Страница 40, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Выполни деление $2514 : 4$, используя: а) деление счётных единиц (от более крупных к более мелким); б) деление углом.

а) $25 \text{ с} : 4 = \text{___ с (ост. ___ с)}$

$\text{___ д} : 4 = \text{___ д (ост. ___ д)}$

$\text{___ е} : 4 = \text{___ е (ост. ___ е)}$

б) $2514 \text{ } | \text{ } 4$

Ответ: $2514 : 4 = \text{_____}$

а) деление счётных единиц (от более крупных к более мелким)

Для решения этой задачи мы будем делить число 2514 на 4 по разрядам, начиная со старшего разряда (сотен).

1. Делим сотни. В числе 2514 всего 25 сотен. Делим 25 на 4.
   $25 \text{ с} : 4 = 6 \text{ с}$ (остаток $1 \text{ с}$).
   Первая цифра частного — 6. Остаток 1 сотня, что равно 10 десяткам.

2. Делим десятки. К 10 десяткам из остатка прибавляем 1 десяток из исходного числа: $10 + 1 = 11$ десятков. Делим 11 на 4.
   $11 \text{ д} : 4 = 2 \text{ д}$ (остаток $3 \text{ д}$).
   Вторая цифра частного — 2. Остаток 3 десятка, что равно 30 единицам.

3. Делим единицы. К 30 единицам из остатка прибавляем 4 единицы из исходного числа: $30 + 4 = 34$ единицы. Делим 34 на 4.
   $34 \text{ е} : 4 = 8 \text{ е}$ (остаток $2 \text{ е}$).
   Третья цифра частного — 8. Итоговый остаток от деления всего числа равен 2.

Собирая полученные цифры частного (6 сотен, 2 десятка и 8 единиц), получаем число 628.

Заполненные строки в задании:
25 с : 4 = 6 с (ост. 1 с)
11 д : 4 = 2 д (ост. 3 д)
34 е : 4 = 8 е (ост. 2 е)

Ответ: $2514 : 4 = 628$ (ост. 2).

б) деление углом

Выполним деление столбиком (углом):

Порядок действий:

1. Находим первое неполное делимое — 25. Делим 25 на 4, получаем 6. Записываем 6 в частное. Умножаем $6 \times 4 = 24$. Находим остаток: $25 - 24 = 1$.
2. К остатку 1 сносим следующую цифру 1. Второе неполное делимое — 11. Делим 11 на 4, получаем 2. Записываем 2 в частное. Умножаем $2 \times 4 = 8$. Находим остаток: $11 - 8 = 3$.
3. К остатку 3 сносим следующую цифру 4. Третье неполное делимое — 34. Делим 34 на 4, получаем 8. Записываем 8 в частное. Умножаем $8 \times 4 = 32$. Находим остаток: $34 - 32 = 2$.

Результат: частное 628, остаток 2.

Ответ: $2514 : 4 = 628$ (ост. 2).

2 а) Попробуй найти частное 876 : 24, используя:

деление счётных единиц

$87 \text{ д} : 24 = \underline{\quad} \text{ д (ост. } \underline{\quad} \text{ д)}$

$\underline{\quad} \text{ е} : 24 = \underline{\quad} \text{ е (ост. } \underline{\quad} \text{ е)}$

Ответ: $876 : 24 = \underline{\quad}$

деление углом

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Прочитай шаги алгоритма деления на двузначное число. Определи порядок действий и пронумеруй их.

Найти остаток (если он есть).

Сделать прикидку.

Определить количество цифр в частном.

Соотнести ответ с прикидкой.

Найти цифры в каждом разряде частного.

Найти первое неполное делимое.

Проверь себя по учебнику, с. 40. Сделай вывод. Если нужно, исправь ошибки.

a)

Чтобы найти частное $876 : 24$, используем два предложенных способа.

деление счётных единиц

Этот метод заключается в поразрядном делении числа.

