Страница 70, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Что общего в каждой паре дробей? Попробуй их сравнить.

$ \frac{7}{8} \square \frac{2}{8} $

$ \frac{2}{4} \square \frac{2}{8} $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Отметь на числовом луче дроби $ \frac{2}{8}, \frac{7}{8}, \frac{2}{4} $. Сравни расположение пар дробей из задания (а). Сделай вывод.

На числовом луче отмечены числа 0, 1, 2.

Проверь себя по учебнику, с. 81. Если нужно, исправь ошибки.

а) В первой паре дробей $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{2}{8} $ общим является одинаковый знаменатель 8. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше. Так как $ 7 > 2 $, то $ \frac{7}{8} > \frac{2}{8} $.
Во второй паре дробей $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{2}{8} $ общим является одинаковый числитель 2. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Так как $ 4 < 8 $, то $ \frac{2}{4} > \frac{2}{8} $.
Ответ: В первой паре общий знаменатель, $ \frac{7}{8} > \frac{2}{8} $. Во второй паре общий числитель, $ \frac{2}{4} > \frac{2}{8} $.

б) Чтобы отметить дроби на числовом луче, необходимо разделить отрезок от 0 до 1 на 8 равных частей. Каждая такая часть будет равна $ \frac{1}{8} $.
- Дробь $ \frac{2}{8} $ будет соответствовать второй отметке от 0.
- Дробь $ \frac{7}{8} $ будет соответствовать седьмой отметке от 0.
- Дробь $ \frac{2}{4} $ приведем к знаменателю 8: $ \frac{2}{4} = \frac{4}{8} $. Она будет соответствовать четвертой отметке от 0.
Сравним расположение пар дробей на луче:
- Точка, соответствующая дроби $ \frac{7}{8} $, расположена правее точки $ \frac{2}{8} $.
- Точка, соответствующая дроби $ \frac{2}{4} $ (т.е. $ \frac{4}{8} $), расположена правее точки $ \frac{2}{8} $.
Вывод: Из двух дробей на числовом луче больше та, которая расположена правее. Это подтверждает результаты сравнения, полученные в пункте (а).
Ответ: На числовом луче дроби располагаются в следующем порядке (слева направо): $ \frac{2}{8} $, $ \frac{2}{4} $, $ \frac{7}{8} $. Расположение точек подтверждает, что $ \frac{7}{8} > \frac{2}{8} $ и $ \frac{2}{4} > \frac{2}{8} $.

2 Сравни дроби:

а) с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2}{6} \Box \frac{5}{6}$ $\frac{5}{15} \Box \frac{2}{15}$ $\frac{8}{21} \Box \frac{10}{21}$ $\frac{12}{18} \Box \frac{4}{18}$

б) с одинаковыми числителями:

$\frac{3}{7} \Box \frac{3}{5}$ $\frac{4}{10} \Box \frac{4}{8}$ $\frac{5}{11} \Box \frac{5}{17}$ $\frac{9}{20} \Box \frac{9}{35}$

в) с одинаковыми числителями или одинаковыми знаменателями:

$\frac{4}{10} \Box \frac{1}{10}$ $\frac{6}{8} \Box \frac{6}{7}$ $\frac{8}{13} \Box \frac{8}{14}$ $\frac{5}{9} \Box \frac{7}{9}$

а) с одинаковыми знаменателями
Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.

Сравним $ \frac{2}{6} $ и $ \frac{5}{6} $.
Знаменатели одинаковы (6). Сравниваем числители: $ 2 < 5 $.
Следовательно, $ \frac{2}{6} < \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{2}{6} < \frac{5}{6} $

Сравним $ \frac{5}{15} $ и $ \frac{2}{15} $.
Знаменатели одинаковы (15). Сравниваем числители: $ 5 > 2 $.
Следовательно, $ \frac{5}{15} > \frac{2}{15} $.
Ответ: $ \frac{5}{15} > \frac{2}{15} $

