Страница 77, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Рассмотри фигуры. Как их можно назвать? Проведи линии.

четырёхугольник

прямоугольник

квадрат

прямая

треугольник

окружность

четырёхугольник – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти вершины. На изображении есть три фигуры, которые подходят под это определение: квадрат, прямоугольник и трапеция.

Ответ: слово «четырёхугольник» можно применить к трём фигурам на изображении: квадрату, прямоугольнику и трапеции.

прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). Важно помнить, что квадрат является частным случаем прямоугольника, так как у него тоже все углы прямые. Таким образом, на изображении две фигуры являются прямоугольниками.

Ответ: слово «прямоугольник» относится к прямоугольнику и квадрату.

квадрат – это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны. Это частный случай и прямоугольника, и ромба. На изображении такая фигура одна, она расположена вверху слева.

Ответ: слово «квадрат» относится к фигуре с четырьмя равными сторонами и прямыми углами.

прямая – это линия, которая не искривляется и не имеет ни начала, ни конца. На рисунке мы видим отрезок прямой, который пересекает плоскость с фигурами.

Ответ: слово «прямая» относится к линии, которая проведена по диагонали через центр изображения.

треугольник – это многоугольник с тремя вершинами (углами) и тремя сторонами. На изображении есть одна такая фигура.

Ответ: слово «треугольник» относится к фигуре с тремя сторонами, расположенной в нижней части изображения.

окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, называемой центром. На рисунке такая фигура одна.

Ответ: слово «окружность» относится к круглой фигуре в правой верхней части изображения.

2) a) Попробуй найти прямоугольный треугольник, вычисли его площадь.

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Как ты думаешь, почему закрашенный треугольник называют прямоугольным? Определи его площадь, используя площадь прямоугольника-помощника. Сделай вывод.

$S_{\square} = $

$S_{\triangle} = $

Проверь себя по учебнику, с. 91. Если нужно, исправь ошибки.

а)

Из трех представленных треугольников прямоугольным является треугольник $LKM$. У него есть прямой угол при вершине $K$ (угол $LKM$ равен $90^{\circ}$). Прямой угол можно определить с помощью чертежного угольника, как это делает персонаж на рисунке.

Вычислить площадь этого треугольника невозможно, так как в условии задачи не даны длины его сторон. Чтобы найти площадь, нужно знать длины сторон, образующих прямой угол (катетов $LK$ и $KM$).

Что ты пока не знаешь? Я пока не знаю, как вычислять площадь прямоугольного треугольника.

Цель: Узнать формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника и научиться ее применять.

План:
1. Понять, какая связь существует между прямоугольным треугольником и прямоугольником.
2. Использовать формулу площади прямоугольника для нахождения площади треугольника.
3. Сформулировать правило (формулу) для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Ответ: Прямоугольный треугольник — $LKM$. Вычислить его площадь нельзя, так как неизвестны длины его сторон.

б)

Закрашенный треугольник называют прямоугольным, потому что один из его углов прямой (равен $90^{\circ}$). На чертеже такой угол обозначается маленьким квадратом. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. На рисунке их длины обозначены буквами $a$ и $b$.

Чтобы определить площадь треугольника, мы можем достроить его до прямоугольника, как показано пунктирной линией. Стороны этого «прямоугольника-помощника» будут равны катетам треугольника, то есть $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{\square}$) равна произведению его смежных сторон:
$S_{\square} = a \cdot b$

Как видно из рисунка, диагональ делит прямоугольник на два совершенно одинаковых прямоугольных треугольника. Значит, площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) будет в два раза меньше площади всего прямоугольника.
$S_{\triangle} = S_{\square} : 2 = (a \cdot b) : 2$

Вывод: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Ответ: Закрашенный треугольник называют прямоугольным, так как у него есть прямой угол. $S_{\square} = a \cdot b$, $S_{\triangle} = (a \cdot b) : 2$.

3 Найди площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:

а) $8 \text{ см}$ и $25 \text{ см}$

б) $9 \text{ м}$ и $16 \text{ м}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, согласно которой она равна половине произведения длин его катетов. Если обозначить катеты как $a$ и $b$, то формула площади $S$ будет выглядеть следующим образом:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Применим эту формулу для решения задачи.

а) Катеты равны 8 см и 25 см.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 25 \text{ см}$

Сначала умножим $\frac{1}{2}$ на 8:

$S = 4 \text{ см} \cdot 25 \text{ см}$

Теперь умножим 4 на 25:

$S = 100 \text{ см}^2$

Ответ: 100 см².

б) Катеты равны 9 м и 16 м.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ м} \cdot 16 \text{ м}$

В данном случае удобнее сначала умножить $\frac{1}{2}$ на 16:

$S = 9 \text{ м} \cdot 8 \text{ м}$

Теперь умножим 9 на 8:

$S = 72 \text{ м}^2$

Ответ: 72 м².