1. Представим число $876$ как сумму разрядных слагаемых: $87$ десятков и $6$ единиц.
2. Сначала делим десятки. Находим, сколько раз $24$ помещается в $87$.
   $24 \times 3 = 72$. Это ближайшее меньшее число. Значит, в частном будет $3$ десятка.
   Находим остаток в десятках: $87 - 72 = 15$ десятков.
   Таким образом, первая строка заполняется так: $87 \text{ д } : 24 = 3 \text{ д (ост. } 15 \text{ д)}$.
3. Остаток ($15$ десятков) переводим в единицы: $15 \text{ д} = 150 \text{ е}$. К ним добавляем $6$ единиц из исходного числа: $150 + 6 = 156 \text{ е}$.
4. Теперь делим единицы. Находим, сколько раз $24$ помещается в $156$.
   $24 \times 6 = 144$. Это ближайшее меньшее число. Значит, в частном будет $6$ единиц.
   Находим остаток в единицах: $156 - 144 = 12$ единиц.
   Вторая строка заполняется так: $156 \text{ е } : 24 = 6 \text{ е (ост. } 12 \text{ е)}$.
5. Собираем частное из десятков и единиц: $3 \text{ д } + 6 \text{ е } = 36$. Окончательный остаток равен $12$.

деление углом

Выполним те же действия в столбик:

Результат деления: частное $36$, остаток $12$.

Ответ:
$87 \text{ д } : 24 = 3 \text{ д (ост. } 15 \text{ д)}$
$156 \text{ е } : 24 = 6 \text{ е (ост. } 12 \text{ е)}$
Ответ: $876 : 24 = 36$ (ост. $12$)

б)

Шаги алгоритма деления на двузначное число необходимо расположить в правильном логическом порядке.

Ответ:

1. Сделать прикидку. (Это помогает заранее оценить, каким примерно будет результат. Например, $876 : 24 \approx 900 : 25 = 36$).
2. Найти первое неполное делимое. (Это первая группа цифр в делимом, которая больше или равна делителю. В нашем случае это $87$).
3. Определить количество цифр в частном. (По первому неполному делимому. $87$ — это десятки, значит, в частном будет две цифры).
4. Найти цифры в каждом разряде частного. (Основной этап вычислений, который повторяется для каждого разряда: деление, умножение, вычитание, снос следующей цифры).
5. Найти остаток (если он есть). (Это число, которое остаётся после последнего вычитания и которое меньше делителя).
6. Соотнести ответ с прикидкой. (Сравнить полученный ответ с предварительной оценкой, чтобы проверить его на правдоподобность. $36$ очень близко к прикидке $36$).

3 Выполни деление, используя алгоритм деления на двузначное число.

Сделай проверку.

а) $2730 \longdiv{35}$ Проверка:

б) $5576 \longdiv{68}$ Проверка:

а) 2730 : 35

1. Определяем первое неполное делимое. 2 на 35 не делится, 27 на 35 не делится, значит, первое неполное делимое — 273.
2. Подбираем первую цифру в частном. Для этого разделим 273 на 35. Можно прикинуть, разделив 27 на 3, получим 9. Но $35 \cdot 9 = 315$, что больше 273. Попробуем 8: $35 \cdot 8 = 280$, тоже много. Попробуем 7: $35 \cdot 7 = 245$. Это подходит. Записываем 7 в частное.
3. Находим остаток: $273 - 245 = 28$.
4. Сносим следующую цифру делимого (0) и получаем второе неполное делимое — 280.
5. Делим 280 на 35. Мы уже знаем из предыдущего шага, что $35 \cdot 8 = 280$. Записываем 8 в частное.
6. Находим остаток: $280 - 280 = 0$. Деление выполнено без остатка.

Запись деления в столбик:

 2730 | 35-245 |--- --- | 78 280- 280 --- 0 

Проверка:

Для проверки нужно частное умножить на делитель. Если результат равен делимому, деление выполнено верно.

$78 \cdot 35 = 2730$

 ×78 35 --- 390+234 ---- 2730 

$2730 = 2730$.

Ответ: 78

б) 5576 : 68

1. Определяем первое неполное делимое. 5 на 68 не делится, 55 на 68 не делится, значит, первое неполное делимое — 557.
2. Подбираем первую цифру в частном. Для этого разделим 557 на 68. Можно прикинуть, разделив 55 на 6, получим 9. Но $68 \cdot 9 = 612$, что больше 557. Попробуем 8: $68 \cdot 8 = 544$. Это подходит. Записываем 8 в частное.
3. Находим остаток: $557 - 544 = 13$.
4. Сносим следующую цифру делимого (6) и получаем второе неполное делимое — 136.
5. Делим 136 на 68. Попробуем 2: $68 \cdot 2 = 136$. Записываем 2 в частное.
6. Находим остаток: $136 - 136 = 0$. Деление выполнено без остатка.

