Страница 76, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Найди:

$\frac{3}{4}$ от 76 ______

$4\%$ от x ______

б) Найди число, если:

$\frac{1}{5}$ его составляет 30 ______

$\frac{1}{n}$ его составляет y ______

а)

Чтобы найти $\frac{3}{4}$ от 76, нужно умножить число 76 на эту дробь.
$76 \cdot \frac{3}{4} = \frac{76 \cdot 3}{4} = 19 \cdot 3 = 57$
Ответ: 57

Чтобы найти 4% от x, нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделить на 100) и умножить на x. 4% - это 0.04.
$x \cdot \frac{4}{100} = x \cdot 0.04 = 0.04x$
Ответ: 0.04x

б)

Чтобы найти число, если $\frac{1}{5}$ его составляет 30, нужно 30 разделить на дробь $\frac{1}{5}$.
$30 \div \frac{1}{5} = 30 \cdot 5 = 150$
Ответ: 150

Чтобы найти число, если $\frac{1}{n}$ его составляет y, нужно y разделить на дробь $\frac{1}{n}$.
$y \div \frac{1}{n} = y \cdot n = yn$
Ответ: yn

2 а) Попробуй составить выражение к задаче:

«$\frac{2}{5}$ дороги составляют 8 км. Чему равна длина всей этой дороги?»

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Реши задачу (а), отвечая на вопросы:

1 – ? км

$\frac{2}{5} - 8$ км

Сколько километров составляет $\frac{1}{5}$ часть дороги? ___________

Чему равна длина всей дороги? ___________

Составь выражение для решения задачи ___________

Сделай вывод: как найти число по его части, выраженной дробью?

Проверь свой вывод по учебнику, с. 89. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй составить выражение к задаче: «$\frac{2}{5}$ дороги составляют 8 км. Чему равна длина всей этой дороги?»

Чтобы найти длину всей дороги (целое число), зная значение её части (8 км) и дробь, которую эта часть составляет ($\frac{2}{5}$), необходимо значение части разделить на эту дробь.

Ответ: $8 \div \frac{2}{5}$.

б) Реши задачу (а), отвечая на вопросы:

Сколько километров составляет $\frac{1}{5}$ часть дороги?

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{2}{5}$ дороги — это 8 км. Это значит, что две равные части из пяти составляют 8 км. Чтобы найти длину одной такой части ($\frac{1}{5}$ дороги), нужно 8 км разделить на количество этих частей, то есть на 2.

$8 \div 2 = 4$ (км).

Ответ: 4 км.

Чему равна длина всей дороги?

Вся дорога состоит из 5 таких равных частей. Мы уже знаем, что одна часть ($\frac{1}{5}$) равна 4 км. Чтобы найти длину всей дороги, нужно длину одной части умножить на общее количество частей, то есть на 5.

$4 \times 5 = 20$ (км).

Ответ: 20 км.

Составь выражение для решения задачи

Мы можем объединить два выполненных действия в одно математическое выражение. Сначала мы делим 8 на 2, чтобы найти размер одной части, а затем умножаем результат на 5, чтобы найти размер целого.

$(8 \div 2) \times 5 = 4 \times 5 = 20$ (км).

Это же выражение можно записать через деление на дробь, как мы сделали в пункте (а):

$8 \div \frac{2}{5} = 20$ (км).

Ответ: $(8 \div 2) \times 5$.

Сделай вывод: как найти число по его части, выраженной дробью?

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно значение этой части разделить на числитель дроби и полученный результат умножить на знаменатель дроби. Другими словами, чтобы найти целое по его части, нужно значение части разделить на дробь, которая ей соответствует.

3 Найди число:

а) $ \frac{2}{3} $ которого составляют 30 м

б) $ \frac{7}{10} $ которого составляют 700 кг

в) 8% которого составляют 64 ц

г) $ \frac{4}{11} $ которого составляют с

а)

Чтобы найти число по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которая эту часть выражает. В данном случае нам известно, что $\frac{2}{3}$ от искомого числа равны 30 м.

Обозначим искомое число через $x$. Тогда получим уравнение:

$\frac{2}{3} \cdot x = 30$

Чтобы найти $x$, разделим 30 на дробь $\frac{2}{3}$:

$x = 30 : \frac{2}{3} = 30 \cdot \frac{3}{2} = \frac{30 \cdot 3}{2} = \frac{90}{2} = 45$ м.

