Страница 54, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Закрась на каждой фигуре указанную часть:

а) восьмую часть

$1/8$

б) пятую часть

$1/5$

в) третью часть

$1/3$

Данная задача знакомит с понятием долей и дробей. Чтобы закрасить указанную часть фигуры, нужно определить, на сколько равных частей разделена вся фигура (это будет знаменатель дроби) и сколько таких частей нужно взять (это будет числитель дроби). В данном случае во всех пунктах нужно взять одну часть.

а)

Фигура а) — это круг, который разделен на 8 равных частей (секторов). Задание — закрасить «восьмую часть», что означает одну часть из восьми. В виде дроби это записывается как $ \frac{1}{8} $. Следовательно, нужно закрасить любой один сектор круга.

Ответ: Необходимо закрасить один из восьми секторов круга.

б)

Фигура б) — это прямоугольник, разделенный на 5 равных горизонтальных полос. Задание — закрасить «пятую часть», что означает одну часть из пяти. В виде дроби это записывается как $ \frac{1}{5} $. Таким образом, нужно закрасить любую одну полосу.

Ответ: Необходимо закрасить одну из пяти полос прямоугольника.

в)

Фигура в) — это большой треугольник, разделенный на 3 равных малых треугольника. Задание — закрасить «третью часть», что означает одну часть из трех. В виде дроби это записывается как $ \frac{1}{3} $. Для выполнения задания необходимо закрасить любой из трех малых треугольников.

Ответ: Необходимо закрасить один из трех малых треугольников.

2 Коля, Дима и Борис строили половину, треть и четверть отрезка. Обведи правильные решения и зачеркни неправильные. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

Половина Треть Четверть

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$

$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{2}$

Давайте разберем, кто из мальчиков правильно выполнил задания, а кто допустил ошибки.

Коля

Половина: Правильно. Отрезок разделен на 2 равные части, и выделена одна из них. Половина – это одна вторая ($1/2$).

Треть: Неправильно. Отрезок разделен на 3 равные части, но выделено две части. Коля построил две трети ($2/3$) отрезка, а нужно было построить одну треть ($1/3$).

Четверть: Правильно. Отрезок разделен на 4 равные части, и выделена одна из них. Четверть – это одна четвертая ($1/4$).

Ответ: У Коли правильно построены половина и четверть. Решение для трети — неправильное.

Дима

Половина: Правильно. Отрезок разделен на 2 равные части, выделена одна часть ($1/2$).

Треть: Правильно. Отрезок разделен на 3 равные части, выделена одна часть ($1/3$).

Четверть: Правильно. Отрезок разделен на 4 равные части, выделена одна часть ($1/4$).

Ответ: Дима выполнил все три задания правильно.

Борис

Половина: Правильно. Отрезок разделен на 2 равные части, выделена одна часть ($1/2$).

Треть: Правильно. Отрезок разделен на 3 равные части, выделена одна часть ($1/3$).

Четверть: Неправильно. Отрезок разделен на 4 равные части, но выделено две части. Борис построил две четверти ($2/4$), что равно половине ($1/2$), а не одну четверть ($1/4$).

Ответ: У Бориса правильно построены половина и треть. Решение для четверти — неправильное.

Что ты замечаешь?

Я замечаю, что Дима — единственный, кто выполнил все задания верно. Коля и Борис допустили ошибки. Их ошибки заключаются в том, что они выделили больше одной части отрезка. Коля взял две части из трёх, чтобы показать треть, а Борис взял две части из четырёх, чтобы показать четверть.

Ответ: Дима выполнил все задания правильно, а Коля и Борис ошиблись, когда взяли больше одной доли отрезка.

Сделай вывод.

Чтобы найти долю от целого (половину, треть, четверть), нужно разделить это целое на указанное количество равных частей (2, 3, 4 соответственно) и взять одну такую часть. В виде дроби это записывается так: половина – $1/2$ (одна часть из двух), треть – $1/3$ (одна часть из трёх), четверть – $1/4$ (одна часть из четырёх). Число под чертой (знаменатель) показывает, на сколько равных частей делят целое, а число над чертой (числитель) — сколько таких частей берут.

Ответ: Чтобы найти половину, треть или четверть, нужно разделить целое на 2, 3 или 4 равные части соответственно и взять одну такую часть.