Сравним $ \frac{8}{21} $ и $ \frac{10}{21} $.
Знаменатели одинаковы (21). Сравниваем числители: $ 8 < 10 $.
Следовательно, $ \frac{8}{21} < \frac{10}{21} $.
Ответ: $ \frac{8}{21} < \frac{10}{21} $

Сравним $ \frac{12}{18} $ и $ \frac{4}{18} $.
Знаменатели одинаковы (18). Сравниваем числители: $ 12 > 4 $.
Следовательно, $ \frac{12}{18} > \frac{4}{18} $.
Ответ: $ \frac{12}{18} > \frac{4}{18} $

б) с одинаковыми числителями
Для сравнения дробей с одинаковыми числителями нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Сравним $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.
Числители одинаковы (3). Сравниваем знаменатели: $ 7 > 5 $.
Следовательно, дробь с меньшим знаменателем (5) больше: $ \frac{3}{7} < \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} < \frac{3}{5} $

Сравним $ \frac{4}{10} $ и $ \frac{4}{8} $.
Числители одинаковы (4). Сравниваем знаменатели: $ 10 > 8 $.
Следовательно, дробь с меньшим знаменателем (8) больше: $ \frac{4}{10} < \frac{4}{8} $.
Ответ: $ \frac{4}{10} < \frac{4}{8} $

Сравним $ \frac{5}{11} $ и $ \frac{5}{17} $.
Числители одинаковы (5). Сравниваем знаменатели: $ 11 < 17 $.
Следовательно, дробь с меньшим знаменателем (11) больше: $ \frac{5}{11} > \frac{5}{17} $.
Ответ: $ \frac{5}{11} > \frac{5}{17} $

Сравним $ \frac{9}{20} $ и $ \frac{9}{35} $.
Числители одинаковы (9). Сравниваем знаменатели: $ 20 < 35 $.
Следовательно, дробь с меньшим знаменателем (20) больше: $ \frac{9}{20} > \frac{9}{35} $.
Ответ: $ \frac{9}{20} > \frac{9}{35} $

в) с одинаковыми числителями или одинаковыми знаменателями
В этом пункте нужно определить, какое из двух правил применимо в каждом случае.

Сравним $ \frac{4}{10} $ и $ \frac{1}{10} $.
Здесь одинаковые знаменатели (10). Применяем правило из пункта а). Сравниваем числители: $ 4 > 1 $.
Следовательно, $ \frac{4}{10} > \frac{1}{10} $.
Ответ: $ \frac{4}{10} > \frac{1}{10} $

Сравним $ \frac{6}{8} $ и $ \frac{6}{7} $.
Здесь одинаковые числители (6). Применяем правило из пункта б). Сравниваем знаменатели: $ 8 > 7 $.
Дробь с меньшим знаменателем больше, следовательно, $ \frac{6}{8} < \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{8} < \frac{6}{7} $

Сравним $ \frac{8}{13} $ и $ \frac{8}{14} $.
Здесь одинаковые числители (8). Применяем правило из пункта б). Сравниваем знаменатели: $ 13 < 14 $.
Дробь с меньшим знаменателем больше, следовательно, $ \frac{8}{13} > \frac{8}{14} $.
Ответ: $ \frac{8}{13} > \frac{8}{14} $

Сравним $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{7}{9} $.
Здесь одинаковые знаменатели (9). Применяем правило из пункта а). Сравниваем числители: $ 5 < 7 $.
Следовательно, $ \frac{5}{9} < \frac{7}{9} $.
Ответ: $ \frac{5}{9} < \frac{7}{9} $

3 Найди:

а) $\frac{1}{12}$ от a

б) $1\%$ от b

а) Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, чтобы найти $\frac{1}{12}$ от числа $a$, необходимо умножить $a$ на $\frac{1}{12}$.
Выполним умножение:
$a \cdot \frac{1}{12} = \frac{a}{12}$
Ответ: $\frac{a}{12}$

б) Процент — это сотая часть числа. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в дробь и умножить число на эту дробь.
1% можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{100}$ или десятичной дроби $0.01$.
Чтобы найти 1% от $b$, умножим $b$ на эту дробь:
$b \cdot \frac{1}{100} = \frac{b}{100}$
Или, используя десятичную дробь:
$b \cdot 0.01 = 0.01b$
Ответ: $\frac{b}{100}$ (или $0.01b$)

