Страница 45, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Выполни деление с остатком и сделай проверку:

$25342 : 309$

Деление с остатком

Чтобы разделить 253421 на 309, выполним деление столбиком. Сначала определим первое неполное делимое. Так как 253 меньше 309, берем 2534. При делении 2534 на 309 получаем 8, так как $8 \times 309 = 2472$. Находим остаток от этого шага: $2534 - 2472 = 62$.

Далее, к остатку 62 сносим следующую цифру из делимого, 2, и получаем новое неполное делимое 622. При делении 622 на 309 получаем 2, так как $2 \times 309 = 618$. Остаток: $622 - 618 = 4$.

Сносим последнюю цифру 1, получаем 41. Так как 41 меньше 309, в частное записываем 0. Число 41 является окончательным остатком.

В результате деления получаем неполное частное 820 и остаток 41.

Ответ: $253421 \div 309 = 820$ (ост. 41).

Проверка

Для проверки необходимо умножить неполное частное (820) на делитель (309) и к полученному произведению прибавить остаток (41). Результат должен быть равен исходному делимому (253421).

Выполним умножение: $820 \times 309 = 253380$.

Теперь прибавим остаток: $253380 + 41 = 253421$.

Результат проверки $253421$ совпадает с исходным делимым $253421$. Следовательно, деление выполнено правильно.

Ответ: $820 \times 309 + 41 = 253421$.

4. Реши уравнение:

$(x - 28) \cdot 187 = 50864$

$(x - 28) \cdot 187 = 50864$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 28)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, необходимо произведение ($50864$) разделить на известный множитель ($187$).

$x - 28 = 50864 : 187$

$x - 28 = 272$

Теперь в полученном уравнении $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($272$) прибавить вычитаемое ($28$).

$x = 272 + 28$

$x = 300$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = 300$ в исходное уравнение.

$(300 - 28) \cdot 187 = 50864$

$272 \cdot 187 = 50864$

$50864 = 50864$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 300$

5 На первой пасеке от 15 ульев получили по 32 кг мёда с каждого, а на второй – от 21 улья по 28 кг мёда с каждого. Половину мёда отвезли в магазин, а остальной мёд оставили на хранение. Сколько килограммов мёда оставили на хранение?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько килограммов мёда получили на первой пасеке.

Для этого умножим количество ульев на количество мёда, полученного с каждого улья:

$15 \times 32 = 480$ (кг) – мёда получили на первой пасеке.

2. Найдем, сколько килограммов мёда получили на второй пасеке.

Аналогично умножим количество ульев на количество мёда с каждого улья:

$21 \times 28 = 588$ (кг) – мёда получили на второй пасеке.

3. Найдем общее количество мёда, полученного на двух пасеках.

Для этого сложим количество мёда, полученного с первой и второй пасек:

$480 + 588 = 1068$ (кг) – всего мёда получили на двух пасеках.

4. Вычислим, сколько килограммов мёда оставили на хранение.

По условию, на хранение оставили половину всего мёда. Чтобы найти эту величину, нужно общее количество мёда разделить на 2:

$1068 : 2 = 534$ (кг) – мёда оставили на хранение.

Ответ: 534 кг.

6 На столе лежит много карточек. На каждой из них написано одно из трёх чисел: 3, 13 или 31. Какое самое маленькое количество карточек нужно взять, чтобы сумма всех чисел на них была равна 104? Подчеркни правильный ответ.

A 4

B 5

C 6

D 7

E 8

Чтобы найти самое маленькое количество карточек, сумма чисел на которых равна 104, нужно использовать как можно больше карточек с наибольшим числом, то есть 31. Это позволит набрать нужную сумму меньшим количеством карточек.

Обозначим количество карточек с числами 31, 13 и 3 как $x$, $y$ и $z$ соответственно. Нам необходимо найти минимальное значение суммы $x + y + z$ при условии, что $x, y, z$ — целые неотрицательные числа и выполняется равенство:

$31x + 13y + 3z = 104$

Начнем перебор с максимального возможного количества карточек с числом 31.