3 Отметь цветным карандашом указанные части отрезка:

а) восьмая

$1/8$

б) четверть

$1/4$

в) половина

$1/2$

г) три четверти

$3/4$

а) восьмая

Весь отрезок на рисунке разделен на 8 равных частей. "Восьмая" часть означает одну из этих восьми частей, что в виде дроби записывается как $1/8$. Следовательно, нужно закрасить ровно одну часть отрезка.

Ответ: Нужно закрасить 1 часть из 8.

б) четверть

"Четверть" означает одну четвертую часть, или $1/4$. Отрезок разделен на 8 частей, поэтому нам нужно выразить $1/4$ в восьмых долях. Для этого приведем дробь к знаменателю 8, умножив числитель и знаменатель на 2: $1/4 = (1 \cdot 2) / (4 \cdot 2) = 2/8$. Таким образом, четверть отрезка — это 2 его части из 8. Нужно закрасить две части.

Ответ: Нужно закрасить 2 части из 8.

в) половина

"Половина" означает одну вторую часть, или $1/2$. Отрезок разделен на 8 частей. Выразим $1/2$ в восьмых долях, приведя дробь к знаменателю 8, умножив числитель и знаменатель на 4: $1/2 = (1 \cdot 4) / (2 \cdot 4) = 4/8$. Следовательно, половина отрезка — это 4 его части из 8. Нужно закрасить четыре части.

Ответ: Нужно закрасить 4 части из 8.

г) три четверти

"Три четверти" означают три четвертых части, или $3/4$. Отрезок разделен на 8 частей. Выразим $3/4$ в восьмых долях, приведя дробь к знаменателю 8, умножив числитель и знаменатель на 2: $3/4 = (3 \cdot 2) / (4 \cdot 2) = 6/8$. Значит, три четверти отрезка — это 6 его частей из 8. Нужно закрасить шесть частей.

Ответ: Нужно закрасить 6 частей из 8.

4 Ракета пролетела $14 \text{ км}$ за $4 \text{ с}$. За какое время ракета пролетит путь, равный $24 \text{ км } 500 \text{ м}$?

Для того чтобы найти время, за которое ракета пролетит новое расстояние, сначала необходимо вычислить ее скорость. Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден. Формула для скорости $v$: $v = \frac{S}{t}$.

По условию, ракета пролетела расстояние $S_1 = 14$ км за время $t_1 = 4$ с. Найдем ее скорость:

$v = \frac{14 \text{ км}}{4 \text{ с}} = 3.5$ км/с.

Теперь нужно найти, за какое время ракета пролетит путь $S_2$, равный 24 км 500 м. Для удобства вычислений переведем это расстояние в километры. Поскольку 1 км = 1000 м, то 500 м = 0.5 км.

$S_2 = 24 \text{ км} + 500 \text{ м} = 24 \text{ км} + 0.5 \text{ км} = 24.5$ км.

Зная скорость ракеты и расстояние, можно найти время по формуле $t = \frac{S}{v}$. Подставим наши значения:

$t_2 = \frac{S_2}{v} = \frac{24.5 \text{ км}}{3.5 \text{ км/с}} = 7$ с.

Ответ: 7 с.

5 На столе лежат пятиугольники и шестиугольники. Всего у них ровно 37 вершин. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников на столе?

пятиугольников шестиугольников

Обозначим количество пятиугольников за $x$, а количество шестиугольников за $y$.

У одного пятиугольника 5 вершин, а у одного шестиугольника — 6 вершин. По условию задачи, общее число вершин всех фигур равно 37. На основе этих данных мы можем составить следующее уравнение:

$5x + 6y = 37$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество фигур, они должны быть целыми и неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$).

Для нахождения решения будем использовать метод подбора. Мы будем последовательно подставлять возможные целые значения для $y$ (количество шестиугольников) и проверять, получается ли для $x$ (количество пятиугольников) целое число.

