таблице по порядку: 136 м, 52 м, 10 м, 106 м, 96 м, 86 м.
Ответ: 136 м, 52 м, 10 м, 106 м, 96 м, 86 м.

Объясни, почему периметр прямоугольника уменьшается на 10 м.

Если проанализировать данные в таблице, можно заметить закономерность изменения длины и ширины прямоугольников при переходе от одного столбца к другому:
- Длина каждый раз уменьшается на 4 м (ряд длин: 56, 52, 48, 44, 40, 36).
- Ширина каждый раз уменьшается на 1 м (ряд ширин: 12, 11, 10, 9, 8, 7).
Следовательно, сумма длины и ширины ($a+b$) для каждого следующего прямоугольника уменьшается на $4 \text{ м} + 1 \text{ м} = 5$ м.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (a+b)$. Так как сумма $(a+b)$ уменьшается на 5 м, то периметр, который в два раза больше этой суммы, должен уменьшаться на $2 \times 5 \text{ м} = 10$ м.
Вычисленные значения периметра подтверждают эту закономерность: 136 м, 126 м, 116 м, 106 м, 96 м, 86 м. Каждое следующее значение на 10 м меньше предыдущего.
Ответ: Периметр уменьшается на 10 м, потому что при переходе к следующему прямоугольнику его длина уменьшается на 4 м, а ширина — на 1 м. В результате их сумма (полупериметр) уменьшается на 5 м, а периметр, который вдвое больше этой суммы, уменьшается на $2 \times 5 = 10$ м.

10 В двух канистрах 28 л бензина. Если из первой канистры взять 3 л бензина, а во вторую добавить 2 л, то во второй канистре бензина будет на 7 л больше, чем останется в первой. Сколько литров бензина было первоначально в каждой канистре?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество бензина в первой канистре (в литрах), а $y$ — первоначальное количество бензина во второй канистре (в литрах).

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

1. Общее количество бензина в двух канистрах составляет 28 литров. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 28$

2. После того как из первой канистры взяли 3 литра, в ней осталось $(x - 3)$ литра бензина. После того как во вторую канистру добавили 2 литра, в ней стало $(y + 2)$ литра бензина. По условию, во второй канистре стало на 7 литров больше, чем в первой. Это дает нам второе уравнение:

$(y + 2) - (x - 3) = 7$

Теперь решим полученную систему уравнений. Сначала упростим второе уравнение:

$y + 2 - x + 3 = 7$

$y - x + 5 = 7$

$y - x = 7 - 5$

$y - x = 2$

Итак, наша система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} x + y = 28 \\ y - x = 2 \end{cases}$

Сложим оба уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$(x + y) + (y - x) = 28 + 2$

$2y = 30$

$y = 15$

Мы нашли первоначальное количество бензина во второй канистре — 15 литров. Теперь найдем количество бензина в первой канистре, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x + 15 = 28$

$x = 28 - 15$

$x = 13$

Таким образом, первоначально в первой канистре было 13 литров бензина, а во второй — 15 литров.

Проведем проверку:

1. Сумма начальных объемов: $13 + 15 = 28$ литров. Это соответствует условию.

2. После изменений: в первой канистре стало $13 - 3 = 10$ литров, во второй стало $15 + 2 = 17$ литров.

3. Разница между объемами после изменений: $17 - 10 = 7$ литров. Это также соответствует условию.

Ответ: первоначально в первой канистре было 13 литров бензина, а во второй — 15 литров.