Страница 50, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Назови нижнюю и верхнюю границы площади фигур. Запиши оценку площади.

a) $\underline{\hspace{2em}} < S < \underline{\hspace{2em}}$

б) $\underline{\hspace{2em}} < S < \underline{\hspace{2em}}$

Для определения границ площади фигуры на клетчатой бумаге используется метод подсчета клеток. Площадь одной клетки принимается за единицу.

• Нижняя граница площади — это количество целых клеток, которые полностью находятся внутри контура фигуры. На данных рисунках это клетки, отмеченные синими точками.
• Верхняя граница площади — это общее количество клеток, которые хотя бы частично задеты фигурой. На рисунках это все закрашенные желтым цветом клетки.

Истинная площадь фигуры $S$ всегда будет больше нижней границы и меньше верхней.

а)

1. Найдем нижнюю границу площади. Для этого посчитаем количество клеток с точками:
$4 + 5 + 4 = 13$.
Нижняя граница площади равна 13.

2. Найдем верхнюю границу площади. Для этого посчитаем общее количество всех закрашенных клеток:
$3 + 6 + 7 + 6 + 3 = 25$.
Верхняя граница площади равна 25.

3. Запишем оценку площади $S$ в виде двойного неравенства:
$13 < S < 25$.

Ответ: $13 < S < 25$

б)

1. Найдем нижнюю границу площади, посчитав количество клеток с точками:
$3 + 5 + 5 + 2 = 15$.
Нижняя граница площади равна 15.

2. Найдем верхнюю границу площади, посчитав общее количество всех закрашенных клеток:
$2 + 5 + 7 + 7 + 4 + 2 = 27$.
Верхняя граница площади равна 27.

3. Запишем оценку площади $S$ в виде двойного неравенства:
$15 < S < 27$.

Ответ: $15 < S < 27$

2 Сделай оценку площади фигур A, B, C и D:

а) $ < S < $

в) $ < S < $

б) $ < S < $

г) $ < S < $

Для оценки площади ($S$) каждой фигуры, посчитаем количество клеток, которые полностью находятся внутри фигуры (это будет нижняя граница оценки), и общее количество клеток, которые фигура хотя бы частично занимает (это будет верхняя граница оценки).

а)

Для фигуры A:

• Считаем количество целых клеток внутри фигуры. Во второй строке сверху их 3, в третьей — 4, в четвертой — 2. Всего целых клеток: $S_{нижн} = 3 + 4 + 2 = 9$.
• Считаем общее количество клеток, которых касается фигура. По строкам сверху вниз: 3, 5, 6, 4, 3. Всего затронутых клеток: $S_{верхн} = 3 + 5 + 6 + 4 + 3 = 21$.

Таким образом, оценка площади фигуры A: $9 < S < 21$.

Ответ: $9 < S < 21$

б)

Для фигуры B:

• Считаем количество целых клеток внутри фигуры. В первой и четвертой строках их по 4, во второй и третьей — по 6. Всего целых клеток: $S_{нижн} = 4 + 6 + 6 + 4 = 20$.
• Считаем общее количество клеток, которых касается фигура. Фигура вписана в прямоугольник 6x4, и ее граница затрагивает все клетки этого прямоугольника. Всего затронутых клеток: $S_{верхн} = 6 \times 4 = 24$.

Таким образом, оценка площади фигуры B: $20 < S < 24$.

Ответ: $20 < S < 24$

в)

Для фигуры C:

• Считаем количество целых клеток внутри фигуры. Во второй строке сверху их 4, в третьей (центральной) — 6, в четвертой — 4. Всего целых клеток: $S_{нижн} = 4 + 6 + 4 = 14$.
• Считаем общее количество клеток, которых касается фигура. По строкам сверху вниз: 2, 6, 8, 6, 2. Всего затронутых клеток: $S_{верхн} = 2 + 6 + 8 + 6 + 2 = 24$.

Таким образом, оценка площади фигуры C: $14 < S < 24$.

