Страница 3, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

Рассмотри записи 1–12. Соедини их с подходящими названиями тем, которые изучались в 3 классе. Какие ещё темы были изучены?

1. Множество и его элементы

$A = \{2, 4, 7\}$

$2 \in A$

$5 \notin A$

2. Нумерация многозначных чисел

млрд млн тыс. ед.

3 918 002 805

3. Сравнение многозначных чисел

$14\,208 > 999, 5\,367 < 5\,372$

4. Сложение и вычитание многозначных чисел

$ \begin{array}{r} 12345 \\ +\quad 7878 \\ \hline 20223 \end{array} $ $ \begin{array}{r} 600000 \\ -\quad 39434 \\ \hline 560566 \end{array} $

5. Умножение и деление многозначных чисел

$ \begin{array}{r} 902 \\ \times \quad 25 \\ \hline 4510 \\ 1804\phantom{0} \\ \hline 22550 \end{array} $ $ \begin{array}{r} 28560 \begin{array}{|l} 7 \\ \hline 4080 \end{array} \\ - \underline{28 \phantom{000}} \\ 56 \phantom{00} \\ - \underline{56 \phantom{00}} \\ 0 \end{array} $

6. Умножение и деление круглых чисел

$18\,000 \cdot 400 = 7\,200\,000$

$640\,000 : 16\,000 = 40$

7. Решение примеров на порядок действий

$42\,000 - 506 \cdot (152 - 69) = 2$

8. Решение составных уравнений

$3 \cdot (x : 8 - 2) + 6 = 15$

9. Преобразование единиц измерения величин, действия с именованными числами

$5$ ч $6$ мин $= 306$ мин

$2$ т $5$ ц $+ 920$ кг $= 3$ т $4$ ц $20$ кг

10. Переменные и формулы

$S = a \cdot b, A = w \cdot t, s = v \cdot t$

11. Геометрические фигуры, их преобразование и симметрия

Окружность с диагональю

Прямая линия

Треугольник с пунктирной линией симметрии

12. Разностное и кратное сравнение

$a=b+c$

Разностное сравнение

КОМПАС

$a=b \cdot c$

Кратное сравнение

1. Изображение с диаграммой множества $A$, его элементами и записями $A = \{2, 4, 7\}$, $2 \in A$, $5 \notin A$ иллюстрирует тему "Множество и его элементы". Ответ: Множество и его элементы.

2. Таблица с разрядами (млрд, млн, тыс., ед.) и числом $3\ 918\ 002\ 805$ относится к теме "Нумерация многозначных чисел". Ответ: Нумерация многозначных чисел.

3. Неравенства $14\ 208 > 999$ и $5\ 367 < 5\ 372$ являются примерами на "Сравнение многозначных чисел". Ответ: Сравнение многозначных чисел.

4. Примеры сложения и вычитания чисел в столбик относятся к теме "Сложение и вычитание многозначных чисел". Ответ: Сложение и вычитание многозначных чисел.

5. Примеры умножения в столбик ($902 \times 25$) и деления углом ($28\ 560 : 7$) относятся к теме "Умножение и деление многозначных чисел". Ответ: Умножение и деление многозначных чисел.

6. Примеры $18\ 000 \cdot 400 = 7\ 200\ 000$ и $640\ 000 : 16\ 000 = 40$ иллюстрируют тему "Умножение и деление круглых чисел". Ответ: Умножение и деление круглых чисел.

7. Выражение $42\ 000 - 506 \cdot (152 - 69) = 2$ с указанным порядком действий является примером на тему "Решение примеров на порядок действий". Ответ: Решение примеров на порядок действий.

8. Запись $3 \cdot (x : 8 - 2) + 6 = 15$ представляет собой уравнение с неизвестным, что относится к теме "Решение составных уравнений". Ответ: Решение составных уравнений.

9. Примеры преобразования величин, такие как "5 ч 6 мин = 306 мин", и действия с ними, как "2 т 5 ц + 920 кг = 3 т 4 ц 20 кг", относятся к теме "Преобразование единиц измерения величин, действия с именованными числами". Ответ: Преобразование единиц измерения величин, действия с именованными числами.

10. Записи $S=a \cdot b$, $A=w \cdot t$, $s=v \cdot t$ являются формулами, которые связывают различные переменные. Это соответствует теме "Переменные и формулы". Ответ: Переменные и формулы.