• Пусть $y = 0$. Тогда $5x = 37$. $x = 37 / 5 = 7.4$ (не целое число).
• Пусть $y = 1$. Тогда $5x + 6 \cdot 1 = 37 \Rightarrow 5x = 31$. $x = 31 / 5 = 6.2$ (не целое число).
• Пусть $y = 2$. Тогда $5x + 6 \cdot 2 = 37 \Rightarrow 5x + 12 = 37 \Rightarrow 5x = 25$. $x = 25 / 5 = 5$ (целое число). Это подходящее решение.
• Пусть $y = 3$. Тогда $5x + 6 \cdot 3 = 37 \Rightarrow 5x + 18 = 37 \Rightarrow 5x = 19$. $x = 19 / 5 = 3.8$ (не целое число).
• Пусть $y = 4$. Тогда $5x + 6 \cdot 4 = 37 \Rightarrow 5x + 24 = 37 \Rightarrow 5x = 13$. $x = 13 / 5 = 2.6$ (не целое число).
• Пусть $y = 5$. Тогда $5x + 6 \cdot 5 = 37 \Rightarrow 5x + 30 = 37 \Rightarrow 5x = 7$. $x = 7 / 5 = 1.4$ (не целое число).
• Пусть $y = 6$. Тогда $5x + 6 \cdot 6 = 37 \Rightarrow 5x + 36 = 37 \Rightarrow 5x = 1$. $x = 1 / 5 = 0.2$ (не целое число).

Если мы возьмем $y \ge 7$, то количество вершин только у шестиугольников ($6 \cdot 7 = 42$) уже превысит общее количество вершин 37. Следовательно, дальнейшие проверки не имеют смысла.

Таким образом, единственным решением в целых неотрицательных числах является пара $x=5$ и $y=2$.

пятиугольников

В ходе решения уравнения $5x + 6y = 37$ было найдено, что количество пятиугольников ($x$) на столе равно 5.

Ответ: 5

шестиугольников

В ходе решения уравнения $5x + 6y = 37$ было найдено, что количество шестиугольников ($y$) на столе равно 2.

Ответ: 2

1 Скорость Тигры $v_1$ м/с, а ослика Иа-Иа – $v_2$ м/с. Как и на сколько метров изменится расстояние между ними за 2 с, если они идут: а) навстречу друг другу; б) в противоположных направлениях?

а) б)

а) Если Тигра и ослик Иа-Иа идут навстречу друг другу, то расстояние между ними сокращается. Чтобы найти, на сколько оно изменится, нужно найти их скорость сближения. Скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$ (м/с).
За 2 секунды расстояние между ними изменится на величину, равную произведению скорости сближения на время:
$S = v_{сбл} \times t = (v_1 + v_2) \times 2 = 2(v_1 + v_2)$ (м).
Ответ: расстояние уменьшится на $2(v_1 + v_2)$ метров.

б) Если Тигра и ослик Иа-Иа идут в противоположных направлениях, то расстояние между ними увеличивается. Чтобы найти, на сколько оно изменится, нужно найти их скорость удаления. Скорость удаления также равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$ (м/с).
За 2 секунды расстояние между ними изменится на величину, равную произведению скорости удаления на время:
$S = v_{уд} \times t = (v_1 + v_2) \times 2 = 2(v_1 + v_2)$ (м).
Ответ: расстояние увеличится на $2(v_1 + v_2)$ метров.

2 а) Попробуй решить задачу, составляя выражение:

«Два пешехода идут в противоположных направлениях со скоростями соответственно 2 км/ч и 3 км/ч. Сейчас расстояние между ними равно 4 км. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч? Произойдёт ли встреча?»

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Покажи движение пешеходов на координатном луче. Используя схему, ответь на вопросы и выполни задания.

✓ На сколько километров удаляются пешеходы за 1 час?

$v_{\text{уд.}} = \text{______}$

✓ Запиши в таблице, каким станет расстояние $d$ между ними через 1 ч, 2 ч, 3 ч, $t$ ч?

✓ Построй формулу зависимости расстояния $d$ между пешеходами от времени движения $t$:

$d = \text{______} + (\text{______} + \text{______}) \cdot \text{______}$

✓ Запиши общую формулу, обозначив $v_1$ и $v_2$ скорости движения объектов, а $s$ – первоначальное расстояние между ними:

$d = \text{______} + (\text{______} + \text{______}) \cdot \text{______}$

Сделай вывод и проверь себя по учебнику, с. 90. Если нужно, исправь ошибки.

a) Попробуй решить задачу, составляя выражение:

Чтобы найти расстояние между пешеходами через 3 часа, нужно к первоначальному расстоянию прибавить общее расстояние, которое они пройдут за это время. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются (это называется скоростью удаления).