Ответ: $14 < S < 24$

г)

Для фигуры D:

• Считаем количество целых клеток внутри фигуры. Во второй строке сверху их 2, в третьей — 6, в четвертой — 3. Всего целых клеток: $S_{нижн} = 2 + 6 + 3 = 11$.
• Считаем общее количество клеток, которых касается фигура. По строкам сверху вниз: 2 (у вершины), 6, 8, 6, 4 (у основания). Всего затронутых клеток: $S_{верхн} = 2 + 6 + 8 + 6 + 4 = 26$.

Таким образом, оценка площади фигуры D: $11 < S < 26$.

Ответ: $11 < S < 26$

3 Составь выражение к задаче и найди его значение:

«Одна бригада за 40 мин может разгрузить 5 машин. Сколько машин может разгрузить вторая бригада за 30 минут, если на разгрузку одной машины вторая бригада тратит на 2 минуты больше?»

Выражение: $30 / ((40 / 5) + 2)$

Значение: $3$

Для решения задачи сначала определим производительность каждой бригады, то есть время, необходимое для разгрузки одной машины.

1. Найдем, сколько минут первая бригада тратит на разгрузку одной машины. Для этого общее время (40 минут) разделим на количество разгруженных машин (5):

$40 \div 5 = 8$ (минут)

2. Теперь определим, сколько времени тратит на разгрузку одной машины вторая бригада. По условию, это на 2 минуты больше, чем у первой бригады:

$8 + 2 = 10$ (минут)

3. Зная, что вторая бригада тратит 10 минут на одну машину, найдем, сколько машин она сможет разгрузить за 30 минут. Для этого отведенное время (30 минут) разделим на время разгрузки одной машины:

$30 \div 10 = 3$ (машины)

Теперь составим одно общее выражение, объединяющее все выполненные действия:

$30 \div (40 \div 5 + 2)$

Найдем значение этого выражения:

$30 \div (40 \div 5 + 2) = 30 \div (8 + 2) = 30 \div 10 = 3$

Ответ: выражение к задаче: $30 \div (40 \div 5 + 2)$, его значение: 3 машины.

4 Определи, на какой картинке площадь белой части не равна площади зелёной части.

A

B

C

D

E

Ответ: ___

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждую картинку и сравнить площадь её зелёной части с площадью белой части. Обозначим общую площадь квадрата как $S$. Если площади зелёной и белой частей равны, то каждая из них составляет половину от общей площади, то есть $\frac{S}{2}$.

A

Квадрат разделён горизонтальной линией посередине на два одинаковых прямоугольника. Каждый из этих прямоугольников, в свою очередь, разделён диагональю на два треугольника равной площади — один белый и один зелёный. Таким образом, и в верхней, и в нижней половине квадрата площади зелёной и белой частей равны. Следовательно, во всём квадрате суммарная площадь зелёной части равна суммарной площади белой части.
$S_{зелёная} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2}$.
$S_{белая} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2}$.
Площади равны.

B

Квадрат разделён на четыре диагональные полосы одинаковой ширины. Две из них зелёные, а две — белые. Так как полосы имеют одинаковую ширину, их площади равны. Суммарная площадь двух зелёных полос равна суммарной площади двух белых полос.
$S_{зелёная} = 2 \times \frac{S}{4} = \frac{S}{2}$.
$S_{белая} = 2 \times \frac{S}{4} = \frac{S}{2}$.
Площади равны.

C

Квадрат разделён на четыре меньших одинаковых квадрата, площадь каждого из которых равна $\frac{S}{4}$.
- Верхний левый квадрат — зелёный (площадь $\frac{S}{4}$).
- Верхний правый и нижний левый квадраты — белые (их общая площадь $\frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2}$).
- Нижний правый квадрат разделён диагональю на два равных треугольника: один зелёный и один белый. Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{1}{2} \times \frac{S}{4} = \frac{S}{8}$.
Теперь сложим площади частей одного цвета:
$S_{зелёная} = \frac{S}{4} + \frac{S}{8} = \frac{2S}{8} + \frac{S}{8} = \frac{3S}{8}$.
$S_{белая} = \frac{S}{2} + \frac{S}{8} = \frac{4S}{8} + \frac{S}{8} = \frac{5S}{8}$.
Поскольку $\frac{3S}{8} \neq \frac{5S}{8}$, площади зелёной и белой частей не равны.