1. Если взять 3 карточки по 31 ($x=3$):
Сумма от этих карточек будет $3 \cdot 31 = 93$.
Остается набрать: $104 - 93 = 11$.
Набрать сумму 11, используя числа 13 и 3, невозможно, так как 13 больше 11, а 11 не делится нацело на 3. Этот вариант не подходит.

2. Если взять 2 карточки по 31 ($x=2$):
Сумма от этих карточек будет $2 \cdot 31 = 62$.
Остается набрать: $104 - 62 = 42$.
Теперь нужно набрать 42 с помощью чисел 13 и 3 ($13y + 3z = 42$). Снова берем как можно больше карточек с большим числом — 13.
- Если взять 3 карточки по 13 ($y=3$), то получим $3 \cdot 13 = 39$.
- Остаток: $42 - 39 = 3$. Это 1 карточка с числом 3 ($z=1$).
Таким образом, мы нашли комбинацию: 2 карточки по 31, 3 карточки по 13 и 1 карточка по 3.
Проверим сумму: $2 \cdot 31 + 3 \cdot 13 + 1 \cdot 3 = 62 + 39 + 3 = 104$.
Общее количество карточек: $x+y+z = 2 + 3 + 1 = 6$.
Это возможное решение.

3. Если взять 1 карточку по 31 ($x=1$):
Сумма от этой карточки будет $1 \cdot 31 = 31$.
Остается набрать: $104 - 31 = 73$.
Чтобы набрать 73 из 13 и 3 ($13y + 3z = 73$), наименьшее количество карточек получится, если взять 4 карточки по 13 ($4 \cdot 13 = 52$) и 7 карточек по 3 ($7 \cdot 3 = 21$). Общее число карточек будет $1 + 4 + 7 = 12$. Это больше, чем 6.

4. Если не брать карточки по 31 ($x=0$):
Нужно набрать 104 из 13 и 3 ($13y + 3z = 104$). Наименьшее количество карточек получится, если взять 8 карточек по 13 ($8 \cdot 13 = 104$). Общее число карточек будет 8. Это тоже больше, чем 6.

Сравнив все возможные варианты, мы убедились, что наименьшее количество карточек — это 6. В предложенных вариантах ответа это соответствует букве C.

Ответ: 6

3 Игра «Движущиеся точки»

Назови вид движения и нарисуй схемы для первых 3 секунд движения. Определи расстояние между точками через 2 секунды после выхода.

1 ед./с, 3 ед./с. $d_2 = $ ___ ед.

1 ед./с, 3 ед./с. $d_2 = $ ___ ед.

1 ед./с, 3 ед./с. $d_2 = $ ___ ед.

1 ед./с, 3 ед./с. $d_2 = $ ___ ед.

В каких случаях произойдёт встреча? Отметь место встречи флажком.

Первый случай (верхняя схема)
Вид движения: Встречное движение, так как точки движутся навстречу друг другу.
Схемы движения для первых 3 секунд:
- Через 1 секунду: первая точка переместится в позицию $3+1=4$, вторая – в позицию $15-3=12$.
- Через 2 секунды: первая точка будет в позиции $4+1=5$, вторая – в позиции $12-3=9$.
- Через 3 секунды: первая точка будет в позиции $5+1=6$, вторая – в позиции $9-3=6$. В этот момент они встретятся.
Расстояние между точками через 2 секунды ($d_2$):
Положение первой точки через 2 секунды: $x_1 = 3 + 1 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 5$ ед.
Положение второй точки через 2 секунды: $x_2 = 15 - 3 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 9$ ед.
Расстояние между ними: $d_2 = x_2 - x_1 = 9 - 5 = 4$ ед.
Ответ: $d_2 = 4$ ед.