Ответ: 45 м.

б)

Аналогично, нам известно, что $\frac{7}{10}$ от искомого числа равны 700 кг. Обозначим искомое число через $y$.

Составим уравнение:

$\frac{7}{10} \cdot y = 700$

Найдем $y$, разделив 700 на $\frac{7}{10}$:

$y = 700 : \frac{7}{10} = 700 \cdot \frac{10}{7} = \frac{700 \cdot 10}{7} = 100 \cdot 10 = 1000$ кг.

Ответ: 1000 кг.

в)

Нам известно, что 8% от искомого числа составляют 64 ц (центнера). Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $8\% = \frac{8}{100} = 0,08$.

Обозначим искомое число через $z$. Составим уравнение:

$0,08 \cdot z = 64$

Найдем $z$, разделив 64 на 0,08:

$z = 64 : 0,08 = 6400 : 8 = 800$ ц.

Ответ: 800 ц.

г)

Нам известно, что $\frac{4}{11}$ от искомого числа составляют $c$. Обозначим искомое число через $w$.

Составим уравнение:

$\frac{4}{11} \cdot w = c$

Выразим $w$ через $c$:

$w = c : \frac{4}{11} = c \cdot \frac{11}{4} = \frac{11c}{4}$

Ответ: $\frac{11c}{4}$.

4 Расположи дроби $\frac{6}{8}, \frac{3}{9}, \frac{5}{8}, \frac{5}{9}, \frac{6}{7}, \frac{3}{10}$: а) в порядке возрастания б) в порядке убывания.

а) б)

Чтобы расположить дроби в нужном порядке, их необходимо сравнить. Самый простой способ сравнить дроби с разными числителями и знаменателями — это преобразовать их в десятичные дроби. Для удобства вычислений можно предварительно сократить дроби, если это возможно: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Вычислим десятичные значения для каждой дроби:
$\frac{6}{8} = 0.75$
$\frac{3}{9} \approx 0.333...$
$\frac{5}{8} = 0.625$
$\frac{5}{9} \approx 0.555...$
$\frac{6}{7} \approx 0.857...$
$\frac{3}{10} = 0.3$

Теперь расположим полученные десятичные значения в порядке возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему:
$0.3 < 0.333... < 0.555... < 0.625 < 0.75 < 0.857...$
Сопоставив десятичные дроби с их исходными обыкновенными дробями, получим итоговый ряд:
$\frac{3}{10}, \frac{3}{9}, \frac{5}{9}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{3}{10}, \frac{3}{9}, \frac{5}{9}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{6}{7}$

Чтобы расположить дроби в порядке убывания, то есть от наибольшей к наименьшей, нужно записать ряд, полученный в предыдущем пункте, в обратном порядке:
$\frac{6}{7}, \frac{6}{8}, \frac{5}{8}, \frac{5}{9}, \frac{3}{9}, \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{6}{7}, \frac{6}{8}, \frac{5}{8}, \frac{5}{9}, \frac{3}{9}, \frac{3}{10}$

5 Какие числа между 20 и 30 делятся на свою последнюю цифру?

Для решения этой задачи необходимо проверить каждое целое число в интервале от 20 до 30. Интервал "между 20 и 30" означает, что мы рассматриваем числа от 21 до 29 включительно. Для каждого из этих чисел мы должны определить, делится ли оно нацело на свою последнюю цифру.

Выпишем все числа и проверим их по очереди:

Число 21:
Последняя цифра – 1. Любое целое число делится на 1 без остатка.
$21 \div 1 = 21$.
Условие выполняется.

Число 22:
Последняя цифра – 2. Число 22 является четным, поэтому оно делится на 2.
$22 \div 2 = 11$.
Условие выполняется.

Число 23:
Последняя цифра – 3. Проверим, делится ли 23 на 3.
$23 \div 3 = 7$ (остаток 2).
Условие не выполняется.

Число 24:
Последняя цифра – 4.
$24 \div 4 = 6$.
Условие выполняется.

Число 25:
Последняя цифра – 5. Числа, оканчивающиеся на 5 или 0, делятся на 5.
$25 \div 5 = 5$.
Условие выполняется.

Число 26:
Последняя цифра – 6.
$26 \div 6 = 4$ (остаток 2).
Условие не выполняется.

Число 27:
Последняя цифра – 7.
$27 \div 7 = 3$ (остаток 6).
Условие не выполняется.