Запись деления в столбик:

 5576 | 68-544 |--- --- | 82 136- 136 --- 0 

Проверка:

Умножим частное на делитель:

$82 \cdot 68 = 5576$

 ×82 68 --- 656+492 ---- 5576 

$5576 = 5576$.

Ответ: 82

2 1. Определи цену деления шкалы - c. Запиши координаты отмеченных точек и найди расстояние между ними.

a) 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360

$c = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

$A(\underline{\hspace{3em}}), B(\underline{\hspace{3em}}), AB = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

б) 0, 32, 64, 96

$c = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

$M(\underline{\hspace{3em}}), N(\underline{\hspace{3em}}), MN = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

в) 0, 1, 2, 3

$c = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

$D(\underline{\hspace{3em}}), K(\underline{\hspace{3em}}), DK = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

2. Начерти отрезок, равный 12 см, и раздели его на 6 равных частей. Напиши около концов отрезка числа 0 и 90. Определи цену деления получившейся шкалы и поставь около каждого штриха соответствующее число.

$c = \underline{\hspace{3em}}$ (ед.)

3. Найди число, 70% которого равны произведению $5040 \cdot 425$.

Ответ:

2015

1. а)

Сначала определим цену деления шкалы $c$. Для этого возьмем два соседних числовых значения на шкале, например 0 и 60, найдем их разность и разделим на количество делений между ними, которое равно 2.
$c = (60 - 0) \div 2 = 30$ (ед.)
Теперь найдем координаты точек A и B. Точка A находится на одно деление правее отметки 120, значит, ее координата равна $120 + 1 \cdot 30 = 150$. Точка B находится на отметке 300.
Таким образом, A(150) и B(300).
Расстояние между точками A и B равно модулю разности их координат:
$AB = |300 - 150| = 150$ (ед.)
Ответ: c = 30 (ед.); A(150), B(300), AB = 150 (ед.)

1. б)

Определим цену деления $c$. Возьмем отметки 0 и 32. Между ними 2 деления.
$c = (32 - 0) \div 2 = 16$ (ед.)
Найдем координаты точек M и N. Точка M находится на отметке 32. Точка N находится на одно деление правее отметки 64.
Координата N: $64 + 1 \cdot 16 = 80$.
Таким образом, M(32) и N(80).
Расстояние между точками M и N:
$MN = |80 - 32| = 48$ (ед.)
Ответ: c = 16 (ед.); M(32), N(80), MN = 48 (ед.)

1. в)

Определим цену деления $c$. Возьмем отметки 0 и 1. Между ними 4 деления.
$c = (1 - 0) \div 4 = 0.25$ (ед.)
Найдем координаты точек D и K. Точка D находится на 3 деления правее отметки 0.
Координата D: $0 + 3 \cdot 0.25 = 0.75$.
Точка K находится на 2 деления правее отметки 2.
Координата K: $2 + 2 \cdot 0.25 = 2 + 0.5 = 2.5$.
Таким образом, D(0.75) и K(2.5).
Расстояние между точками D и K:
$DK = |2.5 - 0.75| = 1.75$ (ед.)
Ответ: c = 0.25 (ед.); D(0.75), K(2.5), DK = 1.75 (ед.)

2.

Чтобы определить цену деления $c$ получившейся шкалы, нужно разность значений на концах отрезка (90 и 0) разделить на количество равных частей (6).
$c = (90 - 0) \div 6 = 15$ (ед.)
Теперь можно определить числовые значения для каждого штриха. Начинаем с 0 и прибавляем по 15 для каждого следующего штриха.
Числа на шкале будут: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Ответ: c = 15 (ед.). Числа около штрихов: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90.

3.

Пусть искомое число - это $x$. По условию, 70% от этого числа равны произведению 5040 и 425.
1. Сначала найдем произведение:
$5040 \cdot 425 = 2142000$.
2. Теперь составим уравнение. 70% - это 0.7 в виде десятичной дроби. Значит:
$0.7 \cdot x = 2142000$.
3. Найдем $x$, разделив произведение на 0.7:
$x = 2142000 \div 0.7$
$x = 3060000$.
Ответ: 3060000.

Ответ.