1. Найдем скорость удаления пешеходов:
$v_{уд.} = v_1 + v_2 = 2 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$.

2. Найдем, на какое расстояние они удалятся за 3 часа:
$S_{доп.} = v_{уд.} \cdot t = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$.

3. Найдем итоговое расстояние, прибавив это расстояние к начальному:
$d = S_{начальное} + S_{доп.} = 4 \text{ км} + 15 \text{ км} = 19 \text{ км}$.

Выражением это можно записать так: $4 + (2 + 3) \cdot 3 = 19$ (км).

Встреча не произойдёт, потому что пешеходы удаляются друг от друга, и расстояние между ними постоянно увеличивается.

Ответ: через 3 часа расстояние между ними будет 19 км. Встреча не произойдёт.

б) Покажи движение пешеходов на координатном луче. Используя схему, ответь на вопросы и выполни задания.

На сколько километров удаляются пешеходы за 1 час?
Скорость удаления — это сумма скоростей объектов, движущихся в противоположных направлениях.
$v_{уд.} = 2 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$.
Это означает, что за 1 час расстояние между ними увеличивается на 5 км.

Ответ: $v_{уд.} = 2 + 3 = 5$ (км/ч).

Запиши в таблице, каким станет расстояние d между ними через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч?

При $t=0$ ч, $d = 4$ км.
При $t=1$ ч, $d = 4 + (2+3) \cdot 1 = 4 + 5 = 9$ км.
При $t=2$ ч, $d = 4 + (2+3) \cdot 2 = 4 + 10 = 14$ км.
При $t=3$ ч, $d = 4 + (2+3) \cdot 3 = 4 + 15 = 19$ км.
При $t=t$ ч, $d = 4 + (2+3) \cdot t = 4 + 5t$ км.

Ответ: через 1 ч расстояние будет 9 км, через 2 ч — 14 км, через 3 ч — 19 км, через t ч — $(4+5t)$ км.

Построй формулу зависимости расстояния d между пешеходами от времени движения t:

$d = 4 + (2 + 3) \cdot t$

Ответ: $d = 4 + (2 + 3) \cdot t$.

Запиши общую формулу, обозначив v₁ и v₂ скорости движения объектов, а s – первоначальное расстояние между ними:

$d = s + (v_1 + v_2) \cdot t$

Ответ: $d = s + (v_1 + v_2) \cdot t$.

1. Найди закономерность и продолжи ряд на четыре числа:

а) 15, 20, 14, 21, 13, 22, __________

б) $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{8}{45}$, __________

а)

Для того чтобы найти закономерность в ряду 15, 20, 14, 21, 13, 22, ..., рассмотрим разность между соседними числами:
$20 - 15 = +5$
$14 - 20 = -6$
$21 - 14 = +7$
$13 - 21 = -8$
$22 - 13 = +9$
Закономерность состоит в чередовании операций сложения и вычитания. При этом число, которое прибавляется или вычитается, каждый раз увеличивается на 1. Последовательность операций: $+5, -6, +7, -8, +9, ...$
Следуя этой закономерности, продолжим ряд:
Следующая операция будет вычитание 10: $22 - 10 = 12$
Затем сложение 11: $12 + 11 = 23$
Затем вычитание 12: $23 - 12 = 11$
И, наконец, сложение 13: $11 + 13 = 24$
Таким образом, следующие четыре числа в ряду: 12, 23, 11, 24.
Ответ: 12, 23, 11, 24.

б)

Рассмотрим ряд дробей $\frac{2}{5}, \frac{4}{15}, \frac{8}{45}, ...$ Проанализируем отдельно последовательности числителей и знаменателей.
Последовательность числителей: 2, 4, 8, ...
Это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на 2.
$2 \cdot 2 = 4$
$4 \cdot 2 = 8$
Продолжим ряд числителей:
$8 \cdot 2 = 16$
$16 \cdot 2 = 32$
$32 \cdot 2 = 64$
$64 \cdot 2 = 128$
Последовательность знаменателей: 5, 15, 45, ...
Это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3.
$5 \cdot 3 = 15$
$15 \cdot 3 = 45$
Продолжим ряд знаменателей:
$45 \cdot 3 = 135$
$135 \cdot 3 = 405$
$405 \cdot 3 = 1215$
$1215 \cdot 3 = 3645$
Составим следующие четыре дроби из полученных числителей и знаменателей: $\frac{16}{135}, \frac{32}{405}, \frac{64}{1215}, \frac{128}{3645}$.
Ответ: $\frac{16}{135}, \frac{32}{405}, \frac{64}{1215}, \frac{128}{3645}$.