Число 28:
Последняя цифра – 8.
$28 \div 8 = 3$ (остаток 4).
Условие не выполняется.

Число 29:
Последняя цифра – 9.
$29 \div 9 = 3$ (остаток 2).
Условие не выполняется.

Итак, мы нашли все числа, которые удовлетворяют заданному условию.

Ответ: 21, 22, 24, 25.

1 Вырази в указанных единицах измерения:

$630 \text{ см} = \underline{\hspace{1cm}} \text{ м} \underline{\hspace{1cm}} \text{ дм}$

$630 \text{ с} = \underline{\hspace{1cm}} \text{ мин} \underline{\hspace{1cm}} \text{ с}$

$630 \text{ кг} = \underline{\hspace{1cm}} \text{ ц} \underline{\hspace{1cm}} \text{ кг}$

$630 \text{ см}^2 = \underline{\hspace{1cm}} \text{ дм}^2 \underline{\hspace{1cm}} \text{ см}^2$

$630 \text{ см} = ? \text{ м} ? \text{ дм}$

$630 \text{ кг} = ? \text{ ц} ? \text{ кг}$

630 см = ___ м ___ дм
Чтобы перевести сантиметры (см) в метры (м) и дециметры (дм), воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
Сначала найдем, сколько полных метров содержится в 630 см. Для этого выполним деление с остатком:
$630 \div 100 = 6$ (остаток $30$)
Это означает, что $630 \text{ см} = 6 \text{ м } 30 \text{ см}$.
Теперь переведем оставшиеся 30 см в дециметры:
$30 \text{ см} \div 10 = 3 \text{ дм}$
Таким образом, мы получаем 6 метров и 3 дециметра.
Ответ: 6 м 3 дм.

630 кг = ___ ц ___ кг
Чтобы выразить килограммы (кг) в центнерах (ц) и килограммах, необходимо знать, что в одном центнере 100 килограммов:
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$
Разделим 630 на 100, чтобы найти количество целых центнеров:
$630 \div 100 = 6$ (остаток $30$)
Целая часть от деления (6) — это количество центнеров, а остаток (30) — это количество килограммов.
Следовательно, 630 кг равны 6 центнерам и 30 килограммам.
Ответ: 6 ц 30 кг.

630 с = ___ мин ___ с
Для перевода секунд (с) в минуты (мин) и секунды, вспомним, что в одной минуте 60 секунд:
$1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
Разделим 630 на 60, чтобы найти количество полных минут:
$630 \div 60 = 10$ (остаток $30$)
Результат деления (10) показывает количество минут, а остаток (30) — количество секунд.
Таким образом, 630 секунд — это 10 минут и 30 секунд.
Ответ: 10 мин 30 с.

630 см² = ___ дм² ___ см²
Чтобы перевести квадратные сантиметры (см²) в квадратные дециметры (дм²) и квадратные сантиметры, нужно знать соотношение этих единиц площади.
Так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
Теперь разделим 630 на 100, чтобы найти количество полных квадратных дециметров:
$630 \div 100 = 6$ (остаток $30$)
Целая часть (6) — это количество квадратных дециметров, а остаток (30) — это количество квадратных сантиметров.
Значит, 630 см² равны 6 дм² и 30 см².
Ответ: 6 дм² 30 см².

2 Что общего в данных выражениях? Заполни таблицу и выполни действия:

$1 \text{ м}^2 - 1 \text{ дм}^2 =$

$3 \text{ дм}^2 4 \text{ см}^2 + 26 \text{ см}^2 =$

$80 \text{ мм}^2 \cdot 5 =$

$1 \text{ км}^2 40 \text{ м}^2 : 2 =$

1 мм² 1 см² 1 дм² 1 м² 1 км²

Что общего в данных выражениях?

Общим для всех данных выражений является то, что в них выполняются арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) с именованными числами, которые представляют собой единицы измерения площади (мм², см², дм², м², км²).

Заполни таблицу

В схеме показаны соотношения между единицами площади. Чтобы заполнить ее, нужно указать, во сколько раз одна единица больше другой. Соотношения следующие:
$1 \text{ см}² = 100 \text{ мм}²$ (на дуге между мм² и см² пишем 100).
$1 \text{ дм}² = 100 \text{ см}²$ (на дуге между см² и дм² пишем 100).
$1 \text{ м}² = 100 \text{ дм}²$ (на дуге между дм² и м² пишем 100).
$1 \text{ км}² = 1 000 000 \text{ м}²$ (на дуге между м² и км² пишем 1 000 000).