D

Квадрат разделён на 8 одинаковых (конгруэнтных) равнобедренных прямоугольных треугольников. Четыре из этих треугольников зелёные, а четыре — белые. Так как все 8 треугольников имеют одинаковую площадь, общая площадь зелёных частей равна общей площади белых частей.
$S_{зелёная} = 4 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{2}$.
$S_{белая} = 4 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{2}$.
Площади равны.

E

Эта фигура симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через центр квадрата. Белая область слева является точным зеркальным отражением зелёной области справа. Следовательно, их площади равны.
$S_{зелёная} = S_{белая} = \frac{S}{2}$.
Площади равны.

Проанализировав все картинки, мы приходим к выводу, что только на картинке C площадь белой части не равна площади зелёной части.

Ответ: C

1. Найди скорость сближения или скорость удаления. Отметь флажком, в каких случаях произойдёт встреча.

а) 9 км/ч $\rightarrow$ 6 км/ч $\leftarrow$

б) 34 м/мин $\leftarrow$ 8 м/мин $\rightarrow$

в) 3 м/с $\rightarrow$ 17 м/с $\rightarrow$

г) 110 км/ч $\rightarrow$ 85 км/ч $\rightarrow$

2. Для каждой схемы определи, увеличится или уменьшится расстояние между объектами через 3 часа? На сколько километров? (Считать, что за это время встречи не произойдёт.)

а) 7 км/ч $\leftarrow$ 5 км/ч $\rightarrow$

$(7 + 5) \cdot 3 = $

Увеличится на

б) 7 км/ч $\rightarrow$ 5 км/ч $\rightarrow$

в) 5 км/ч $\rightarrow$ 7 км/ч $\rightarrow$

г) 7 км/ч $\rightarrow$ 5 км/ч $\leftarrow$

3*. Найди $ \frac{2}{5} $ от значения выражения:

$(60 \cdot 6 + 240) : (4800 : 16 - 6 \cdot 35 + 15 \cdot 4) \cdot (410 - 250) - 390 = $

=

Ответ:

1. Найди скорость сближения или скорость удаления. Отметь флажком, в каких случаях произойдёт встреча.

а) Объекты движутся в противоположных направлениях друг от друга, это движение с удалением. Скорость удаления равна сумме их скоростей.
$V_{уд} = 9 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.
Встреча не произойдёт.
Ответ: Скорость удаления 15 км/ч.

б) 🚩 Объекты движутся навстречу друг другу, это движение со сближением. Скорость сближения равна сумме их скоростей.
$V_{сбл} = 34 \text{ м/мин} + 8 \text{ м/мин} = 42 \text{ м/мин}$.
В этом случае произойдёт встреча.
Ответ: Скорость сближения 42 м/мин.

в) 🚩 Объекты движутся в одном направлении. Объект, который находится позади, движется быстрее, значит, он догоняет первый объект. Это движение со сближением (вдогонку). Скорость сближения равна разности их скоростей.
$V_{сбл} = 17 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с} = 14 \text{ м/с}$.
В этом случае произойдёт встреча.
Ответ: Скорость сближения 14 м/с.

г) Объекты движутся в одном направлении. Объект, который находится впереди, движется быстрее, значит, он удаляется от второго объекта. Это движение с удалением. Скорость удаления равна разности их скоростей.
$V_{уд} = 110 \text{ км/ч} - 85 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$.
Встреча не произойдёт.
Ответ: Скорость удаления 25 км/ч.

2. Для каждой схемы определи, увеличится или уменьшится расстояние между объектами через 3 часа? На сколько километров?

а) Объекты движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Расстояние между ними будет увеличиваться.
1) Скорость удаления: $7 + 5 = 12$ (км/ч).
2) Изменение расстояния за 3 часа: $12 \cdot 3 = 36$ (км).
Выражение: $(7 + 5) \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36$.
Ответ: Расстояние увеличится на 36 км.

б) Объекты движутся в одном направлении. Скорость объекта, идущего впереди (7 км/ч), больше скорости объекта, идущего сзади (5 км/ч), поэтому расстояние между ними будет увеличиваться.
1) Скорость удаления: $7 - 5 = 2$ (км/ч).
2) Изменение расстояния за 3 часа: $2 \cdot 3 = 6$ (км).
Выражение: $(7 - 5) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Расстояние увеличится на 6 км.