4 Найди:

а) $ \frac{8}{9} $ от числа 72

б) 5\% от числа 3000

в) число, $ \frac{2}{7} $ которого составляют 28

г) число, 16\% которого составляют 80

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, необходимо найти $\frac{8}{9}$ от числа 72. Выполним умножение: $72 \cdot \frac{8}{9} = \frac{72 \cdot 8}{9}$. Сократим дробь на 9, так как $72 = 8 \cdot 9$: $\frac{8 \cdot 9 \cdot 8}{9} = 8 \cdot 8 = 64$. Ответ: 64

б) Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить число на эту дробь. 5% — это 5 частей из 100, то есть $5\% = \frac{5}{100} = 0.05$. Теперь умножим число 3000 на 0.05: $3000 \cdot 0.05 = 150$. Другой способ — найти 1% от числа, разделив его на 100, и затем умножить на искомое количество процентов: $3000 \div 100 = 30$ (это 1% от 3000). $30 \cdot 5 = 150$. Ответ: 150

в) В этой задаче известна часть числа, и нужно найти целое число. Если $\frac{2}{7}$ от искомого числа $x$ составляют 28, то это можно записать как уравнение: $\frac{2}{7} \cdot x = 28$. Чтобы найти $x$, нужно известную часть (28) разделить на дробь, которую она составляет ($\frac{2}{7}$). Деление на дробь — это то же самое, что умножение на обратную ей дробь: $x = 28 \div \frac{2}{7} = 28 \cdot \frac{7}{2}$. $x = \frac{28 \cdot 7}{2} = 14 \cdot 7 = 98$. Ответ: 98

г) Эта задача аналогична предыдущей. Известно, что 16% от искомого числа $y$ составляют 80. Сначала переведем 16% в десятичную дробь: $16\% = \frac{16}{100} = 0.16$. Получаем уравнение: $0.16 \cdot y = 80$. Чтобы найти $y$, нужно 80 разделить на 0.16: $y = 80 \div 0.16 = \frac{80}{0.16} = \frac{8000}{16} = 500$. Можно также составить пропорцию: 80 — это 16% $y$ — это 100% $y = \frac{80 \cdot 100}{16} = \frac{8000}{16} = 500$. Ответ: 500

5 Вырази в указанных единицах измерения:

2 а = _____ $m^2$

5 га 4 а = _____ а

8 га 3 а = _____ $m^2$

9000 а = _____ га

6 соток = _____ $m^2$

32 $m^2$ = _____ га

7 $dm^2$ = _____ $m^2$

48000 $m^2$ = _____ га _____ а

2 а = ___ м²
Один ар (сотка) равен 100 квадратным метрам. Для перевода аров в квадратные метры необходимо умножить значение в арах на 100.
Соотношение: $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Решение: $2 \text{ а} = 2 \times 100 \text{ м}^2 = 200 \text{ м}^2$.
Ответ: 200

8 га 3 а = ___ м²
Один гектар равен 10 000 квадратных метров, а один ар — 100 квадратным метрам.
Соотношения: $1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Сначала переведем каждую единицу в квадратные метры, а затем сложим результаты.
$8 \text{ га} = 8 \times 10\,000 \text{ м}^2 = 80\,000 \text{ м}^2$
$3 \text{ а} = 3 \times 100 \text{ м}^2 = 300 \text{ м}^2$
$8 \text{ га } 3 \text{ а} = 80\,000 \text{ м}^2 + 300 \text{ м}^2 = 80\,300 \text{ м}^2$.
Ответ: 80 300

6 соток = ___ м²
Одна сотка полностью эквивалентна одному ару, то есть 100 квадратным метрам.
Соотношение: $1 \text{ сотка} = 1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Решение: $6 \text{ соток} = 6 \times 100 \text{ м}^2 = 600 \text{ м}^2$.
Ответ: 600

7 дм² = ___ м²
В одном метре 10 дециметров, следовательно, в одном квадратном метре $10 \times 10 = 100$ квадратных дециметров. Для перевода дм² в м² нужно разделить на 100.
Соотношение: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Решение: $7 \text{ дм}^2 = 7 \div 100 \text{ м}^2 = 0.07 \text{ м}^2$.
Ответ: 0.07

5 га 4 а = ___ а
Один гектар равен 100 арам.
Соотношение: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Переводим гектары в ары и прибавляем оставшиеся ары.
$5 \text{ га} = 5 \times 100 \text{ а} = 500 \text{ а}$
$5 \text{ га } 4 \text{ а} = 500 \text{ а} + 4 \text{ а} = 504 \text{ а}$.
Ответ: 504

9000 а = ___ га
В одном гектаре 100 аров. Для перевода аров в гектары необходимо разделить значение в арах на 100.
Соотношение: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Решение: $9000 \text{ а} = 9000 \div 100 \text{ га} = 90 \text{ га}$.
Ответ: 90