Выполни действия:

1 м² – 1 дм² =

Для выполнения вычитания необходимо привести величины к одной единице измерения. Переведем квадратные метры в квадратные дециметры. Так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}² = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}²$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$100 \text{ дм}² - 1 \text{ дм}² = 99 \text{ дм}²$.
Ответ: 99 дм².

3 дм² 4 см² + 26 см² =

Для выполнения сложения приведем все величины к наименьшей единице измерения — квадратным сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ дм}² = 100 \text{ см}²$.
Следовательно, $3 \text{ дм}² = 3 \times 100 \text{ см}² = 300 \text{ см}²$.
Первое слагаемое $3 \text{ дм}² 4 \text{ см}²$ равно $300 \text{ см}² + 4 \text{ см}² = 304 \text{ см}²$.
Теперь выполним сложение: $304 \text{ см}² + 26 \text{ см}² = 330 \text{ см}²$.
Результат можно представить в смешанных единицах: $330 \text{ см}² = 300 \text{ см}² + 30 \text{ см}² = 3 \text{ дм}² 30 \text{ см}²$.
Ответ: 330 см² (или 3 дм² 30 см²).

80 мм² · 5 =

Чтобы найти произведение, нужно умножить числовое значение на 5:
$80 \times 5 = 400$.
Следовательно, $80 \text{ мм}² \times 5 = 400 \text{ мм}²$.
Поскольку $1 \text{ см}² = 100 \text{ мм}²$, ответ можно также записать как $4 \text{ см}²$.
Ответ: 400 мм² (или 4 см²).

1 км² 40 м² : 2 =

Для выполнения деления необходимо перевести составное именованное число в одну единицу измерения — квадратные метры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, следовательно, $1 \text{ км}² = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}²$.
Делимое $1 \text{ км}² 40 \text{ м}²$ равно $1 000 000 \text{ м}² + 40 \text{ м}² = 1 000 040 \text{ м}²$.
Теперь выполним деление:
$1 000 040 \text{ м}² : 2 = 500 020 \text{ м}²$.
Ответ: 500 020 м².

3 а) Попробуй выполнить действие:

$6 \text{ га } 8 \text{ а} : 4 = \_\_\_\_$

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Рассмотри таблицу мер площади. Где нарушена закономерность? Догадайся, как её установить с помощью новых единиц площади:

1 ар (пишут: 1 а) и 1 гектар (пишут: 1 га).

$1 \text{ мм}^2 \quad 1 \text{ см}^2 \quad 1 \text{ дм}^2 \quad 1 \text{ м}^2 \quad 1 \text{ а} \quad 1 \text{ га} \quad 1 \text{ км}^2$

$1 \text{ а} = \_\_\_\_ \text{ м}^2$

$1 \text{ га} = \_\_\_\_ \text{ а}$

Как ты думаешь, какую из этих единиц называют соткой? Почему? Проверь себя по учебнику, с. 122. Если нужно, исправь ошибки.

а)

Чтобы выполнить это действие, необходимо знать соотношение между гектарами (га) и арами (а). Как мы узнаем из пункта б), в одном гектаре сто аров: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.

Для удобства вычислений переведем 6 га 8 а в одну единицу измерения — ары.

$6 \text{ га } 8 \text{ а} = 6 \times 100 \text{ а} + 8 \text{ а} = 600 \text{ а} + 8 \text{ а} = 608 \text{ а}$

Теперь выполним деление:

$608 \text{ а} : 4 = 152 \text{ а}$

Наконец, переведем результат обратно в гектары и ары:

$152 \text{ а} = 100 \text{ а} + 52 \text{ а} = 1 \text{ га } 52 \text{ а}$

Ответ: 1 га 52 а.

б)

В таблице мер площади ($1 \text{ мм}^2, 1 \text{ см}^2, 1 \text{ дм}^2, 1 \text{ м}^2, \dots, 1 \text{ км}^2$) существует закономерность: каждая следующая единица в 100 раз больше предыдущей ($1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$, $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$ и так далее). Закономерность нарушена при переходе от квадратного метра ($м^2$) к квадратному километру ($км^2$), так как $1 \text{ км}^2 = 1\;000\;000 \text{ м}^2$, то есть он больше в миллион раз, а не в сто.

