Страница 48, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

5 Сравни значения выражений, не выполняя вычислений полностью.

$56 \cdot 8$ $56 \cdot 2 \cdot 4$

$32 \cdot 7$ $32 \cdot 3 + 32 \cdot 4$

$34 \cdot 6$ $34 \cdot 3 \cdot 3$

$19 \cdot 3$ $19 \cdot 8 - 19 \cdot 2$

$81 \cdot 9$ $81 \cdot 2 \cdot 5$

$74 \cdot 8$ $74 \cdot 4 + 75 \cdot 4$

6 В стакан вмещается 8 столовых ложек манной крупы, по 25 г в каждой. Сколько чайных ложек манной крупы вмещается в такой стакан, если в одной чайной ложке 8 г крупы?

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала найти общую массу манной крупы, которая вмещается в стакан, а затем рассчитать, сколько это составит в чайных ложках.

1. Найдём общую вместимость стакана в граммах.

Известно, что в стакан вмещается 8 столовых ложек манной крупы, а в каждой столовой ложке находится 25 граммов. Чтобы найти общую массу, умножим количество ложек на массу крупы в одной ложке:

$8 \times 25 = 200$ (г)

Таким образом, общая масса манной крупы, которая вмещается в стакан, составляет 200 граммов.

2. Рассчитаем, сколько чайных ложек поместится в стакан.

Теперь мы знаем, что в стакан помещается 200 граммов крупы. Также известно, что в одной чайной ложке помещается 8 граммов. Чтобы найти, сколько чайных ложек вмещается в стакан, разделим общую массу крупы на массу в одной чайной ложке:

$200 / 8 = 25$ (ложек)

Ответ: в такой стакан вмещается 25 чайных ложек манной крупы.

7 Для покраски стен было израсходовано 7 одинаковых банок зелёной краски и ещё 8 кг белой краски. Всего было израсходовано 43 кг краски. Сколько килограммов зелёной краски было в одной банке?

Для начала узнаем, какова общая масса израсходованной зелёной краски. Для этого из общей массы всей краски (43 кг) вычтем массу белой краски (8 кг).

1) $43 - 8 = 35$ (кг) – общая масса зелёной краски.

Теперь, зная, что 35 кг зелёной краски было в 7 одинаковых банках, мы можем найти массу краски в одной банке. Для этого общую массу зелёной краски разделим на количество банок.

2) $35 : 7 = 5$ (кг) – масса зелёной краски в одной банке.

Ответ: 5 килограммов зелёной краски было в одной банке.

8 Выполни вычисления.

$(46 + 18) : 16 \cdot 9 – 80 : 5$

$72 \cdot (45 : 9 \cdot 6 – 20) + 58$

$(24 \cdot 3 – 12) : 6 \cdot 8 : 20$

$350 : 7 : 2 + (38 – 9) \cdot 3$

(46 + 18) : 16 · 9 - 80 : 5

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).
1. Выполним действие в скобках: $46 + 18 = 64$.
2. Теперь выражение выглядит так: $64 : 16 · 9 - 80 : 5$.
3. Выполним деление и умножение слева направо: $64 : 16 = 4$, затем $4 · 9 = 36$.
4. Выполним оставшееся деление: $80 : 5 = 16$.
5. Выполним вычитание: $36 - 16 = 20$.

Ответ: 20

72 · (45 : 9 · 6 - 20) + 58

Решаем по действиям, начиная с выражения в скобках.
1. Внутри скобок сначала выполняем деление и умножение слева направо: $45 : 9 = 5$, затем $5 · 6 = 30$.
2. Далее в скобках выполняем вычитание: $30 - 20 = 10$.
3. Теперь выражение выглядит так: $72 · 10 + 58$.
4. Выполняем умножение: $72 · 10 = 720$.
5. В конце выполняем сложение: $720 + 58 = 778$.

Ответ: 778

(24 · 3 - 12) : 6 · 8 : 20

Решаем по действиям, начиная с выражения в скобках.
1. Внутри скобок сначала выполняем умножение: $24 · 3 = 72$.
2. Затем в скобках выполняем вычитание: $72 - 12 = 60$.
3. Теперь выражение выглядит так: $60 : 6 · 8 : 20$.
4. Выполняем деление и умножение слева направо: $60 : 6 = 10$, затем $10 · 8 = 80$, и наконец $80 : 20 = 4$.