2. Запиши числа цифрами и представь их в виде суммы разрядных слагаемых:

а) двести восемь тысяч четыреста семьдесят

б) пятьдесят шесть миллионов восемьсот три

а)

Сначала запишем число "двести восемь тысяч четыреста семьдесят" с помощью цифр. "Двести восемь тысяч" соответствует числу 208 000. "Четыреста семьдесят" соответствует числу 470. Соединив эти части, получаем итоговое число 208 470.

Далее, представим полученное число в виде суммы разрядных слагаемых. Для этого разложим его по разрядам:

• Цифра 2 находится в разряде сотен тысяч и представляет собой слагаемое 200 000.
• Цифра 8 находится в разряде единиц тысяч и представляет собой слагаемое 8 000.
• Цифра 4 находится в разряде сотен и представляет собой слагаемое 400.
• Цифра 7 находится в разряде десятков и представляет собой слагаемое 70.

Слагаемые, соответствующие разрядам с цифрой 0, в сумму обычно не записываются. Таким образом, сумма разрядных слагаемых для числа 208 470 будет выглядеть следующим образом:$208 470 = 200 000 + 8 000 + 400 + 70$.

Ответ: 208 470; $208 470 = 200 000 + 8 000 + 400 + 70$.

б)

Запишем число "пятьдесят шесть миллионов восемьсот три" с помощью цифр. "Пятьдесят шесть миллионов" соответствует числу 56 000 000. "Восемьсот три" соответствует числу 803. В данном числе отсутствуют разряды тысяч, поэтому на их месте будут стоять нули. Объединив части, получаем число 56 000 803.

Теперь представим это число в виде суммы разрядных слагаемых. Разложим его по разрядам:

• Цифра 5 находится в разряде десятков миллионов и представляет собой слагаемое 50 000 000.
• Цифра 6 находится в разряде единиц миллионов и представляет собой слагаемое 6 000 000.
• Цифра 8 находится в разряде сотен и представляет собой слагаемое 800.
• Цифра 3 находится в разряде единиц и представляет собой слагаемое 3.

Сумма разрядных слагаемых для числа 56 000 803 будет выглядеть так:$56 000 803 = 50 000 000 + 6 000 000 + 800 + 3$.

Ответ: 56 000 803; $56 000 803 = 50 000 000 + 6 000 000 + 800 + 3$.

3. Запиши цифрами числа:

a) $54 \text{ дес.} = \underline{\hspace{4cm}}$

б) $102 \text{ сот.} = \underline{\hspace{4cm}}$

в) $27 \text{ дес. тыс.} = \underline{\hspace{4cm}}$

г) $3095 \text{ млн} = \underline{\hspace{4cm}}$

а) 54 дес.

Сокращение "дес." означает "десятки". Один десяток равен 10. Чтобы записать число "54 десятка" цифрами, нужно умножить 54 на 10.

$54 \times 10 = 540$

Ответ: 540

б) 102 сот.

Сокращение "сот." означает "сотни". Одна сотня равна 100. Чтобы записать число "102 сотни" цифрами, нужно умножить 102 на 100.

$102 \times 100 = 10200$

Ответ: 10200

в) 27 дес. тыс.

Сокращение "дес. тыс." означает "десятки тысяч". Один десяток тысяч — это 10 000. Чтобы записать число "27 десятков тысяч" цифрами, необходимо умножить 27 на 10 000.

$27 \times 10000 = 270000$

Ответ: 270000

г) 3095 млн

Сокращение "млн" означает "миллионы". Один миллион — это 1 000 000. Чтобы записать число "3095 миллионов" цифрами, необходимо умножить 3095 на 1 000 000.