3 * В числе 2015 сумма первых трёх цифр на 2 меньше четвёртой. Сколько чисел от 2016 до 2100 обладают таким же свойством? Назови эти числа.

По условию задачи, для искомого числа сумма первых трёх цифр должна быть на 2 меньше четвёртой цифры. В качестве примера дано число 2015. Проверим его: сумма первых трёх цифр $2+0+1=3$. Четвёртая цифра — 5. Разница между ними $5-3=2$. Условие выполняется.

Теперь найдём все числа с таким же свойством в диапазоне от 2016 до 2100.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $ABCD$. Условие задачи можно записать в виде формулы: $A+B+C = D-2$.

Рассмотрим числа в интервале от 2016 до 2099. Все они имеют вид $20CD$, где первая цифра $A=2$, а вторая $B=0$. Подставим эти значения в нашу формулу:
$2+0+C = D-2$
$D = C+4$

Теперь найдём все возможные пары цифр $C$ (десятки) и $D$ (единицы), которые удовлетворяют этому равенству, и для которых число $20CD$ попадает в заданный диапазон [2016, 2100].

• Если $C=0$, то $D=4$. Число 2004. Не входит в диапазон.
• Если $C=1$, то $D=5$. Число 2015. Не входит в диапазон.
• Если $C=2$, то $D=6$. Получаем число 2026. Входит в диапазон.
• Если $C=3$, то $D=7$. Получаем число 2037. Входит в диапазон.
• Если $C=4$, то $D=8$. Получаем число 2048. Входит в диапазон.
• Если $C=5$, то $D=9$. Получаем число 2059. Входит в диапазон.
• Если $C$ равно 6 или больше, то $D$ будет 10 или больше, что невозможно, так как $D$ — это одна цифра.

Осталось проверить последнее число диапазона — 2100. Для него $A=2, B=1, C=0, D=0$.
Сумма первых трёх цифр: $2+1+0=3$. Четвёртая цифра: 0.
Проверяем условие: $3 = 0-2$. Это равенство неверно, значит, число 2100 не подходит.

Сколько чисел от 2016 до 2100 обладают таким же свойством?

В результате поиска мы нашли 4 числа, удовлетворяющих условию.

Ответ: 4.

Назови эти числа.

Это числа, которые были найдены в ходе решения.

Ответ: 2026, 2037, 2048, 2059.

1 Определи координаты точек и расшифруй слова. Что они означают?

Координаты точек:

H: $(2; 1)$

C: $(1; 4)$

A: $(3; 6)$

O: $(4; 8)$

T: $(5; 5)$

Б: $(6; 3)$

Д: $(7; 2)$

P: $(8; 4)$

И: $(7; 9)$

Ц: $(9; 7)$

Расшифровка слов:

$(3; 6)$ А, $(6; 3)$ Б, $(1; 4)$ С, $(9; 7)$ Ц, $(7; 9)$ И, $(1; 4)$ С, $(1; 4)$ С, $(3; 6)$ А

Слово: АБЦИССА

$(4; 8)$ О, $(8; 4)$ Р, $(7; 2)$ Д, $(7; 9)$ И, $(2; 1)$ Н, $(3; 6)$ А, $(5; 5)$ Т, $(3; 6)$ А

Слово: ОРДИНАТА

Для того чтобы расшифровать слова, необходимо сначала определить координаты каждой точки, обозначенной буквой на координатной плоскости. Координаты точки записываются в формате $(x; y)$, где $x$ — значение по горизонтальной оси (оси абсцисс), а $y$ — значение по вертикальной оси (оси ординат).

Определим координаты всех букв:

А → $(3; 6)$
Б → $(6; 3)$
Д → $(7; 2)$
И → $(7; 9)$
Н → $(2; 1)$
О → $(4; 8)$
Р → $(8; 4)$
С → $(1; 4)$
Т → $(5; 5)$
Ц → $(9; 7)$

Теперь, используя эти данные, расшифруем слова.

(3; 6) (6; 3) (1; 4) (9; 7) (7; 9) (1; 4) (1; 4) (3; 6)

Подставим буквы, соответствующие каждой паре координат:

$(3; 6)$ → А
$(6; 3)$ → Б
$(1; 4)$ → С
$(9; 7)$ → Ц
$(7; 9)$ → И
$(1; 4)$ → С
$(1; 4)$ → С
$(3; 6)$ → А

Получилось слово АБСЦИССА. Абсцисса — это координата точки на оси $x$ в прямоугольной системе координат. Она показывает расстояние от точки до оси ординат ($y$).