Второй случай
Вид движения: Движение в противоположных направлениях, так как точки движутся в разные стороны, удаляясь друг от друга.
Схемы движения для первых 3 секунд:
- Через 1 секунду: первая точка переместится в позицию $3-1=2$, вторая – в позицию $15+3=18$.
- Через 2 секунды: первая точка будет в позиции $2-1=1$, вторая – в позиции $18+3=21$.
- Через 3 секунды: первая точка будет в позиции $1-1=0$, вторая – в позиции $21+3=24$.
Расстояние между точками через 2 секунды ($d_2$):
Положение первой точки через 2 секунды: $x_1 = 3 - 1 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 1$ ед.
Положение второй точки через 2 секунды: $x_2 = 15 + 3 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 21$ ед.
Расстояние между ними: $d_2 = x_2 - x_1 = 21 - 1 = 20$ ед.
Ответ: $d_2 = 20$ ед.

Третий случай
Вид движения: Движение в одном направлении. Так как скорость задней точки ($v_1 = 1$ ед./с) меньше скорости передней ($v_2 = 3$ ед./с), это движение с отставанием.
Схемы движения для первых 3 секунд:
- Через 1 секунду: первая точка переместится в позицию $3+1=4$, вторая – в позицию $15+3=18$.
- Через 2 секунды: первая точка будет в позиции $4+1=5$, вторая – в позиции $18+3=21$.
- Через 3 секунды: первая точка будет в позиции $5+1=6$, вторая – в позиции $21+3=24$.
Расстояние между точками через 2 секунды ($d_2$):
Положение первой точки через 2 секунды: $x_1 = 3 + 1 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 5$ ед.
Положение второй точки через 2 секунды: $x_2 = 15 + 3 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 21$ ед.
Расстояние между ними: $d_2 = x_2 - x_1 = 21 - 5 = 16$ ед.
Ответ: $d_2 = 16$ ед.

Четвертый случай (нижняя схема)
Вид движения: Движение в одном направлении. Так как скорость задней точки ($v_2 = 3$ ед./с) больше скорости передней ($v_1 = 1$ ед./с), это движение вдогонку.
Схемы движения для первых 3 секунд:
- Через 1 секунду: первая точка переместится в позицию $3-1=2$, вторая – в позицию $15-3=12$.
- Через 2 секунды: первая точка будет в позиции $2-1=1$, вторая – в позиции $12-3=9$.
- Через 3 секунды: первая точка будет в позиции $1-1=0$, вторая – в позиции $9-3=6$.
Расстояние между точками через 2 секунды ($d_2$):
Положение первой точки через 2 секунды: $x_1 = 3 - 1 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 1$ ед.
Положение второй точки через 2 секунды: $x_2 = 15 - 3 \text{ ед./с} \cdot 2 \text{ с} = 9$ ед.
Расстояние между ними: $d_2 = x_2 - x_1 = 9 - 1 = 8$ ед.
Ответ: $d_2 = 8$ ед.

В каких случаях произойдёт встреча?
Встреча произойдёт в двух случаях:
1. Первый случай (встречное движение): Встреча произойдёт через 3 секунды в точке с координатой 6. Это место нужно отметить на схеме флажком.
Расчет: Начальное расстояние $S_0 = 15 - 3 = 12$ ед. Скорость сближения $v_{сбл} = 1 + 3 = 4$ ед./с. Время до встречи $t_{встр} = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{12}{4} = 3$ с. Место встречи: $x = 3 + 1 \cdot 3 = 6$ ед.

2. Четвертый случай (движение вдогонку): Встреча произойдёт через 6 секунд в точке с координатой -3. Эту точку нельзя отметить на данной схеме, так как она находится за пределами изображенной числовой оси.
Расчет: Начальное расстояние $S_0 = 15 - 3 = 12$ ед. Скорость сближения $v_{сбл} = 3 - 1 = 2$ ед./с. Время до встречи $t_{встр} = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{12}{2} = 6$ с. Место встречи: $x = 3 - 1 \cdot 6 = -3$ ед.