$3095 \times 1000000 = 3095000000$

Ответ: 3095000000

4. Вычисли устно суммы разрядных слагаемых:

а) $20\ 000 + 9000 + 60 + 8 = $

б) $5\ 000\ 000 + 70\ 000 + 900 + 4 = $

а) Чтобы найти сумму разрядных слагаемых, нужно сложить числа, учитывая их разряды. В данном выражении tenemos 2 десятка тысяч (20 000), 9 тысяч (9000), 6 десятков (60) и 8 единиц (8). Разряд сотен отсутствует, поэтому на его месте в итоговом числе будет стоять 0. Собирая число из разрядов, получаем: 2 в разряде десятков тысяч, 9 в разряде тысяч, 0 в разряде сотен, 6 в разряде десятков, 8 в разряде единиц.
$20000 + 9000 + 60 + 8 = 29068$
Ответ: 29068.

б) Аналогично, складываем разрядные слагаемые. У нас есть 5 миллионов (5 000 000), 7 десятков тысяч (70 000), 9 сотен (900) и 4 единицы (4). Разряды сотен тысяч, тысяч и десятков в сумме отсутствуют, значит, на их позициях в итоговом числе будут нули. Собираем число: 5 в разряде миллионов, 0 в разряде сотен тысяч, 7 в разряде десятков тысяч, 0 в разряде тысяч, 9 в разряде сотен, 0 в разряде десятков, 4 в разряде единиц.
$5000000 + 70000 + 900 + 4 = 5070904$
Ответ: 5070904.

5. Сравни числа:

a) $100000 \square 88888$

б) $4536078 \square 4536102$

а) Чтобы сравнить числа $100\,000$ и $88\,888$, необходимо сначала посчитать количество цифр в каждом из них. В числе $100\,000$ шесть цифр, а в числе $88\,888$ — пять цифр. Натуральное число, в котором больше разрядов (цифр), всегда больше, чем число, в котором разрядов меньше. Так как $6 > 5$, то и число $100\,000$ больше числа $88\,888$.

Ответ: $100\,000 > 88\,888$

б) Чтобы сравнить числа $4\,536\,078$ и $4\,536\,102$, мы начинаем сравнение по разрядам, двигаясь слева направо, поскольку количество цифр в обоих числах одинаково (по семь).
1. Сравниваем цифры в разряде миллионов: $4 = 4$.
2. Сравниваем цифры в разряде сотен тысяч: $5 = 5$.
3. Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч: $3 = 3$.
4. Сравниваем цифры в разряде единиц тысяч: $6 = 6$.
5. Сравниваем цифры в разряде сотен: $0$ и $1$.
Поскольку $0 < 1$, то первое число меньше второго. Сравнение следующих разрядов уже не имеет значения. Таким образом, $4\,536\,078$ меньше, чем $4\,536\,102$.

Ответ: $4\,536\,078 < 4\,536\,102$

6. Подчеркни меньшую величину и определи, на сколько она меньше:

а) 376 м или 3 км 4 м

б) $4 \text{ см}^3$ $58 \text{ мм}^3$ или $458 \text{ мм}^3$

а) 376 м или 3 км 4 м

Для того чтобы сравнить две величины, необходимо привести их к одинаковой единице измерения. Удобнее всего перевести километры в метры.
В одном километре содержится 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Теперь переведем вторую величину в метры:
$3 \text{ км } 4 \text{ м} = 3 \times 1000 \text{ м} + 4 \text{ м} = 3000 \text{ м} + 4 \text{ м} = 3004 \text{ м}$.
Сравним полученные значения:
$376 \text{ м} < 3004 \text{ м}$.
Следовательно, меньшая величина — 376 м.
Теперь определим, на сколько она меньше. Для этого вычтем из большей величины меньшую:
$3004 \text{ м} - 376 \text{ м} = 2628 \text{ м}$.

Ответ: меньшая величина 376 м, она меньше на 2628 м.

б) 4 см³ 58 мм³ или 458 мм³

Для сравнения приведем обе величины к кубическим миллиметрам (мм³).
Вспомним, что в одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Это означает, что в одном кубическом сантиметре содержится $10 \times 10 \times 10 = 1000$ кубических миллиметров:
$1 \text{ см}^3 = 10^3 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Переведем первую величину в кубические миллиметры:
$4 \text{ см}^3 58 \text{ мм}^3 = 4 \times 1000 \text{ мм}^3 + 58 \text{ мм}^3 = 4000 \text{ мм}^3 + 58 \text{ мм}^3 = 4058 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним полученные значения:
$458 \text{ мм}^3 < 4058 \text{ мм}^3$.
Следовательно, меньшая величина — 458 мм³.
Найдем разницу между величинами:
$4058 \text{ мм}^3 - 458 \text{ мм}^3 = 3600 \text{ мм}^3$.