Ответ: 4

350 : 7 : 2 + (38 - 9) · 3

Решаем по действиям, соблюдая их порядок.
1. Сначала выполняем действие в скобках: $38 - 9 = 29$.
2. Теперь выражение выглядит так: $350 : 7 : 2 + 29 · 3$.
3. Выполняем деление и умножение. Деление слева направо: $350 : 7 = 50$, затем $50 : 2 = 25$. Умножение: $29 · 3 = 87$.
4. Выражение упрощается до $25 + 87$.
5. Выполняем сложение: $25 + 87 = 112$.

Ответ: 112

9 Вычисли удобным способом.

$268 - (168 + 70)$

$479 - (50 + 79)$

$198 + 399 + 167 + 226$

$435 + 65 + 19$

$600 - (30 + 270)$

$286 + 114 + 279 + 21$

$268 - (168 + 70)$: Удобно воспользоваться свойством вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Раскроем скобки и получим выражение: $268 - 168 - 70$. Сначала выполним вычитание $268 - 168$, так как это легко сделать в уме: $268 - 168 = 100$. Затем из полученного результата вычтем $70$: $100 - 70 = 30$.
Ответ: $30$.

$479 - (50 + 79)$: Применим свойство вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Чтобы упростить вычисление, поменяем вычитаемые местами: $479 - 79 - 50$. Сначала вычтем $79$ из $479$, так как у чисел одинаковые последние две цифры: $479 - 79 = 400$. Затем из полученного результата вычтем $50$: $400 - 50 = 350$.
Ответ: $350$.

$198 + 399 + 167 + 226$: Для удобства вычислений представим числа, близкие к круглым, в виде разности: $198 = 200 - 2$ и $399 = 400 - 1$. Заменим числа в выражении: $(200 - 2) + (400 - 1) + 167 + 226$. Сгруппируем слагаемые: $(200 + 400 + 167 + 226) - 2 - 1$. Выполним сложение в скобках: $200 + 400 = 600$; $600 + 167 = 767$; $767 + 226 = 993$. Теперь выполним вычитание: $993 - 3 = 990$.
Ответ: $990$.

$435 + 65 + 19$: Воспользуемся сочетательным свойством сложения. Удобно сгруппировать первые два слагаемых, так как их сумма дает круглое число: $(435 + 65) + 19$. Вычислим сумму в скобках: $435 + 65 = 500$. Затем к полученному результату прибавим $19$: $500 + 19 = 519$.
Ответ: $519$.

$600 - (30 + 270)$: В данном примере удобнее сначала выполнить действие в скобках, так как сумма чисел $30$ и $270$ является круглым числом. Сложим числа в скобках: $30 + 270 = 300$. Затем выполним вычитание: $600 - 300 = 300$.
Ответ: $300$.

$286 + 114 + 279 + 21$: Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами. Удобно сложить $286$ с $114$ и $279$ с $21$: $(286 + 114) + (279 + 21)$. Вычислим сумму в первой скобке: $286 + 114 = 400$. Вычислим сумму во второй скобке: $279 + 21 = 300$. Теперь сложим полученные результаты: $400 + 300 = 700$.
Ответ: $700$.

10 Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Длина прямоугольника: 2 см, (пусто), 22 см, 32 см, 42 см, (пусто)

Ширина прямоугольника: 3 см, 3 см, (пусто), 3 см, 3 см, 3 см

Периметр прямоугольника: (пусто), 30 см, 50 см, (пусто), (пусто), 110 см

8 Объясни, почему периметр прямоугольника увеличивается на 20 см.

Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Для нахождения пропущенных значений воспользуемся формулой периметра прямоугольника: $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

Расчеты для каждого столбца:

• Столбец 1: Находим периметр.
  Дано: длина $a = 2$ см, ширина $b = 3$ см.
  Решение: $P = 2 \times (2 + 3) = 2 \times 5 = 10$ см.

• Столбец 2: Находим длину.
  Дано: периметр $P = 30$ см, ширина $b = 3$ см.
  Решение: Из формулы $P = 2 \times (a + b)$ выразим $a$: $a = \frac{P}{2} - b$.
  $a = \frac{30}{2} - 3 = 15 - 3 = 12$ см.