11. Изображения окружности с диаметром, пересекающихся и параллельных прямых, а также треугольника с осью симметрии относятся к теме "Геометрические фигуры, их преобразование и симметрия". Ответ: Геометрические фигуры, их преобразование и симметрия.

12. Схема, иллюстрирующая разностное ($a=b+c$) и кратное ($a=b \cdot c$) сравнение, относится к теме "Решение текстовых задач с помощью схем и таблиц". Ответ: Решение текстовых задач с помощью схем и таблиц.

Какие ещё темы были изучены?
Все названия тем из правого столбца соответствуют одной из записей 1–12. Помимо перечисленных, в программе 3 класса также могли изучаться следующие темы: доли и дроби (нахождение доли числа и числа по его доле), нахождение периметра и площади прямоугольника и квадрата, свойства арифметических действий (переместительное, сочетательное, распределительное), решение задач на движение, цену-количество-стоимость. Ответ: Все перечисленные темы были изучены. Дополнительно могли изучаться темы долей и дробей, периметра и площади, свойств арифметических действий и другие виды текстовых задач.

1 а) Попробуй разделить три шоколадки поровну между 4 медвежатами¹.

Запиши, чему равно частное:

$3 : 4 = $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Раздели поровну между 4 медвежатами три шоколадки. Обозначь цифрами от 1 до 4, какие дольки шоколадок получит каждый медвежонок.

Сколько всего долек получит каждый?

Сделай вывод.

Проверь свой вывод по учебнику, с. 3. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попроба разделить 3 на 4. Поскольку делимое (3) меньше делителя (4), результат деления не будет целым числом. Чтобы найти частное, можно представить это деление в виде обыкновенной дроби, где делимое становится числителем, а делитель — знаменателем.

$3 : 4 = \frac{3}{4}$

Ответ: $3 : 4 = \frac{3}{4}$

б) Чтобы поровну разделить 3 шоколадки между 4 медвежатами, нужно каждую из трех шоколадок разделить на 4 равные части (доли), так как медвежат четверо. Каждая такая доля будет составлять $ \frac{1}{4} $ от целой шоколадки.

Теперь раздадим эти доли медвежатам. Обозначим медвежат цифрами от 1 до 4:

• От первой шоколадки (коричневой) дадим по одной доле каждому из четырех медвежат.
• От второй шоколадки (зеленой) также дадим по одной доле каждому медвежонку.
• От третьей шоколадки (желтой) снова дадим по одной доле каждому.

Таким образом, каждый медвежонок получит по одной доле от каждой из трех шоколадок. Подсчитаем, сколько всего долек получит каждый медвежонок:

$1 \text{ (доля)} + 1 \text{ (доля)} + 1 \text{ (доля)} = 3 \text{ (доли)}$

Поскольку каждая доля равна $ \frac{1}{4} $ шоколадки, то всего каждый медвежонок получит 3 доли по $ \frac{1}{4} $, что составляет $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ шоколадки.

Вывод: Деление числа 3 на 4 равносильно нахождению такой части от целого, которая состоит из 3 долей, каждая из которых равна $ \frac{1}{4} $. Таким образом, частное от деления 3 на 4 — это дробь $ \frac{3}{4} $.

Ответ: Каждый медвежонок получит 3 доли. Всего каждый получит $ \frac{3}{4} $ шоколадки.

2 Запиши частное в виде дроби.

а) $3 : 25 = \frac{3}{25}$

б) $1 : 4 = \frac{1}{4}$

в) $m : n = \frac{m}{n}$

Частное от деления одного числа (или выражения) на другое можно представить в виде обыкновенной дроби. Делимое становится числителем дроби (число над чертой), а делитель — знаменателем (число под чертой). Знак деления (:) заменяется дробной чертой.

а) 3 : 25

В этом выражении делимое — это 3, а делитель — 25. Запишем 3 в числитель, а 25 в знаменатель.

$3 : 25 = \frac{3}{25}$

Ответ: $\frac{3}{25}$

б) 1 : 4

Здесь делимое равно 1, а делитель — 4. Запишем 1 в числитель, а 4 в знаменатель.

$1 : 4 = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) m : n

В данном случае делимое — это переменная m, а делитель — переменная n. Запишем m в числитель, а n в знаменатель.