Ответ: меньшая величина 458 мм³, она меньше на 3600 мм³.

7. Подчеркни большую величину и определи, во сколько раз она больше:

а) 2 ч или 40 мин ________

б) 82 000 г или 82 ц ________

а) 2 ч или 40 мин

Чтобы сравнить эти две величины, необходимо привести их к одной единице измерения. Удобнее всего перевести часы в минуты. В одном часе содержится 60 минут.

1. Переведем 2 часа в минуты:
$2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$

2. Теперь сравним полученное значение с 40 минутами:
$120 \text{ мин} > 40 \text{ мин}$
Следовательно, бóльшая величина — 2 ч.

3. Чтобы определить, во сколько раз 2 часа больше 40 минут, разделим бóльшую величину на меньшую:
$120 \text{ мин} \div 40 \text{ мин} = 3$

Ответ: 2 ч больше в 3 раза.

б) 82 000 г или 82 ц

Для сравнения этих величин приведем их к общей единице измерения — граммам. Вспомним соотношения единиц массы: 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг), а 1 килограмм равен 1000 граммам (г).

1. Сначала найдем, сколько граммов в одном центнере:
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100\,000 \text{ г}$

2. Теперь переведем 82 центнера в граммы:
$82 \text{ ц} = 82 \times 100\,000 \text{ г} = 8\,200\,000 \text{ г}$

3. Сравним полученное значение с 82 000 граммов:
$8\,200\,000 \text{ г} > 82\,000 \text{ г}$
Следовательно, бóльшая величина — 82 ц.

4. Чтобы определить, во сколько раз 82 центнера больше 82 000 граммов, разделим бóльшую величину на меньшую:
$8\,200\,000 \text{ г} \div 82\,000 \text{ г} = 100$

Ответ: 82 ц больше в 100 раз.

8*. В числах вместо некоторых цифр записаны звёздочки. Если возможно, сравни эти числа, а если нет — зачеркни.

а) $5*** \Box 8***$

б) $*9 \Box ****1$

в) $47*5 \Box 48**0$

г) $*9*** \Box *7***$

а) Сравниваем числа $5***$ и $8***$. Оба числа являются четырехзначными. При сравнении многозначных чисел смотрят на цифру в старшем разряде. В разряде тысяч у первого числа стоит цифра 5, а у второго – 8. Так как $5 < 8$, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от того, какие цифры стоят на месте звёздочек. Например, даже самое большое возможное первое число (5999) будет меньше самого маленького возможного второго числа (8000).
Ответ: $5*** < 8***$.

б) Сравниваем числа $*9$ и $****1$. Первое число, $*9$, является двузначным. Второе число, $****1$, является пятизначным. Любое число, состоящее из большего количества цифр, всегда больше числа, состоящего из меньшего количества цифр (при условии, что числа натуральные). Следовательно, любое двузначное число меньше любого пятизначного.
Ответ: $*9 < ****1$.

в) Сравниваем числа $47**5$ и $48**0$. Оба числа пятизначные. Начинаем сравнение со старших разрядов слева направо. Цифры в разряде десятков тысяч совпадают ($4 = 4$). Переходим к следующему разряду – разряду тысяч. У первого числа в этом разряде стоит цифра 7, а у второго – 8. Так как $7 < 8$, то первое число меньше второго, независимо от цифр, скрытых звёздочками.
Ответ: $47**5 < 48**0$.

г) Сравниваем числа $*9***$ и $*7***$. Оба числа являются пятизначными. Старший разряд (десятки тысяч) в обоих числах неизвестен. Результат сравнения зависит от того, какие цифры скрываются за первыми звёздочками.

• Если вместо первой звёздочки в первом числе стоит цифра больше, чем во втором (например, $29000$ и $17000$), то первое число будет больше.
• Если вместо первой звёздочки в первом числе стоит цифра меньше, чем во втором (например, $39000$ и $47000$), то первое число будет меньше.

Поскольку возможны разные исходы, однозначно сравнить эти числа нельзя.
Ответ: Сравнить невозможно.