• Столбец 3: Находим ширину.
  Дано: периметр $P = 50$ см, длина $a = 22$ см.
  Решение: Из формулы $P = 2 \times (a + b)$ выразим $b$: $b = \frac{P}{2} - a$.
  $b = \frac{50}{2} - 22 = 25 - 22 = 3$ см.

• Столбец 4: Находим периметр.
  Дано: длина $a = 32$ см, ширина $b = 3$ см.
  Решение: $P = 2 \times (32 + 3) = 2 \times 35 = 70$ см.

• Столбец 5: Находим периметр.
  Дано: длина $a = 42$ см, ширина $b = 3$ см.
  Решение: $P = 2 \times (42 + 3) = 2 \times 45 = 90$ см.

• Столбец 6: Находим длину.
  Дано: периметр $P = 110$ см, ширина $b = 3$ см.
  Решение: $a = \frac{P}{2} - b = \frac{110}{2} - 3 = 55 - 3 = 52$ см.

Итоговая заполненная таблица:

Объясни, почему периметр прямоугольника увеличивается на 20 см.

Проанализировав данные в таблице, можно заметить закономерность: ширина прямоугольника во всех столбцах постоянна ($b = 3$ см), а длина $a$ каждый раз увеличивается на 10 см ($12-2=10$, $22-12=10$ и т.д.). Периметры при этом увеличиваются на 20 см ($30-10=20$, $50-30=20$ и т.д.).

Это происходит из-за свойств периметра. Формула периметра: $P = 2a + 2b$.

Поскольку ширина $b$ не меняется, слагаемое $2b$ в формуле остается постоянным. Изменение периметра зависит только от изменения длины $a$.

У прямоугольника две противоположные стороны равны его длине. Когда мы увеличиваем длину на 10 см, каждая из этих двух сторон становится длиннее на 10 см. Следовательно, их общая длина в периметре увеличивается на $10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20$ см.

Математически, если длина увеличивается на $\Delta a = 10$ см, то изменение периметра $\Delta P$ составит: $\Delta P = 2 \times (a + \Delta a) + 2b - (2a + 2b) = 2a + 2\Delta a + 2b - 2a - 2b = 2\Delta a$.
Подставим наше значение: $\Delta P = 2 \times 10 = 20$ см.

Ответ: Периметр увеличивается на 20 см, потому что при неизменной ширине длина прямоугольника увеличивается на 10 см. Так как в формуле периметра участвуют две длины, общее увеличение составляет удвоенное увеличение длины: $2 \times 10 = 20$ см.

11 В гостиницу приехали 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 туристов знали немецкий язык и 83 туриста знали французский. Сколько туристов знали оба языка: французский и немецкий?

Для решения этой задачи воспользуемся методом, основанным на теории множеств, а именно формулой включений-исключений.

1. Найдем количество туристов, которые знают хотя бы один язык.

Всего в гостиницу приехало 100 туристов. Из них 10 не знают ни одного из двух языков. Следовательно, количество туристов, знающих хотя бы один язык (немецкий, французский или оба), равно:

$100 - 10 = 90$ туристов.

2. Найдем количество туристов, знающих оба языка.

Пусть $N$ - множество туристов, знающих немецкий язык, а $F$ - множество туристов, знающих французский. По условию, $|N| = 75$ и $|F| = 83$.

Количество туристов, знающих хотя бы один язык, представляет собой объединение этих множеств, $|N \cup F| = 90$.

Формула включений-исключений для двух множеств гласит:

$|N \cup F| = |N| + |F| - |N \cap F|$

Где $|N \cap F|$ — это количество туристов, знающих оба языка (пересечение множеств), которое нам и нужно найти.

Подставим известные значения в формулу:

$90 = 75 + 83 - |N \cap F|$

Сначала выполним сложение:

$90 = 158 - |N \cap F|$

Теперь выразим и найдем $|N \cap F|$:

$|N \cap F| = 158 - 90$

$|N \cap F| = 68$

Таким образом, 68 туристов знали и французский, и немецкий языки.

Ответ: 68

От одной станции отправились одновременно в противоположных направлениях товарный поезд и пассажирский экспресс. Скорость товарного поезда 40 км/ч, а скорость экспресса 180 км/ч. Какое расстояние будет между этими поездами через 2 ч? Реши задачу двумя способами.