в) Объекты движутся в одном направлении. Скорость объекта, идущего сзади (7 км/ч), больше скорости объекта, идущего впереди (5 км/ч), поэтому расстояние между ними будет уменьшаться.
1) Скорость сближения: $7 - 5 = 2$ (км/ч).
2) Изменение расстояния за 3 часа: $2 \cdot 3 = 6$ (км).
Выражение: $(7 - 5) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Расстояние уменьшится на 6 км.

г) Объекты движутся навстречу друг другу. Расстояние между ними будет уменьшаться.
1) Скорость сближения: $7 + 5 = 12$ (км/ч).
2) Изменение расстояния за 3 часа: $12 \cdot 3 = 36$ (км).
Выражение: $(7 + 5) \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36$.
Ответ: Расстояние уменьшится на 36 км.

3*. Найди $\frac{2}{5}$ от значения выражения:

$(60 \cdot 6 + 240) : (4800 : 16 - 6 \cdot 35 + 15 \cdot 4) \cdot (410 - 250) - 390$

Решим по действиям:
1) $60 \cdot 6 = 360$
2) $360 + 240 = 600$ (значение первой скобки)
3) $4800 : 16 = 300$
4) $6 \cdot 35 = 210$
5) $15 \cdot 4 = 60$
6) $300 - 210 + 60 = 90 + 60 = 150$ (значение второй скобки)
7) $410 - 250 = 160$ (значение третьей скобки)
8) $600 : 150 = 4$
9) $4 \cdot 160 = 640$
10) $640 - 390 = 250$
Значение всего выражения равно 250.
Теперь найдем $\frac{2}{5}$ от 250.
Чтобы найти дробь от числа, нужно число разделить на знаменатель и умножить на числитель.
$(250 : 5) \cdot 2 = 50 \cdot 2 = 100$.
Ответ: 100.

1 Используя график движения, вставь в рассказ пропущенные числа.

Даша вышла из дома в 7 ч 55 мин со скоростью 50 м/мин. Её сосед Костя, одноклассник, вышел из того же дома на 5 мин позже – в 8 ч 00 мин со скоростью 100 м/мин. В 8 ч 05 мин Костя догнал Дашу и спросил, какой у неё ответ в уравнении. Поскольку ответы у них не совпали, они стали проверять решение и нашли у Кости ошибку. Костя решил исправить ошибку, а Даша продолжила путь со скоростью 140 м/мин. Костя после ухода Даши ещё 0 мин решал уравнение. В 8 ч 10 мин он побежал догонять Дашу со скоростью 140 м/мин и догнал в 8 ч 10 мин. Потом они пошли вместе со скоростью 140 м/мин и прибыли в школу в 8 ч 15 мин.

Для решения задачи проанализируем график движения Даши (черная линия) и Кости (розовая линия). По оси ординат (вертикальной) отложено расстояние S, по оси абсцисс (горизонтальной) — время t. Предположим, что на оси S указаны метры (м), а не километры (км), так как 1200 км — нереальное расстояние до школы. Таким образом, школа находится на расстоянии 1200 м от дома.

1. Даша вышла из дома в 7 ч 55 мин со скоростью 50 м/мин.

Черная линия графика, соответствующая движению Даши, начинается в точке с координатами (7:55, 0). Это означает, что Даша вышла из дома в 7 часов 55 минут.Чтобы найти её скорость, определим, какое расстояние она прошла за определенное время. График показывает, что в 8:05 Даша была на расстоянии 500 м от дома.Время в пути: $8:05 - 7:55 = 10$ минут.Расстояние: $500$ м.Скорость Даши: $v = S / t = 500 \text{ м} / 10 \text{ мин} = 50 \text{ м/мин}$.

2. Её сосед Костя, одноклассник, вышел из того же дома на 5 мин позже – в 8 ч 00 мин со скоростью 100 м/мин.

Розовая линия (движение Кости) начинается в точке (8:00, 0). Это значит, что он вышел в 8 часов 00 минут.Разница во времени выхода: $8:00 - 7:55 = 5$ минут. Костя вышел на 5 минут позже.Костя догнал Дашу в 8:05 на расстоянии 500 м от дома (точка пересечения графиков).Время в пути Кости: $8:05 - 8:00 = 5$ минут.Расстояние: $500$ м.Скорость Кости: $v = S / t = 500 \text{ м} / 5 \text{ мин} = 100 \text{ м/мин}$.