$m : n = \frac{m}{n}$

Ответ: $\frac{m}{n}$

3 Запиши дробь в виде частного:

а) $ \frac{1}{6} $ = ______

б) $ \frac{5}{7} $ = ______

в) $ \frac{a}{b} $ = ______

а) Чтобы записать дробь в виде частного, нужно помнить, что черта дроби означает действие деления. Числитель дроби (число над чертой) является делимым, а знаменатель (число под чертой) — делителем. В данном случае числитель равен 1, а знаменатель равен 6.

Таким образом, дробь $\frac{1}{6}$ можно записать как частное от деления 1 на 6.

$\frac{1}{6} = 1 : 6$

Ответ: $1 : 6$.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим дробь $\frac{5}{7}$ в виде частного. Здесь числитель (делимое) равен 5, а знаменатель (делитель) равен 7.

Запишем операцию деления:

$\frac{5}{7} = 5 : 7$

Ответ: $5 : 7$.

в) Это правило является общим для любых дробей, в том числе и для тех, которые записаны с помощью букв. В дроби $\frac{a}{b}$ числитель — это $a$, а знаменатель — это $b$.

Следовательно, чтобы записать эту дробь в виде частного, нужно $a$ (делимое) разделить на $b$ (делитель).

$\frac{a}{b} = a : b$

Ответ: $a : b$.

4 а) В шахматном турнире приняли участие 54 человека, что составляет 9 % всех учеников школы. Сколько учащихся в этой школе?

б) Составь и реши задачу, обратную задаче (а).

а) По условию задачи, 54 человека составляют 9% от общего числа учеников в школе. Чтобы найти общее количество учеников (что соответствует 100%), мы можем сначала определить, сколько учеников приходится на 1%.

1) Разделим количество участников на соответствующий им процент, чтобы найти, сколько учеников составляет 1%:

$54 \div 9 = 6$ (учеников)

2) Теперь, зная, что 1% — это 6 учеников, найдем общее количество учащихся в школе (100%), умножив это значение на 100:

$6 \times 100 = 600$ (учащихся)

Следовательно, всего в школе 600 учащихся.

Ответ: 600 учащихся.

б) Составим задачу, обратную данной. В обратной задаче известной величиной станет общее количество учеников (которое мы нашли в пункте а), а одной из известных величин (например, количество участников) — искомой.

Условие обратной задачи: В школе учится 600 человек. В шахматном турнире приняли участие 9% всех учеников. Сколько человек приняло участие в турнире?

Решение: Чтобы найти количество участников турнира, необходимо вычислить 9% от общего числа учащихся в школе.

1) Сначала найдем, сколько учеников составляет 1% от общего числа:

$600 \div 100 = 6$ (учеников)

2) Теперь умножим это значение на 9, чтобы найти количество учеников, составляющих 9%:

$6 \times 9 = 54$ (человека)

Таким образом, в шахматном турнире приняли участие 54 человека.

Ответ: 54 человека.

5 К пятизначному числу, сумма цифр которого равна 2, прибавили двузначное число. Получилось снова пятизначное число, сумма цифр которого равна 2. Найди и подчеркни число, которое получилось.

A 20 000

B 11 000

C 10 100

D 10 010

E 10 001

Обозначим исходное пятизначное число как $A$, прибавляемое двузначное число как $XY$, а получившееся в результате сложения пятизначное число как $C$.

По условиям задачи:
1. $A$ – пятизначное число, сумма цифр которого равна 2.
2. $XY$ – двузначное число, то есть $10 \le XY \le 99$.
3. $C = A + XY$.
4. $C$ – пятизначное число, сумма цифр которого также равна 2.

Сначала определим все возможные значения для исходного числа $A$. Пятизначное число не может начинаться с нуля, а сумма его цифр должна быть равна 2. Такими числами являются: 20 000, 11 000, 10 100, 10 010, 10 001.

Итоговое число $C$ также должно быть одним из этих чисел, и оно представлено в вариантах ответа. Наша задача – найти такое число $C$ из предложенных вариантов, для которого существует такое число $A$ из нашего списка, что их разность $C - A$ является двузначным числом.

Проверим последовательно каждый вариант ответа.

A) 20 000
Если итоговое число $C = 20000$, то исходное число $A$ должно быть меньше 20000. Наибольшее возможное $A$ из нашего списка, которое меньше 20000, – это 11000. Найдем разность: $XY = 20000 - 11000 = 9000$. Это не двузначное число. Следовательно, этот вариант не подходит.