Во втором и третьем случаях встреча не произойдет, так как точки удаляются друг от друга.

4 Для одного из случаев движения в № 3 по своему выбору заполни таблицу и запиши формулы:

$x_1 = $

$x_2 = $

$d$

где $x_1$ и $x_2$ – координаты точек, $d$ – расстояние между ними.

Поскольку условие задачи №3 не предоставлено, для выполнения задания выберем один из распространенных случаев движения двух тел. Пусть два тела движутся равномерно и прямолинейно навстречу друг другу.

Зададим начальные условия:

• Тело 1 начинает движение из точки с координатой $x_{01} = 0$ со скоростью $v_1 = 2$ м/с.
• Тело 2 начинает движение из точки с координатой $x_{02} = 10$ м со скоростью $v_2 = -3$ м/с (знак "минус" означает, что тело движется в отрицательном направлении оси X, то есть навстречу первому телу).

На основе этих данных заполним таблицу.

Теперь запишем формулы, описывающие это движение.

$x_1$
Уравнение движения для первого тела, которое движется равномерно и прямолинейно, имеет вид: $x_1(t) = x_{01} + v_1 t$.
Подставляя наши значения $x_{01}=0$ и $v_1 = 2$, получаем формулу для координаты первого тела в любой момент времени $t$.
Ответ: $x_1 = 2t$

$x_2$
Аналогично, уравнение движения для второго тела: $x_2(t) = x_{02} + v_2 t$.
Подставляя наши значения $x_{02}=10$ и $v_2 = -3$, получаем формулу для координаты второго тела.
Ответ: $x_2 = 10 - 3t$

$d$
Расстояние $d$ между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат: $d = |x_2 - x_1|$.
Подставим в эту формулу выражения для $x_1$ и $x_2$, которые мы нашли ранее:
$d = |(10 - 3t) - (2t)| = |10 - 5t|$.
Эта формула показывает расстояние между телами в любой момент времени $t$. Например, при $t=2$ с, $d = |10 - 5 \cdot 2| = |0| = 0$, что означает, что тела встретились. При $t=3$ с, $d = |10 - 5 \cdot 3| = |-5| = 5$ м, тела прошли точку встречи и удаляются друг от друга.
Ответ: $d = |10 - 5t|$

5 Реши задачи, составляя выражения. Чем они похожи и чем различаются?

а) На одном стеллаже 150 книг, а на другом $\frac{3}{5}$ этого количества.

Сколько книг на этих двух стеллажах?

б) На первом стеллаже 150 книг, что составляет $\frac{3}{5}$ числа книг, стоящих на втором стеллаже. На каком стеллаже книг больше и на сколько?

а)

1. Сначала найдем количество книг на втором стеллаже. Для этого нужно найти $\frac{3}{5}$ от 150. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь.
$150 \cdot \frac{3}{5} = \frac{150 \cdot 3}{5} = 30 \cdot 3 = 90$ (книг) – на втором стеллаже.

2. Теперь сложим количество книг на первом и втором стеллажах, чтобы найти общее количество.
$150 + 90 = 240$ (книг) – на двух стеллажах.

Выражение для решения задачи: $150 + 150 \cdot \frac{3}{5} = 150 + 90 = 240$.

Ответ: 240 книг.

б)

1. В этой задаче 150 книг на первом стеллаже составляют $\frac{3}{5}$ от числа книг на втором. Чтобы найти общее количество книг на втором стеллаже (целое по его части), нужно известную часть (150) разделить на дробь ($\frac{3}{5}$).
$150 : \frac{3}{5} = 150 \cdot \frac{5}{3} = \frac{150 \cdot 5}{3} = 50 \cdot 5 = 250$ (книг) – на втором стеллаже.

2. Теперь сравним количество книг. На первом стеллаже 150 книг, а на втором 250.
$250 > 150$, значит на втором стеллаже книг больше.