Ответ: АБСЦИССА.

(4; 8) (8; 4) (7; 2) (7; 9) (2; 1) (3; 6) (5; 5) (3; 6)

Аналогично расшифруем второе слово:

$(4; 8)$ → О
$(8; 4)$ → Р
$(7; 2)$ → Д
$(7; 9)$ → И
$(2; 1)$ → Н
$(3; 6)$ → А
$(5; 5)$ → Т
$(3; 6)$ → А

Получилось слово ОРДИНАТА. Ордината — это координата точки на оси $y$ в прямоугольной системе координат. Она показывает расстояние от точки до оси абсцисс ($x$).

Ответ: ОРДИНАТА.

2 а) Рассмотрим рисунок. На каких осях координат лежит точка А, точка В? Попробуй записать их координаты.

A($\_$;$\_$), B($\_$;$\_$)

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Определи координаты точек А и В, отвечая на вопросы.

При построении точки А сколько единиц надо пройти: вдоль оси $Ox$? ____ вдоль оси $Oy$? ____ Сделай вывод: A($\_$;$\_$)

При построении точки В сколько единиц надо пройти: вдоль оси $Ox$? ____ вдоль оси $Oy$? ____ Сделай вывод: B($\_$;$\_$)

Можно ли распространить эти выводы на любые точки оси $Ox$ и оси $Oy$? Сделай обобщение и допиши предложения:

A($\_$;$\_$), B($\_$;$\_$)

Если точка принадлежит оси абсцисс $Ox$, то её ордината \_\_\_\_\_

Если точка принадлежит оси ординат $Oy$, то её абсцисса \_\_\_\_\_

Проверь свои выводы по учебнику, с. 61. Если нужно, исправь ошибки.

а) Рассмотри рисунок. На каких осях координат лежит точка А, точка В? Попробуй записать их координаты.

Точка А лежит на горизонтальной оси — оси абсцисс (Ox). Чтобы найти ее координаты, мы смотрим на число, которому она соответствует на этой оси, — это 4. Так как точка лежит прямо на оси Ox, ее смещение по вертикальной оси (оси Oy) равно нулю. Таким образом, координаты точки A — это $A(4; 0)$.

Точка B лежит на вертикальной оси — оси ординат (Oy). Она соответствует числу 3 на этой оси. Так как точка лежит прямо на оси Oy, ее смещение по горизонтальной оси (оси Ox) равно нулю. Таким образом, координаты точки B — это $B(0; 3)$.

Ответ: Точка А лежит на оси Ox, ее координаты $A(4; 0)$. Точка B лежит на оси Oy, ее координаты $B(0; 3)$.

б) Определи координаты точек А и В, отвечая на вопросы.

При построении точки А сколько единиц надо пройти:
вдоль оси Ox? 4 вдоль оси Oy? 0
Сделай вывод: $A(4; 0)$.
Ответ: Для построения точки А нужно пройти 4 единицы вдоль оси Ox и 0 единиц вдоль оси Oy. Координаты точки: $A(4; 0)$.

При построении точки В сколько единиц надо пройти:
вдоль оси Ox? 0 вдоль оси Oy? 3
Сделай вывод: $B(0; 3)$.
Ответ: Для построения точки B нужно пройти 0 единиц вдоль оси Ox и 3 единицы вдоль оси Oy. Координаты точки: $B(0; 3)$.

Можно ли распространить эти выводы на любые точки оси Ox и оси Oy? Сделай обобщение и допиши предложения:
Да, можно. Любая точка, лежащая на оси абсцисс (Ox), будет иметь ординату (вторую координату), равную нулю. Любая точка, лежащая на оси ординат (Oy), будет иметь абсциссу (первую координату), равную нулю.
$A(a; 0), B(0; b)$
Если точка принадлежит оси абсцисс Ox, то её ордината равна нулю.
Если точка принадлежит оси ординат Oy, то её абсцисса равна нулю.
Ответ: Если точка принадлежит оси абсцисс Ox, то её ордината равна нулю. Если точка принадлежит оси ординат Oy, то её абсцисса равна нулю.