Номер 29, страница 8, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Сложение и вычитание. Числа от 1 до 1000. ч. 1 - номер 29, страница 8.

29. Игра «Кто первым получит 100?»

Двое играющих по очереди называют любое число от 1 до 10 и прибавляют его к сумме названных ранее чисел.

Например, Маша называет 8, а Коля − 3 (сумма 11); Маша называет 5 (сумма стала 16), Коля называет 9 (сумма стала 25) и т. д.

Выигрывает тот, кто первым получит 100.

Совет. Чтобы первым получить 100, надо первому получить 89, 79, 69, .... Подумай почему.

29. Игра «Кто первым получит 100?»

Чтобы первому получить 100, надо первому получить 89, 79, 69, ... , потому что тот, кто первый получил такие числа, на следующем ходе может сказать число меньше того, которое необходимо другому игроку, чтобы получить число 100.

Это задача на стратегическое мышление, в которой победа зависит не от случая, а от правильной последовательности ходов. Чтобы найти выигрышную стратегию, нужно рассуждать в обратном порядке — от конца игры к ее началу.

Ключевая идея — это концепция «выигрышных позиций». Выигрышная позиция — это такая сумма, достигнув которой, игрок обеспечивает себе победу при любой игре соперника.

1. Финальная выигрышная позиция — это, очевидно, сумма 100. Чтобы ее достичь, игрок должен сделать последний ход.

2. Предпоследняя выигрышная позиция. Чтобы гарантированно назвать число, которое приведет к сумме 100, игрок должен получить от соперника сумму в диапазоне от 90 до 99. Например, если соперник сделал сумму 95, игрок добавляет 5 и выигрывает. Если соперник сделал сумму 90, игрок добавляет 10. Если 99 — игрок добавляет 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы заставить соперника получить сумму в этом диапазоне [90, 99].

   Это означает, что предыдущая выигрышная позиция — это число, с которого любой ход соперника (добавление числа от 1 до 10) приведет в диапазон [90, 99]. Таким числом является 89. Если игрок достигает суммы 89, соперник обязан добавить число $x$ (где $1 \le x \le 10$), и новая сумма станет $89 + x$, то есть окажется в диапазоне от 90 до 99. После этого первый игрок легко выигрывает.

3. Поиск остальных выигрышных позиций. Теперь нам нужно понять, как гарантированно достичь суммы 89. Логика та же: нужно заставить соперника попасть в диапазон, из которого мы сможем дойти до 89. Этот диапазон — $[89-10, 89-1]$, то есть $[79, 88]$. Значит, нам нужно достичь суммы, с которой любой ход соперника приведет в этот диапазон. И эта сумма — 78.

   Здесь проявляется главная закономерность. Игроки по очереди добавляют числа от 1 до 10. Если один игрок добавляет число $y$, то второй игрок всегда может добавить такое число $x$, чтобы их сумма была равна 11 (он просто выбирает $x = 11 - y$). Поскольку $y$ может быть от 1 до 10, то $x$ всегда будет в допустимом диапазоне от 1 до 10. Таким образом, за один полный круг (ход соперника + свой ход) можно гарантированно увеличить общую сумму на 11.

   Выигрышные позиции — это числа, которые мы должны получать в конце своего хода. Отталкиваясь от цели (100) и «магического числа» 11, мы можем найти всю выигрышную последовательность:

   100 (цель)

   $100 - 11 = 89$

   $89 - 11 = 78$

   $78 - 11 = 67$

   $67 - 11 = 56$

   $56 - 11 = 45$

   $45 - 11 = 34$

   $34 - 11 = 23$

   $23 - 11 = 12$

   $12 - 11 = 1$

   Все эти числа ($1, 12, 23, ..., 89$) дают остаток 1 при делении на 11 (в математике это записывается как $N \equiv 1 \pmod{11}$).

4. Выигрышная стратегия. Выигрывает тот, кто ходит первым. Его стратегия такова:

   • Первым ходом он называет число 1.
   • На каждый последующий ход соперника, который называет число $y$, первый игрок отвечает числом $x = 11 - y$.

   Придерживаясь этой стратегии, первый игрок после каждого своего хода будет получать сумму из выигрышной последовательности: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89. После того как он получит сумму 89, второй игрок будет вынужден назвать число от 1 до 10, получив сумму от 90 до 99. Тогда первый игрок одним ходом доведет сумму до 100 и выиграет.

5. Анализ совета из условия. Совет «Чтобы первым получить 100, надо первому получить 89, 79, 69, ...» указывает на верную идею анализа с конца и правильно определяет ключевую позицию 89. Однако дальнейшая последовательность (79, 69) неверна, так как она основана на вычитании 10. Стратегия, основанная на разнице в 10, не работает, потому что игрок не может гарантировать, что сумма его хода и хода соперника будет равна 10. А вот 11 — может, как было показано выше.

Ответ: Выигрывает первый игрок. Его стратегия заключается в том, чтобы всегда оставлять после своего хода сумму, которая при делении на 11 дает в остатке 1. Для этого он должен:
1. Начать игру, назвав число 1.
2. На каждый следующий ход второго игрока, если тот называет число $y$, первый игрок должен назвать число $11-y$.
Таким образом, первый игрок последовательно достигнет сумм 1, 12, 23, ..., 89. После того как он назовет число, приводящее к сумме 89, второй игрок будет вынужден сделать сумму от 90 до 99, что позволит первому игроку следующим ходом получить ровно 100 и победить.