3. Найдем, на сколько больше книг на втором стеллаже, чем на первом.
$250 - 150 = 100$ (книг).

Выражение для решения задачи: $(150 : \frac{3}{5}) - 150 = 250 - 150 = 100$.

Ответ: на втором стеллаже на 100 книг больше.

Чем они похожи и чем различаются?

Сходство: Обе задачи о книгах на двух стеллажах, и в обеих используются одни и те же числа: 150 и дробь $\frac{3}{5}$.

Различие: Задачи различаются по своему типу и математическому действию.

• В задаче а) мы ищем часть от целого (нахождение дроби от числа). Здесь 150 книг — это целое, и мы находим его часть, используя умножение ($150 \cdot \frac{3}{5}$). В итоге на втором стеллаже книг оказывается меньше. Вопрос задачи — найти сумму.
• В задаче б) мы ищем целое по его части (нахождение числа по его дроби). Здесь 150 книг — это лишь часть ($\frac{3}{5}$) от неизвестного целого, и мы находим это целое, используя деление ($150 : \frac{3}{5}$). В итоге на втором стеллаже книг оказывается больше. Вопрос задачи — найти разность.

3 Рассмотри график движения туристов и ответь по графику на вопросы.

s $s \text{ км}$

24

Стоянка

18

12

6

Город

0

9⁰⁰

10⁰⁰

11⁰⁰

t $t \text{ ч}$

1) В котором часу туристы вышли из города?

2) Сколько времени они были в пути?

3) Какой путь они прошли за это время?

4) С какой скоростью шли туристы?

5) На каком расстоянии от города они были в 10 ч 30 мин?

6) На каком расстоянии от стоянки они были в это же время?

7) В котором часу туристы находились на расстоянии 6 км от города? А в 6 км от стоянки?

1) В котором часу туристы вышли из города? Город находится в точке 0 км. Согласно графику, движение из этой точки началось в 8:00. Ответ: 8:00.

2) Сколько времени они были в пути? Туристы вышли в 8:00 и пришли на стоянку в 11:00. Время в пути составило: $11:00 - 8:00 = 3$ часа. Ответ: 3 часа.

3) Какой путь они прошли за это время? Движение началось от отметки 0 км (город) и закончилось на отметке 18 км (стоянка). Весь путь составил: $18 - 0 = 18$ км. Ответ: 18 км.

4) С какой скоростью шли туристы? Скорость можно рассчитать по формуле $v = s/t$. Туристы прошли 18 км за 3 часа. Их скорость была: $v = 18 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 6 \text{ км/ч}$. Ответ: 6 км/ч.

5) На каком расстоянии от города они были в 10 ч 30 мин? В 10:00 туристы были на расстоянии 12 км от города, а в 11:00 — на расстоянии 18 км. За час они проходят 6 км. За 30 минут (полчаса) они пройдут половину этого расстояния: $6 \text{ км} / 2 = 3 \text{ км}$. Таким образом, в 10:30 они будут на расстоянии $12 \text{ км} + 3 \text{ км} = 15 \text{ км}$ от города. Ответ: 15 км.

6) На каком расстоянии от стоянки они были в это же время? Стоянка находится на расстоянии 18 км от города. В 10:30 туристы были на расстоянии 15 км от города. Чтобы найти расстояние до стоянки, нужно вычесть пройденный путь из общего расстояния: $18 \text{ км} - 15 \text{ км} = 3 \text{ км}$. Ответ: 3 км.

7) В котором часу туристы находились на расстоянии 6 км от города? А в 6 км от стоянки? На расстоянии 6 км от города туристы находились в 9:00, что видно из графика. Стоянка находится на отметке 18 км. Находиться в 6 км от стоянки означает быть на расстоянии $18 \text{ км} - 6 \text{ км} = 12 \text{ км}$ от города. Согласно графику, на этом расстоянии они были в 10:00. Ответ: в 9:00 (6 км от города) и в 10:00 (6 км от стоянки).

