Страница 79, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Найди $\frac{2}{9}$ площади прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 15 см.

3

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти полную площадь прямоугольного треугольника, а затем вычислить $\frac{2}{9}$ от этой площади.

1. Находим площадь прямоугольного треугольника. Площадь ($S$) прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$).

Формула площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

По условию задачи, катеты равны 6 см и 15 см. Подставляем эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 3 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$.

Итак, площадь треугольника составляет 45 см².

2. Теперь находим $\frac{2}{9}$ от найденной площади.

Для этого нужно умножить площадь на дробь $\frac{2}{9}$:

$45 \text{ см}^2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{45 \cdot 2}{9} \text{ см}^2 = \frac{90}{9} \text{ см}^2 = 10 \text{ см}^2$.

Этот же результат можно получить, сначала разделив 45 на 9, а затем умножив на 2:

$(45 \div 9) \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: 10 см²

4 Вычисли площадь четырёхугольника ABCD:

$BC = 5 \text{ м}$

$h = 4 \text{ м}$

$AE = 2 \text{ м}$

$FD = 3 \text{ м}$

Для вычисления площади четырёхугольника ABCD, который является трапецией, можно воспользоваться формулой площади трапеции или разбить его на более простые фигуры.

Способ 1: Использование формулы площади трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $
где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Из рисунка имеем:
Верхнее основание $a = BC = 5$ м.
Высота $h = 4$ м.
Нижнее основание $b$ равно сумме длин отрезков AE, EF и FD. Так как EBCF — прямоугольник (поскольку высоты BE и CF перпендикулярны основанию AD), то длина отрезка EF равна длине верхнего основания BC.
$EF = BC = 5$ м.
Теперь найдём длину нижнего основания AD:
$b = AD = AE + EF + FD = 2 \text{ м} + 5 \text{ м} + 3 \text{ м} = 10$ м.

Подставим все значения в формулу площади трапеции:
$ S = \frac{5 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{15}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 2 = 30 $ м².

Способ 2: Сложение площадей простых фигур
Трапецию ABCD можно разделить на три фигуры: прямоугольный треугольник ABE, прямоугольник EBCF и прямоугольный треугольник CFD.

1. Найдём площадь треугольника ABE:
$ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 $ м².

2. Найдём площадь прямоугольника EBCF:
$ S_{EBCF} = EF \cdot BE = 5 \cdot 4 = 20 $ м².

3. Найдём площадь треугольника CFD:
$ S_{CFD} = \frac{1}{2} \cdot FD \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 $ м².

Сложим площади этих трёх фигур, чтобы найти общую площадь трапеции:
$ S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{EBCF} + S_{CFD} = 4 + 20 + 6 = 30 $ м².

Ответ: 30 м².

5 Вычисли и определи, верно ли высказывание:

$(378 \cdot 960 - 112 \cdot 405) : 63 \geq 5040$ Ответ: _________

Для того чтобы определить, верно ли высказывание, необходимо вычислить значение выражения в левой части неравенства и сравнить его с правой частью. Вычисления выполняются согласно порядку действий: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), а затем деление.

1) Выполним первое умножение в скобках:
$378 \cdot 960 = 362880$

2) Выполним второе умножение в скобках:
$112 \cdot 405 = 45360$

3) Теперь выполним вычитание в скобках:
$362880 - 45360 = 317520$

4) Выполним последнее действие — деление:
$317520 : 63 = 5040$

Мы вычислили значение левой части выражения, оно равно $5040$. Теперь подставим это значение в исходное неравенство, чтобы проверить его истинность:
$5040 > 5040$
Это неравенство является ложным, так как число $5040$ равно самому себе, а не строго больше. Следовательно, исходное высказывание неверно.
Ответ: неверно.

6 Сегодня 14 июля, а позавчера было воскресенье. Каким днём недели будет 1 сентября этого года?

Сначала определим, какой сегодня день недели. По условию, позавчера было воскресенье. Это значит, что вчера был понедельник, а сегодня – вторник. Таким образом, 14 июля – это вторник.