32 м² = ___ га
Один гектар равен 10 000 квадратных метров. Для перевода квадратных метров в гектары нужно разделить на 10 000.
Соотношение: $1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$.
Решение: $32 \text{ м}^2 = 32 \div 10\,000 \text{ га} = 0.0032 \text{ га}$.
Ответ: 0.0032

48 000 м² = ___ га ___ а
Используем соотношения: $1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Сначала найдем целое число гектаров, разделив 48 000 на 10 000.
$48\,000 \text{ м}^2 \div 10\,000 \text{ м}^2/\text{га} = 4.8 \text{ га}$.
Это 4 целых гектара. Найдем остаток в м²:
$48\,000 \text{ м}^2 - 4 \times 10\,000 \text{ м}^2 = 8\,000 \text{ м}^2$.
Теперь переведем остаток в ары, разделив на 100.
$8\,000 \text{ м}^2 \div 100 \text{ м}^2/\text{а} = 80 \text{ а}$.
Таким образом, $48\,000 \text{ м}^2$ равны 4 гектарам и 80 арам.
Ответ: 4 га 80 а

6 Выполни действия. Ответ вырази в возможно более крупных единицах измерения.

$15 \text{ а } 8 \text{ м}^2 - 9 \text{ а } 52 \text{ м}^2 = $

$4 \text{ га } 9 \text{ а } 27 \text{ м}^2 + 6 \text{ га } 73 \text{ м}^2 = $

$38 \text{ а } 4 \text{ м}^2 \cdot 25 = $

$5 \text{ га } 64 \text{ а } : 8 = $

15 а 8 м² - 9 а 52 м² =

Чтобы выполнить вычитание, необходимо привести величины к единой единице измерения. Удобнее всего перевести всё в наименьшую единицу — квадратные метры (м²), используя соотношение $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.

1. Переводим уменьшаемое в квадратные метры:
$15 \text{ а} 8 \text{ м}^2 = 15 \cdot 100 \text{ м}^2 + 8 \text{ м}^2 = 1500 \text{ м}^2 + 8 \text{ м}^2 = 1508 \text{ м}^2$.

2. Переводим вычитаемое в квадратные метры:
$9 \text{ а} 52 \text{ м}^2 = 9 \cdot 100 \text{ м}^2 + 52 \text{ м}^2 = 900 \text{ м}^2 + 52 \text{ м}^2 = 952 \text{ м}^2$.

3. Выполняем вычитание:
$1508 \text{ м}^2 - 952 \text{ м}^2 = 556 \text{ м}^2$.

4. Преобразуем результат в более крупные единицы. Так как в 1 аре 100 м², то:
$556 \text{ м}^2 = 500 \text{ м}^2 + 56 \text{ м}^2 = 5 \text{ а} 56 \text{ м}^2$.

Ответ: 5 а 56 м².

4 га 9 а 27 м² + 6 га 73 м² =

Для сложения переведем все величины в наименьшую единицу измерения — квадратные метры (м²). Используем соотношения: $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.

1. Переводим первое слагаемое:
$4 \text{ га} 9 \text{ а} 27 \text{ м}^2 = 4 \cdot 10000 \text{ м}^2 + 9 \cdot 100 \text{ м}^2 + 27 \text{ м}^2 = 40000 + 900 + 27 = 40927 \text{ м}^2$.

2. Переводим второе слагаемое:
$6 \text{ га} 73 \text{ м}^2 = 6 \cdot 10000 \text{ м}^2 + 73 \text{ м}^2 = 60000 + 73 = 60073 \text{ м}^2$.

3. Выполняем сложение:
$40927 \text{ м}^2 + 60073 \text{ м}^2 = 101000 \text{ м}^2$.

4. Выражаем результат в возможно более крупных единицах:
$101000 \text{ м}^2 = 10 \cdot 10000 \text{ м}^2 + 1000 \text{ м}^2 = 10 \text{ га} + 10 \cdot 100 \text{ м}^2 = 10 \text{ га} 10 \text{ а}$.

Ответ: 10 га 10 а.

38 а 4 м² · 25 =

Чтобы выполнить умножение, сначала переведем составную величину в одну единицу измерения, например, в квадратные метры (м²).

1. Переводим 38 а 4 м² в квадратные метры ($1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$):
$38 \text{ а} 4 \text{ м}^2 = 38 \cdot 100 \text{ м}^2 + 4 \text{ м}^2 = 3804 \text{ м}^2$.

2. Выполняем умножение:
$3804 \text{ м}^2 \cdot 25 = 95100 \text{ м}^2$.

3. Преобразуем полученное значение в более крупные единицы ($1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10000 \text{ м}^2$):
$95100 \text{ м}^2 = 90000 \text{ м}^2 + 5100 \text{ м}^2 = 9 \text{ га} + 51 \text{ а}$.