3. В 8 ч 05 мин Костя догнал Дашу.

Точка первого пересечения графиков имеет координату времени 8:05.

4. Даша продолжила путь со скоростью 50 м/мин. Костя после ухода Даши ещё 5 мин решал уравнение.

После 8:05 график Даши (черная линия) продолжает идти с тем же наклоном, значит, её скорость не изменилась и осталась 50 м/мин.График Кости (розовая линия) в промежутке с 8:05 до 8:10 становится горизонтальным. Это означает, что его расстояние от дома не менялось, то есть он стоял на месте.Продолжительность остановки: $8:10 - 8:05 = 5$ минут.

5. В 8 ч 10 мин он побежал догонять Дашу со скоростью 175 м/мин и догнал в 8 ч 12 мин.

В 8:10 Костя возобновил движение из точки (8:10, 500). Графики пересекаются второй раз в точке, которую мы определим по графику.Вторая точка пересечения соответствует времени 8:12. Найдем, на каком расстоянии от дома в это время была Даша:Время её движения: $8:12 - 7:55 = 17$ минут.Расстояние: $S = 50 \text{ м/мин} \times 17 \text{ мин} = 850 \text{ м}$.Итак, они встретились в точке (8:12, 850).Теперь найдем скорость Кости на этом участке. Он двигался с 8:10 до 8:12 (2 минуты) и прошел расстояние от 500 м до 850 м.Пройденное расстояние: $850 \text{ м} - 500 \text{ м} = 350 \text{ м}$.Время в пути: $8:12 - 8:10 = 2$ минуты.Скорость Кости: $v = 350 \text{ м} / 2 \text{ мин} = 175 \text{ м/мин}$.

6. Потом они пошли вместе со скоростью 116 2/3 м/мин и прибыли в школу в 8 ч 15 мин.

После 8:12 их графики совпадают, значит, они пошли вместе. Они начали совместный путь из точки (8:12, 850).Конечная точка их пути — школа, которая находится на расстоянии 1200 м от дома. По графику видно, что они достигли этой точки в 8:15.Пройденное расстояние вместе: $1200 \text{ м} - 850 \text{ м} = 350 \text{ м}$.Затраченное время: $8:15 - 8:12 = 3$ минуты.Их совместная скорость: $v = 350 \text{ м} / 3 \text{ мин} = 116 \frac{2}{3} \text{ м/мин}$.

Ответ:

Даша вышла из дома в 7 ч 55 мин со скоростью 50 м/мин. Её сосед Костя, одноклассник, вышел из того же дома на 5 мин позже – в 8 ч 00 мин со скоростью 100 м/мин. В 8 ч 05 мин Костя догнал Дашу и спросил, какой у неё ответ в уравнении. Поскольку ответы у них не совпали, они стали проверять решение и нашли у Кости ошибку. Костя решил исправить ошибку, а Даша продолжила путь со скоростью 50 м/мин. Костя после ухода Даши ещё 5 мин решал уравнение. В 8 ч 10 мин он побежал догонять Дашу со скоростью 175 м/мин и догнал в 8 ч 12 мин. Потом они пошли вместе со скоростью 116 2/3 м/мин и прибыли в школу в 8 ч 15 мин.

2 Вычисли значение выражения:

$258 \cdot 608 + (1\,000\,000 - 689\,464) : 76 =$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь — сложение.

Исходное выражение: $258 \cdot 608 + (1 000 000 - 689 464) : 76$

1. Выполним действие в скобках:

Вычитаем из одного миллиона шестьсот восемьдесят девять тысяч четыреста шестьдесят четыре.

$1 000 000 - 689 464 = 310 536$

2. Выполним умножение:

Умножим 258 на 608.

$258 \cdot 608 = 156 864$

3. Выполним деление:

Разделим результат, полученный в первом действии, на 76.

$310 536 : 76 = 4086$

4. Выполним сложение:

Сложим результаты второго и третьего действий.

$156 864 + 4086 = 160 950$

Ответ: 160950