1 способ

Этот способ заключается в том, чтобы найти расстояние, которое проехал каждый поезд по отдельности, а затем сложить эти расстояния, так как они движутся в противоположных направлениях.

1. Сначала найдем расстояние, которое проехал товарный поезд за 2 часа. Для этого умножим его скорость на время:
$40 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 80 \, \text{км}$

2. Затем найдем расстояние, которое проехал пассажирский экспресс за 2 часа. Для этого также умножим его скорость на время:
$180 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 360 \, \text{км}$

3. Теперь сложим расстояния, пройденные обоими поездами, чтобы найти общее расстояние между ними:
$80 \, \text{км} + 360 \, \text{км} = 440 \, \text{км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между поездами будет 440 км.

2 способ

Этот способ основан на понятии "скорость удаления". Сначала мы находим общую скорость, с которой поезда удаляются друг от друга, а затем умножаем эту скорость на время.

1. Найдем скорость удаления поездов. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются:
$v_{удаления} = 40 \, \text{км/ч} + 180 \, \text{км/ч} = 220 \, \text{км/ч}$

2. Теперь, зная скорость удаления, найдем расстояние между поездами через 2 часа. Для этого умножим скорость удаления на время:
$220 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 440 \, \text{км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между поездами будет 440 км.

2 Из двух городов, расстояние между которыми 28 км, отправились одновременно в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 35 км/ч, а второй — со скоростью 40 км/ч.

Какое расстояние будет между автобусами через 4 ч?

Реши задачу двумя способами.

35 км/ч

40 км/ч

28 км

?

1 способ

Этот способ заключается в том, чтобы найти расстояние, которое проехал каждый автобус по отдельности, а затем сложить эти расстояния с первоначальным расстоянием между ними.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автобус за 4 часа. Для этого умножим его скорость на время в пути:
$35 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 140 \text{ км}$

2. Теперь найдем расстояние, которое проехал второй автобус за 4 часа:
$40 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

3. Чтобы найти итоговое расстояние между автобусами, нужно сложить расстояние, которое проехал первый автобус, расстояние, которое проехал второй автобус, и первоначальное расстояние между ними:
$140 \text{ км} + 160 \text{ км} + 28 \text{ км} = 328 \text{ км}$

Ответ: через 4 часа расстояние между автобусами будет 328 км.

2 способ

Этот способ основан на понятии "скорость удаления". Так как автобусы едут в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей.

1. Найдем скорость удаления автобусов. Для этого сложим их скорости:
$35 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 75 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем, на сколько километров увеличилось расстояние между автобусами за 4 часа. Для этого умножим скорость удаления на время:
$75 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

3. Чтобы найти итоговое расстояние между автобусами, к первоначальному расстоянию прибавим то расстояние, на которое они удалились друг от друга:
$28 \text{ км} + 300 \text{ км} = 328 \text{ км}$

Ответ: через 4 часа расстояние между автобусами будет 328 км.

$79 \cdot 68 + 435\,268 - (1\,520 - 1\,430) \cdot 62 \div 10$

$(18\,056 - 9\,786 - 1\,270) \div 100 \cdot 16 + 58 \cdot 35$

$79 \cdot 68 + 435 268 - (1 520 - 1 430) \cdot 62 : 10$

Для решения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, а после этого — сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним действие в скобках:
   $1 520 - 1 430 = 90$
2. Выполним первое умножение:
   $79 \cdot 68 = 5 372$
3. Теперь выражение имеет вид: $5 372 + 435 268 - 90 \cdot 62 : 10$. Выполним следующее умножение и деление:
   • $90 \cdot 62 = 5 580$
   • $5 580 : 10 = 558$
4. Подставим полученные значения в выражение: $5 372 + 435 268 - 558$.
5. Выполним сложение и вычитание слева направо:
   • $5 372 + 435 268 = 440 640$
   • $440 640 - 558 = 440 082$

Ответ: $440 082$.

$(18 056 - 9 786 - 1 270) : 100 \cdot 16 + 58 \cdot 35$

Решим второе выражение, соблюдая порядок действий.