B) 11 000
Если итоговое число $C = 11000$, то $A$ должно быть меньше 11000. Наибольшее возможное $A$ из нашего списка, которое меньше 11000, – это 10100. Найдем разность: $XY = 11000 - 10100 = 900$. Это не двузначное число. Следовательно, этот вариант не подходит.

C) 10 100
Если итоговое число $C = 10100$, то $A$ должно быть меньше 10100. Возможные значения для $A$ из нашего списка: 10010 и 10001.
Проверим разность для каждого случая:
1. Если $A = 10010$, то $XY = 10100 - 10010 = 90$. Это двузначное число.
2. Если $A = 10001$, то $XY = 10100 - 10001 = 99$. Это тоже двузначное число.
Поскольку мы нашли как минимум один случай, удовлетворяющий условиям (например, $10010 + 90 = 10100$), этот вариант является правильным ответом.

D) 10 010
Если итоговое число $C = 10010$, то $A$ должно быть меньше 10010. Единственное возможное значение для $A$ из нашего списка – это 10001. Найдем разность: $XY = 10010 - 10001 = 9$. Это не двузначное число. Следовательно, этот вариант не подходит.

E) 10 001
Если итоговое число $C = 10001$, то $A$ должно быть меньше 10001. В нашем списке возможных исходных чисел нет таких, которые были бы меньше 10001. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное число из предложенных вариантов, которое могло получиться в результате, это 10 100.

Ответ: C) 10 100

1 а) Попробуй сравнить углы 1 и 2 с помощью знаков $>, <, =:$

$\angle 1 \square \angle 2$

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Проанализируй рисунки. Почему стороны углов можно продолжать?

Отметь знаком $\checkmark$ те случаи наложения или приложения углов, в которых один из них становится частью другого. Допиши предложения:

«Чтобы сравнить углы, их можно наложить так, чтобы сторона первого угла _______ со стороной второго угла.

Если при этом две другие стороны совпадут, то углы _________.

Если они не совпадут, то меньше угол, сторона которого _______ другого угла».

$\angle AOD \square \angle COD$

$\angle BOC \square$

Проверь свой результат по учебнику, с. 3.

Если нужно, исправь ошибки.

а) Чтобы сравнить углы 1 и 2, необходимо оценить их раствор (пространство между сторонами), а не длину нарисованных сторон. Визуально, раствор угла 1 меньше, чем у угла 2. Это означает, что угол 1 меньше угла 2.
Не зная точного метода сравнения, можно ошибиться, если углы очень похожи по величине. Цель данного задания — научиться сравнивать углы методом наложения, который дает точный результат.
$∠1 < ∠2$

Ответ: $∠1 < ∠2$.

б) Анализ рисунков и свойства сторон угла
Стороны углов можно продолжать, потому что по определению сторона угла — это луч. Луч имеет начало (в вершине угла), но не имеет конца, он простирается бесконечно. На рисунке мы видим лишь части этих лучей, и их нарисованная длина не влияет на величину угла.

Наложение углов
Отметить знаком ✓ следует второй и третий рисунки. В этих случаях один угол становится частью другого при наложении, что позволяет их сравнить. На втором рисунке угол 1 является частью угла 2 ($∠1 < ∠2$), а на третьем — угол 2 является частью угла 1 ($∠2 < ∠1$).

Дополнение предложений
«Чтобы сравнить углы, их можно наложить так, чтобы сторона первого угла совпала со стороной второго угла.» (При этом их вершины также должны быть совмещены).
«Если при этом две другие стороны совпадут, то углы равны».
«Если они не совпадут, то меньше угол, сторона которого окажется внутри другого угла».

Сравнение углов на доске
1. $∠AOD$ и $∠COD$: У этих углов общая вершина $O$ и общая сторона $OD$. Так как луч $OC$ проходит внутри угла $∠AOD$, то угол $∠COD$ является частью угла $∠AOD$. Следовательно, $∠AOD$ больше, чем $∠COD$.
$∠AOD > ∠COD$
2. $∠BOC$ и [?]: Во втором сравнении не указан угол, с которым нужно сравнить $∠BOC$. Это, вероятно, опечатка в задании. Если предположить, что для сравнения взят угол $∠AOD$, то $∠BOC$ также является частью $∠AOD$, и, следовательно, $∠BOC$ меньше $∠AOD$.
$∠BOC < ∠AOD$

Ответ: Стороны углов можно продолжать, так как они являются бесконечными лучами. Отметить ✓ нужно второй и третий рисунки. Пропущенные слова в предложениях: совпала; равны; окажется внутри. Результаты сравнения углов на доске: $∠AOD > ∠COD$; второе сравнение выполнить невозможно из-за отсутствия данных.