4 Найди число, если:

a) $ \frac{1}{5} $ его равна c _____

б) $1\%$ его равен d _____

а)

Пусть искомое число – $x$. По условию задачи, $\frac{1}{5}$ этого числа равна $c$. Составим уравнение:

$\frac{1}{5} \cdot x = c$

Чтобы найти всё число $x$ по его известной части, нужно значение этой части ($c$) разделить на дробь, которая эту часть выражает ($\frac{1}{5}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = c : \frac{1}{5} = c \cdot 5 = 5c$

Таким образом, искомое число равно $5c$.

Ответ: $5c$

б)

Пусть искомое число – $x$. По условию, 1% от этого числа равен $d$.

Один процент – это одна сотая часть числа, то есть $1\% = \frac{1}{100}$. Составим уравнение на основе условия задачи:

$\frac{1}{100} \cdot x = d$

Чтобы найти всё число $x$ по его проценту, нужно значение, соответствующее этому проценту ($d$), разделить на величину процента, выраженную в виде дроби ($\frac{1}{100}$):

$x = d : \frac{1}{100} = d \cdot 100 = 100d$

Таким образом, искомое число равно $100d$.

Ответ: $100d$

5 Мама разрешает Алёше играть в компьютерные игры только по понедельникам, пятницам и нечётным числам. Какое наибольшее число дней подряд Алёша сможет играть?

A 2 B 3 C 4 D 5 E 6

Ответ:

Алёша может играть в компьютерные игры, если выполняется хотя бы одно из трёх условий:

1. День недели — понедельник.
2. День недели — пятница.
3. Число месяца — нечётное (1, 3, 5, ...).

Соответственно, Алёша не может играть, только если все три условия не выполняются. То есть, день игры должен быть не понедельником и не пятницей, и при этом число месяца должно быть чётным. Дни, в которые он не может играть, это: вторник, среда, четверг, суббота или воскресенье, если они выпадают на чётное число.

Чтобы найти наибольшее число дней подряд, когда Алёша может играть, нужно найти самую длинную последовательность дней, в которой нет ни одного "запрещённого" дня. "Запрещённый" день — это день с чётной датой, который не является ни понедельником, ни пятницей.

Рассмотрим ситуацию на стыке двух месяцев, когда один месяц заканчивается нечётным числом, а следующий начинается с нечётного. Например, когда месяц с 31 днём сменяется следующим. Это создаёт последовательность из двух нечётных дат подряд: 31-е число и 1-е число.

Давайте попробуем составить максимально длинную игровую сессию вокруг такого перехода. Пусть какой-либо месяц (например, июль) заканчивается 31-м числом, а следующий (август) начинается 1-м. Рассмотрим такую последовательность дней и дат:

• День 1: Четверг, 29 июля. Число 29 нечётное, значит, Алёша может играть.
• День 2: Пятница, 30 июля. Это пятница, значит, Алёша может играть (несмотря на чётное число).
• День 3: Суббота, 31 июля. Число 31 нечётное, значит, Алёша может играть.
• День 4: Воскресенье, 1 августа. Число 1 нечётное, значит, Алёша может играть.
• День 5: Понедельник, 2 августа. Это понедельник, значит, Алёша может играть (несмотря на чётное число).
• День 6: Вторник, 3 августа. Число 3 нечётное, значит, Алёша может играть.

Мы получили 6 игровых дней подряд. Проверим следующий день:

• День 7: Среда, 4 августа. Это среда (не понедельник и не пятница), и число 4 — чётное. В этот день Алёша играть не может.

Таким образом, максимальная непрерывная серия дней, когда Алёша может играть, составляет 6 дней.

Ответ: 6

1. Мотоциклист едет за велосипедистом. Скорость мотоциклиста 45 км/ч, а велосипедиста - 15 км/ч. Сейчас между ними 60 км. Через сколько времени мотоциклист догонит велосипедиста?