4 Велосипедист ехал 3 ч равномерно со скоростью 12 км/ч. Построй график движения велосипедиста (1 кл. - $1/3$ ч, 1 кл. - 6 км).

S км

t ч

t ч 0 1 2 3

S км

Для решения задачи необходимо сначала рассчитать расстояние, которое велосипедист проехал за каждый час, чтобы заполнить таблицу. Затем, используя эти данные и заданный масштаб, определить координаты точек для построения графика.

Движение велосипедиста равномерное, его скорость $v = 12$ км/ч. Расстояние $S$ вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $t$ — время в пути.

Выполним расчеты для $t = 0, 1, 2$ и $3$ часа:

• При $t = 0$ ч: $S = 12 \text{ км/ч} \cdot 0 \text{ ч} = 0$ км.
• При $t = 1$ ч: $S = 12 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 12$ км.
• При $t = 2$ ч: $S = 12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24$ км.
• При $t = 3$ ч: $S = 12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36$ км.

Теперь можно заполнить таблицу:

Далее, построим график движения. В условии указан масштаб:

• По горизонтальной оси времени ($t$): 1 клетка = $\frac{1}{3}$ часа.
• По вертикальной оси расстояния ($S$): 1 клетка = 6 км.

Используя этот масштаб, переведём найденные значения времени и расстояния в количество клеток на графике:

• Точка 1: (0 ч, 0 км) → (0 клеток по горизонтали, 0 клеток по вертикали) → координаты на сетке (0, 0).
• Точка 2: (1 ч, 12 км) → ($1 \text{ ч} / (\frac{1}{3} \text{ ч/кл}) = 3$ клетки, $12 \text{ км} / (6 \text{ км/кл}) = 2$ клетки) → координаты на сетке (3, 2).
• Точка 3: (2 ч, 24 км) → ($2 \text{ ч} / (\frac{1}{3} \text{ ч/кл}) = 6$ клеток, $24 \text{ км} / (6 \text{ км/кл}) = 4$ клетки) → координаты на сетке (6, 4).
• Точка 4: (3 ч, 36 км) → ($3 \text{ ч} / (\frac{1}{3} \text{ ч/кл}) = 9$ клеток, $36 \text{ км} / (6 \text{ км/кл}) = 6$ клеток) → координаты на сетке (9, 6).

Для построения графика нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их прямой линией, так как движение равномерное. График представляет собой отрезок, начинающийся в точке (0, 0).

Ответ: Таблица заполнена следующими значениями расстояния: 0 км (для 0 ч), 12 км (для 1 ч), 24 км (для 2 ч), 36 км (для 3 ч). График движения — это отрезок прямой, соединяющий на координатной сетке точки с координатами (0, 0), (3, 2), (6, 4) и (9, 6).

5 Сколько раз надо взять слагаемым число 8, чтобы частное от деления 640 на сумму восьмёрок было равно 20?

$640 / (8x) = 20$

Ответ:

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $n$ — это количество раз, которое нужно взять число 8 в качестве слагаемого.

1. Найдём сумму восьмёрок.
Сумма $n$ слагаемых, каждое из которых равно 8, выражается как произведение $8 \times n$.

2. Составим уравнение по условию задачи.
В условии сказано, что частное от деления 640 на эту сумму равно 20. Запишем это в виде уравнения:
$640 \div (8 \times n) = 20$

3. Найдём неизвестный делитель.
В этом уравнении $(8 \times n)$ является делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (640) разделить на частное (20):
$8 \times n = 640 \div 20$
$8 \times n = 32$

4. Найдём искомое количество восьмёрок.
Теперь у нас есть простое уравнение, где $n$ — неизвестный множитель. Чтобы найти его, нужно произведение (32) разделить на известный множитель (8):
$n = 32 \div 8$
$n = 4$

Таким образом, число 8 нужно взять 4 раза.

Ответ: 4.