Ответ: 9 га 51 а.

5 га 64 а : 8 =

Для выполнения деления переведем исходную величину в одну, более мелкую, единицу. Удобно перевести всё в ары (а), используя соотношение $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.

1. Переводим 5 га 64 а в ары:
$5 \text{ га} 64 \text{ а} = 5 \cdot 100 \text{ а} + 64 \text{ а} = 564 \text{ а}$.

2. Выполняем деление. Чтобы избежать дробных чисел в арах, можно продолжить перевод в квадратные метры ($1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$):
$564 \text{ а} = 56400 \text{ м}^2$.
$56400 \text{ м}^2 : 8 = 7050 \text{ м}^2$.

3. Преобразуем результат в более крупные единицы:
$7050 \text{ м}^2 = 7000 \text{ м}^2 + 50 \text{ м}^2 = 70 \text{ а} 50 \text{ м}^2$.

Ответ: 70 а 50 м².

7 Найди значения выражений:

а) $m + 5 \frac{4}{7}$, если $m = \frac{3}{7}, 2 \frac{1}{7}, 3 \frac{6}{7}$

б) $k - 4 \frac{3}{12}$, если $k = 5, 7 \frac{8}{12}, 9 \frac{1}{12}$

а) Найдем значения выражения $m + 5\frac{4}{7}$ для каждого значения $m$.

Если $m = \frac{3}{7}$, то выражение равно:
$\frac{3}{7} + 5\frac{4}{7} = 5 + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) = 5 + \frac{3+4}{7} = 5 + \frac{7}{7} = 5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

Если $m = 2\frac{1}{7}$, то выражение равно:
$2\frac{1}{7} + 5\frac{4}{7} = (2+5) + (\frac{1}{7} + \frac{4}{7}) = 7 + \frac{1+4}{7} = 7 + \frac{5}{7} = 7\frac{5}{7}$.
Ответ: $7\frac{5}{7}$.

Если $m = 3\frac{6}{7}$, то выражение равно:
$3\frac{6}{7} + 5\frac{4}{7} = (3+5) + (\frac{6}{7} + \frac{4}{7}) = 8 + \frac{6+4}{7} = 8 + \frac{10}{7} = 8 + 1\frac{3}{7} = 9\frac{3}{7}$.
Ответ: $9\frac{3}{7}$.

б) Найдем значения выражения $k - 4\frac{3}{12}$ для каждого значения $k$.

Если $k = 5$, то выражение равно:
$5 - 4\frac{3}{12} = 4\frac{12}{12} - 4\frac{3}{12} = (4-4) + (\frac{12}{12} - \frac{3}{12}) = 0 + \frac{12-3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

Если $k = 7\frac{8}{12}$, то выражение равно:
$7\frac{8}{12} - 4\frac{3}{12} = (7-4) + (\frac{8}{12} - \frac{3}{12}) = 3 + \frac{8-3}{12} = 3 + \frac{5}{12} = 3\frac{5}{12}$.
Ответ: $3\frac{5}{12}$.

Если $k = 9\frac{1}{12}$, то выражение равно:
$9\frac{1}{12} - 4\frac{3}{12} = 8\frac{12+1}{12} - 4\frac{3}{12} = 8\frac{13}{12} - 4\frac{3}{12} = (8-4) + (\frac{13}{12} - \frac{3}{12}) = 4 + \frac{10}{12} = 4\frac{10}{12} = 4\frac{5}{6}$.
Ответ: $4\frac{5}{6}$.

8 Два ковша воды – это половина ведёрка, а три чашки – это половина ковша. Сколько чашек в целом ведёрке?

Чтобы найти общее количество чашек в ведёрке, решим задачу по шагам.

1. Узнаем, сколько чашек в одном ковше

В условии сказано, что три чашки — это половина ковша. Чтобы найти, сколько чашек в целом ковше, нужно количество чашек в половине ковша умножить на 2.

$3 \times 2 = 6$ (чашек)

Ответ: в одном ковше 6 чашек.

2. Узнаем, сколько ковшей в одном ведёрке

Также в условии говорится, что два ковша — это половина ведёрка. Чтобы найти, сколько ковшей в целом ведёрке, нужно количество ковшей в половине ведёрка умножить на 2.

$2 \times 2 = 4$ (ковша)

Ответ: в одном ведёрке 4 ковша.

3. Рассчитаем, сколько чашек в целом ведёрке

Теперь мы знаем, что в одном ведёрке помещается 4 ковша, а в каждом ковше — по 6 чашек. Чтобы найти общее количество чашек, нужно умножить количество ковшей в ведёрке на количество чашек в одном ковше.

$4 \times 6 = 24$ (чашки)

Ответ: в целом ведёрке 24 чашки.