Эту закономерность можно восстановить с помощью новых единиц — ара (а) и гектара (га). Если их вставить в ряд, то вся цепочка будет подчиняться правилу умножения на 100:

• 1 ар равен площади квадрата со стороной 10 м, то есть $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
• 1 гектар равен 100 арам, то есть $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
• В свою очередь, 1 квадратный километр равен 100 гектарам, то есть $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$.

Заполняем пропуски:

$1 \text{ а} = \underline{100} \text{ м}^2$

$1 \text{ га} = \underline{100} \text{ а}$

Соткой называют единицу площади ар. Название происходит от слова «сто», потому что 1 ар (1 сотка) равен ста квадратным метрам ($100 \text{ м}^2$).

Ответ: Закономерность нарушена между $м^2$ и $км^2$. $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$; $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$. Соткой называют ар, потому что он равен ста квадратным метрам.

4 a) Вырази в более мелких единицах площади:

$5 \text{ а} = \text{_____ } M^2$

$3 \text{ га} = \text{_____ а}$

$7 \text{ га} = \text{_____ } M^2$

$20 \text{ а} = \text{_____ } M^2$

$12 \text{ га} = \text{_____ а}$

$15 \text{ га} = \text{_____ } M^2$

б) Вырази в более крупных единицах площади:

$400 M^2 = \text{_____ а}$

$800 \text{ а} = \text{_____ га}$

$\text{50 000} M^2 = \text{_____ га}$

$3600 M^2 = \text{_____ а}$

$\text{42 000} \text{ а} = \text{_____ га}$

$\text{9 400 000} M^2 = \text{_____ га}$

Для перевода ар (соток) в квадратные метры, необходимо помнить, что $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$. Умножим количество ар на 100.
$5 \text{ а} = 5 \times 100 = 500 \text{ м}^2$.
Ответ: 500 м².

Аналогично предыдущему примеру, умножаем количество ар на 100:
$20 \text{ а} = 20 \times 100 = 2000 \text{ м}^2$.
Ответ: 2000 м².

Для перевода гектаров в ары используется соотношение $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$. Умножим количество гектаров на 100.
$3 \text{ га} = 3 \times 100 = 300 \text{ а}$.
Ответ: 300 а.

Аналогично предыдущему примеру, умножаем количество гектаров на 100:
$12 \text{ га} = 12 \times 100 = 1200 \text{ а}$.
Ответ: 1200 а.

Для перевода гектаров в квадратные метры используется соотношение $1 \text{ га} = 10\ 000 \text{ м}^2$. Умножим количество гектаров на 10 000.
$7 \text{ га} = 7 \times 10\ 000 = 70\ 000 \text{ м}^2$.
Ответ: 70 000 м².

Аналогично предыдущему примеру, умножаем количество гектаров на 10 000:
$15 \text{ га} = 15 \times 10\ 000 = 150\ 000 \text{ м}^2$.
Ответ: 150 000 м².

Для перевода квадратных метров в ары (сотки), используется соотношение $100 \text{ м}^2 = 1 \text{ а}$. Разделим количество квадратных метров на 100.
$400 \text{ м}^2 = 400 \div 100 = 4 \text{ а}$.
Ответ: 4 а.

Аналогично предыдущему примеру, делим количество квадратных метров на 100:
$3600 \text{ м}^2 = 3600 \div 100 = 36 \text{ а}$.
Ответ: 36 а.

Для перевода ар в гектары используется соотношение $100 \text{ а} = 1 \text{ га}$. Разделим количество ар на 100.
$800 \text{ а} = 800 \div 100 = 8 \text{ га}$.
Ответ: 8 га.

Аналогично предыдущему примеру, делим количество ар на 100:
$42\ 000 \text{ а} = 42\ 000 \div 100 = 420 \text{ га}$.
Ответ: 420 га.

Для перевода квадратных метров в гектары используется соотношение $10\ 000 \text{ м}^2 = 1 \text{ га}$. Разделим количество квадратных метров на 10 000.
$50\ 000 \text{ м}^2 = 50\ 000 \div 10\ 000 = 5 \text{ га}$.
Ответ: 5 га.

Аналогично предыдущему примеру, делим количество квадратных метров на 10 000:
$9\ 400\ 000 \text{ м}^2 = 9\ 400\ 000 \div 10\ 000 = 940 \text{ га}$.
Ответ: 940 га.