2. Составь выражения к задачам:

а) ? км = $ (x + y) \cdot 8 $

б) $t = ?$ ч = $ b / (x - y) $

в) ? км/ч = $ b / 3 - y $

г) ? км = $ (x + y) \cdot 6 $

3. Определи цену деления шкалы - c. Запиши координаты отмеченных точек и найди расстояние между ними.

$c = 30$ (ед.)

$A(180)$, $B(540)$, $AB = 360$ (ед.)

4*. На одной чашке весов лежат 6 апельсинов, а на другой - 2 дыни. Если к апельсинам добавить одну такую же дыню, то весы будут уравновешены. Сколько апельсинов уравновесят одну дыню?

1.

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста, нужно сначала определить их скорость сближения, а затем разделить на нее начальное расстояние.

1) Скорость сближения ($v_{сбл}$) при движении в одном направлении равна разности скоростей:
$v_{сбл} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста} = 45 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2) Теперь, зная начальное расстояние ($S = 60$ км) и скорость сближения, найдем время ($t$) по формуле $t = S / v_{сбл}$:
$t = 60 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 2 часа.

2. Составь выражения к задачам:

а) Объекты движутся навстречу друг другу. Чтобы найти начальное расстояние между ними, нужно их общую скорость (скорость сближения) умножить на время до встречи. Скорость сближения равна сумме их скоростей.
Выражение: $(x + y) \cdot 8$.
Ответ: $(x + y) \cdot 8$ км.

б) Один объект догоняет другой. Чтобы найти время, которое для этого потребуется, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения. Скорость сближения в данном случае равна разности их скоростей.
Выражение: $b / (x - y)$.
Ответ: $b / (x - y)$ ч.

в) Объекты движутся навстречу друг другу с расстояния $b$ км и встречаются через 3 часа. Скорость сближения равна $b / 3$. Также скорость сближения равна сумме скоростей объектов. Если скорость одного объекта $y$ км/ч, а второго — неизвестная скорость $v$, то $v + y = b / 3$. Отсюда находим $v$.
Выражение: $b/3 - y$.
Ответ: $b/3 - y$ км/ч.

г) Объекты начинают движение навстречу друг другу с расстояния $b$ км. Чтобы найти расстояние между ними через 6 часов, нужно из начального расстояния вычесть то расстояние, на которое они сблизились за это время. Расстояние сближения равно их общей скорости, умноженной на время.
Выражение: $b - (x + y) \cdot 6$.
Ответ: $b - (x + y) \cdot 6$ км.

3. Определи цену деления шкалы – c. Запиши координаты отмеченных точек и найди расстояние между ними.

1) Сначала определим цену деления шкалы (c). Между отметками 0 и 90 находятся 3 деления. Значит, цена одного деления:
$c = 90 / 3 = 30$ (ед.)

2) Теперь найдем координаты точек A и B.
Точка A находится на одно деление левее отметки 180. Её координата: $180 - 30 = 150$.
Точка B находится точно на отметке 540.

3) Найдем расстояние между точками A и B (длину отрезка AB), вычев из координаты точки B координату точки A:
$AB = 540 - 150 = 390$ (ед.)

Заполняем пропуски:
c = 30 (ед.)
A(150), B(540), AB = 390 (ед.)

Ответ: c = 30 ед., A(150), B(540), AB = 390 ед.

4*.

Пусть вес одного апельсина равен $а$, а вес одной дыни равен $д$.
На одной чаше весов лежат 6 апельсинов (их вес $6а$), а на другой — 2 дыни (их вес $2д$).
По условию, если к апельсинам добавить одну дыню, весы придут в равновесие. Это можно записать в виде уравнения:
$6а + д = 2д$

Чтобы найти, скольким апельсинам равен вес одной дыни, решим это уравнение. Вычтем $д$ из обеих частей уравнения:
$6а = 2д - д$
$6а = д$

Это равенство означает, что вес одной дыни равен весу шести апельсинов.

Ответ: 6 апельсинов уравновесят одну дыню.