2 Сравни углы с помощью знаков $>, <, =:$

$\angle AOD$ $\angle COD$

$\angle AOC$ $\angle AOB$

$\angle BOC$ $\angle BOD$

$\angle BOC$ $\angle AOD$

Для решения этой задачи мы будем сравнивать углы, основываясь на аксиоме о сложении углов. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов. Из этого следует, что целый угол всегда больше любой своей части.

$ \angle AOD \ \Box \ \angle COD $

На рисунке видно, что угол $ \angle AOD $ состоит из нескольких меньших углов. Его можно представить как сумму углов $ \angle AOC $ и $ \angle COD $: $ \angle AOD = \angle AOC + \angle COD $. Поскольку угол $ \angle COD $ является лишь частью угла $ \angle AOD $, а другая его часть, $ \angle AOC $, имеет положительную величину, то весь угол $ \angle AOD $ больше своей части $ \angle COD $.
Ответ: $ \angle AOD > \angle COD $

$ \angle AOC \ \Box \ \angle AOB $

Угол $ \angle AOC $ состоит из суммы углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $. Так как угол $ \angle AOB $ является частью угла $ \angle AOC $, а другая его часть $ \angle BOC $ имеет положительную величину, то $ \angle AOC $ больше, чем $ \angle AOB $.
Ответ: $ \angle AOC > \angle AOB $

$ \angle BOC \ \Box \ \angle BOD $

Угол $ \angle BOD $ состоит из суммы углов $ \angle BOC $ и $ \angle COD $: $ \angle BOD = \angle BOC + \angle COD $. В данном случае, угол $ \angle BOC $ является частью большего угла $ \angle BOD $. Следовательно, угол $ \angle BOC $ меньше угла $ \angle BOD $.
Ответ: $ \angle BOC < \angle BOD $

$ \angle BOC \ \Box \ \angle AOD $

Угол $ \angle AOD $ является самым большим углом на рисунке. Он состоит из суммы трех углов: $ \angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD $. Угол $ \angle BOC $ является одной из частей угла $ \angle AOD $. Поэтому весь угол $ \angle AOD $ больше своей части $ \angle BOC $.
Ответ: $ \angle BOC < \angle AOD $

3 Нарисуй угол $MON$. Проведи «на глаз» биссектрису $OK$ угла $MON$. Сравни все пары получившихся углов.

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов: нарисовать угол, провести в нем биссектрису и затем сравнить полученные углы.

1. Нарисуем угол $∠MON$. Для этого поставим точку $O$, которая будет вершиной угла, и проведем из нее два луча — $OM$ и $ON$. Величина угла может быть любой.

2. Проведем из вершины $O$ луч $OK$ между лучами $OM$ и $ON$. Мы делаем это «на глаз» так, чтобы луч $OK$ разделил угол $∠MON$ на два примерно равных угла. По определению, такой луч называется биссектрисой угла.

3. В результате этих построений мы получили три угла: исходный угол $∠MON$ и два новых, меньших угла — $∠MOK$ и $∠NOK$.

Сравнение всех пар получившихся углов

Теперь сравним все возможные пары этих углов:

• Пара $∠MOK$ и $∠NOK$
  По определению, биссектриса ($OK$) делит исходный угол ($∠MON$) на два абсолютно равных угла. Следовательно, их величины одинаковы.
  $∠MOK = ∠NOK$
• Пара $∠MOK$ и $∠MON$
  Угол $∠MOK$ является частью исходного угла $∠MON$. Так как биссектриса делит угол ровно пополам, то угол $∠MOK$ в два раза меньше, чем весь угол $∠MON$.
  $∠MOK < ∠MON$ (точнее, $∠MOK = \frac{1}{2}∠MON$)
• Пара $∠NOK$ и $∠MON$
  Аналогично, угол $∠NOK$ — это вторая половина исходного угла $∠MON$. Поэтому он также в два раза меньше, чем весь угол $∠MON$.
  $∠NOK < ∠MON$ (точнее, $∠NOK = \frac{1}{2}∠MON$)

Ответ: В результате сравнения мы получили следующие соотношения: $∠MOK = ∠NOK$; угол $∠MOK$ меньше угла $∠MON$; угол $∠NOK$ меньше угла $∠MON$.