1. Сначала выполним действия в скобках слева направо:
   • $18 056 - 9 786 = 8 270$
   • $8 270 - 1 270 = 7 000$
2. Теперь выражение выглядит так: $7 000 : 100 \cdot 16 + 58 \cdot 35$.
3. Выполним деление и умножение слева направо:
   • $7 000 : 100 = 70$
   • $70 \cdot 16 = 1 120$
4. Выполним оставшееся умножение:
   $58 \cdot 35 = 2 030$
5. Теперь выражение приняло вид: $1 120 + 2 030$.
6. Выполним сложение:
   $1 120 + 2 030 = 3 150$

Ответ: $3 150$.

4 От двух пристаней, расстояние между которыми 320 км, одновременно отправились навстречу друг другу две моторные лодки. Через 4 ч лодки встретились. Скорость одной лодки 33 км/ч. Найди скорость другой лодки.

Для решения задачи на встречное движение сначала найдем общую скорость, с которой сближались лодки, а затем, зная скорость одной лодки, вычислим скорость второй.

1. Находим скорость сближения лодок

Скорость сближения показывает, на какое расстояние объекты приближаются друг к другу за единицу времени. Чтобы её найти, нужно общее расстояние, которое было между лодками, разделить на время, через которое они встретились. Обозначим расстояние как $S$, время как $t$, а скорость сближения как $v_{сбл}$.

Формула для скорости сближения: $v_{сбл} = S / t$.

Подставим известные значения из условия задачи: $S = 320$ км, $t = 4$ ч.

$v_{сбл} = 320 / 4 = 80$ (км/ч).

Таким образом, лодки сближались со скоростью 80 км/ч.

2. Находим скорость второй лодки

Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме скоростей движущихся объектов. Обозначим скорость первой лодки как $v_1$, а скорость второй — как $v_2$.

Формула: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

Мы знаем скорость сближения ($v_{сбл} = 80$ км/ч) и скорость первой лодки ($v_1 = 33$ км/ч). Чтобы найти скорость второй лодки, нужно из скорости сближения вычесть скорость первой:

$v_2 = v_{сбл} - v_1$

Подставим известные значения:

$v_2 = 80 - 33 = 47$ (км/ч).

Ответ: 47 км/ч.

5 С первого участка собрали 620 ц пшеницы, со второго участка — в 2 раза больше, чем с первого, а с третьего — в 4 раза меньше, чем с первых двух вместе. Часть собранной пшеницы отправили на мельницу в 12 мешках, по 75 кг в каждом, а остальную пшеницу — в хранилище. Сколько пшеницы отправили в хранилище?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Узнаем, сколько центнеров пшеницы собрали со второго участка.

По условию, со второго участка собрали в 2 раза больше, чем с первого, на котором собрали 620 центнеров (ц).

$620 \text{ ц} \times 2 = 1240 \text{ ц}$

Ответ: со второго участка собрали 1240 ц пшеницы.

2. Узнаем, сколько пшеницы собрали с первого и второго участков вместе.

Сложим количество пшеницы, собранной с первого и второго участков.

$620 \text{ ц} + 1240 \text{ ц} = 1860 \text{ ц}$

Ответ: с первых двух участков вместе собрали 1860 ц пшеницы.

3. Узнаем, сколько пшеницы собрали с третьего участка.

По условию, с третьего участка собрали в 4 раза меньше, чем с первых двух вместе.

$1860 \text{ ц} \div 4 = 465 \text{ ц}$

Ответ: с третьего участка собрали 465 ц пшеницы.

4. Найдем общее количество собранной пшеницы со всех трех участков.

Сложим урожай со всех трех участков.

$1860 \text{ ц} + 465 \text{ ц} = 2325 \text{ ц}$

Ответ: всего с трех участков собрали 2325 ц пшеницы.

5. Рассчитаем, сколько пшеницы в килограммах отправили на мельницу.

На мельницу отправили 12 мешков по 75 килограммов (кг) в каждом.

$12 \times 75 \text{ кг} = 900 \text{ кг}$

Ответ: на мельницу отправили 900 кг пшеницы.

6. Найдем, сколько пшеницы отправили в хранилище.

Сначала переведем общий урожай из центнеров в килограммы, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

$2325 \text{ ц} \times 100 = 232500 \text{ кг}$

Теперь из общего количества пшеницы вычтем ту часть, что отправили на мельницу.

$232500 \text{ кг} - 900 \text{ кг} = 231600 \text{ кг}$

Ответ: в хранилище отправили 231600 кг пшеницы.