Далее посчитаем общее количество дней от 14 июля до 1 сентября. В июле 31 день, значит, после 14-го числа в июле остается $31 - 14 = 17$ дней. В августе 31 день. В сентябре нам нужен первый день, то есть 1 день. Суммируем дни:

$17 \text{ (дней в июле)} + 31 \text{ (день в августе)} + 1 \text{ (день в сентябре)} = 49 \text{ дней}$.

Теперь нужно определить, какой день недели будет через 49 дней. Поскольку дни недели повторяются каждые 7 дней, мы можем разделить общее количество дней на 7, чтобы узнать, сколько полных недель пройдет:

$49 \div 7 = 7$ (остаток 0).

Нулевой остаток означает, что с 14 июля до 1 сентября пройдет ровно 7 полных недель. Следовательно, 1 сентября будет тот же день недели, что и 14 июля, то есть вторник.

Ответ: 1 сентября будет вторник.

3 Реши уравнения:

а) $ \frac{540}{x} = 6 $

б) $ \frac{12 + y}{5} = 6 $

в) $ \frac{90}{z - 7} = 18 $

a) Дано уравнение:
$\frac{540}{x} = 6$
В этом уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (540) разделить на частное (6).
$x = 540 : 6$
$x = 90$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$\frac{540}{90} = 6$
$6 = 6$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: $x = 90$.

б) Дано уравнение:
$\frac{12 + y}{5} = 6$
В этом уравнении выражение $(12 + y)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (6) умножить на делитель (5).
$12 + y = 6 \cdot 5$
$12 + y = 30$
Теперь у нас есть простое уравнение, где $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (30) вычесть известное слагаемое (12).
$y = 30 - 12$
$y = 18$
Проверим решение, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:
$\frac{12 + 18}{5} = \frac{30}{5} = 6$
$6 = 6$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: $y = 18$.

в) Дано уравнение:
$\frac{90}{z - 7} = 18$
В этом уравнении выражение $(z - 7)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (90) разделить на частное (18).
$z - 7 = 90 : 18$
$z - 7 = 5$
Теперь у нас есть простое уравнение, где $z$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (5) прибавить вычитаемое (7).
$z = 5 + 7$
$z = 12$
Проверим решение, подставив найденное значение $z$ в исходное уравнение:
$\frac{90}{12 - 7} = \frac{90}{5} = 18$
$18 = 18$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: $z = 12$.

4 В треугольнике отмечены вершины и, кроме того, по одной точке на каждой из сторон. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? Подчеркни правильный ответ.

A 5

B 10

C 17

D 20

E 21

Для решения задачи необходимо определить общее количество отмеченных точек и использовать комбинаторный подход.

Всего на рисунке отмечено 6 точек: 3 вершины исходного треугольника и 3 точки, расположенные по одной на каждой его стороне.

Чтобы найти количество треугольников, которые можно построить с вершинами в этих точках, нужно найти общее число способов выбрать 3 точки из 6 и вычесть из него те комбинации, которые не образуют треугольник.

Общее число способов выбрать 3 точки из 6 равно числу сочетаний из 6 по 3, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Таким образом, существует 20 способов выбрать 3 точки из 6.

Однако треугольник не образуется, если все три выбранные точки лежат на одной прямой (коллинеарны). В данной задаче есть такие случаи. На каждой стороне исходного треугольника лежат по 3 отмеченные точки: две вершины и одна точка между ними. Эти три точки коллинеарны.

Поскольку у исходного треугольника 3 стороны, то существует ровно 3 набора по три точки, которые лежат на одной прямой. Эти 3 комбинации не образуют треугольников.

Следовательно, чтобы найти количество существующих треугольников, нужно вычесть количество коллинеарных троек точек из общего числа комбинаций:

$20 - 3 = 17$

Значит, можно построить 17 треугольников. Это соответствует варианту ответа C.

Ответ: 17