Страница 60, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Сравни числа и обоснуй свой ответ:

а) $ \frac{1}{8} \square \frac{1}{6} $, так как _______________

б) $ \frac{1}{25} \square \frac{1}{52} $, так как _______________

в) $ \frac{1}{17} \square 1 $, так как _______________

г) $ 1 \square \frac{1}{4} $, так как _______________

2. Отметь на числовом луче доли: $ \frac{1}{15}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3} $.

3. Вырази в указанных единицах измерения:

а) $ 1 \text{ мм} = \text{ \_\_\_\_\_\_ см} $

б) $ 1 \text{ кг} = \text{ \_\_\_\_\_\_ ц} $

в) $ 1 \text{ дм}^2 = \text{ \_\_\_\_\_\_ м}^2 $

г) $ 1 \text{ мин} = \text{ \_\_\_\_\_\_ ч} $

4*. Обведи ожерелье, в котором ровно две трети камушков синие:

1. Сравни числа и обоснуй свой ответ:

а) $\frac{1}{8} < \frac{1}{6}$, так как при сравнении дробей с одинаковыми числителями, меньше та дробь, у которой знаменатель больше ($8 > 6$).
Ответ: <

б) $\frac{1}{25} > \frac{1}{52}$, так как при сравнении дробей с одинаковыми числителями, больше та дробь, у которой знаменатель меньше ($25 < 52$).
Ответ: >

в) $\frac{1}{17} < 1$, так как $\frac{1}{17}$ — это правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а любая правильная дробь всегда меньше единицы.
Ответ: <

г) $1 < 1\frac{1}{4}$, так как $1\frac{1}{4}$ — это смешанное число, которое можно представить как $1 + \frac{1}{4}$, что очевидно больше 1.
Ответ: <

2. Отметь на числовом луче доли: $\frac{1}{15}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}$

Отрезок от 0 до 1 на числовом луче разделен на 15 равных частей. Следовательно, каждое деление соответствует $\frac{1}{15}$. Чтобы отметить остальные дроби, приведем их к общему знаменателю 15:

• $\frac{1}{15}$ — соответствует первому делению после 0.
• $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$ — соответствует третьему делению после 0.
• $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$ — соответствует пятому делению после 0.

Ответ: Точки $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$ располагаются на 1-м, 3-м и 5-м делениях от 0 соответственно.

3. Вырази в указанных единицах измерения:

а) 1 см = 10 мм, следовательно 1 мм = $\frac{1}{10}$ см.
Ответ: $\frac{1}{10}$ см

б) 1 ц (центнер) = 100 кг, следовательно 1 кг = $\frac{1}{100}$ ц.
Ответ: $\frac{1}{100}$ ц

в) 1 м² = 100 дм², следовательно 1 дм² = $\frac{1}{100}$ м².
Ответ: $\frac{1}{100}$ м²

г) 1 ч (час) = 60 мин, следовательно 1 мин = $\frac{1}{60}$ ч.
Ответ: $\frac{1}{60}$ ч

4*. Обведи ожерелье, в котором ровно две трети камушков синие:

Необходимо найти ожерелье, в котором отношение числа синих камушков к общему числу камушков равно $\frac{2}{3}$. Проанализируем каждое ожерелье:

• Первое ожерелье (слева): 3 синих камушка из 9. Доля синих: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
• Второе ожерелье (в центре): 4 синих камушка из 6. Доля синих: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
• Третье ожерелье (справа): 2 синих камушка из 6. Доля синих: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Условию задачи удовлетворяет второе ожерелье.
Ответ: Нужно обвести второе (центральное) ожерелье.

2. 1. Сравни числа и обоснуй свой ответ:

а) $\frac{1}{4} \boxed{\phantom{=}} \frac{1}{7}$, так как _________

б) $\frac{1}{18} \boxed{\phantom{=}} \frac{1}{81}$, так как _________

в) $1 \boxed{\phantom{=}} \frac{1}{4}$, так как _________

г) $\frac{1}{35} \boxed{\phantom{=}} 1$, так как _________

2. Отметь на числовом луче доли: $\frac{1}{14}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{2}$.

0 _________________________________________ 1 _________________________________________ 2

3. Вырази в указанных единицах измерения:

а) $1 \text{ см} = \_\_\_\_\_\_\_ \text{ м}$

б) $1 \text{ г} = \_\_\_\_\_\_\_ \text{ кг}$

в) $1 \text{ с} = \_\_\_\_\_\_\_ \text{ мин}$

г) $1 \text{ дм}^2 = \_\_\_\_\_\_\_ \text{ м}^2$

1.

а) $\frac{1}{4} > \frac{1}{7}$, так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Деление целого на 4 части даёт большие доли, чем деление на 7 частей, то есть $4 < 7$.

Ответ: $\frac{1}{4} > \frac{1}{7}$.

б) $\frac{1}{18} > \frac{1}{81}$, так как знаменатель 18 меньше знаменателя 81 ($18 < 81$). При делении целого на меньшее количество частей каждая часть получается больше.

Ответ: $\frac{1}{18} > \frac{1}{81}$.

в) $1 > \frac{1}{4}$, так как 1 — это целое число, а $\frac{1}{4}$ — это правильная дробь, которая представляет собой часть целого и всегда меньше единицы.

Ответ: $1 > \frac{1}{4}$.

г) $\frac{1}{35} < 1$, так как любая правильная дробь (у которой числитель меньше знаменателя) по определению меньше 1.

Ответ: $\frac{1}{35} < 1$.

2.

На числовом луче отрезок от 0 до 1 разделен на 14 равных делений. Каждое такое деление равно $\frac{1}{14}$. Чтобы отметить заданные доли, найдем их положение:

• Доля $\frac{1}{14}$ соответствует первому делению от 0.
• Долю $\frac{1}{7}$ приведем к знаменателю 14: $\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$. Она соответствует второму делению от 0.
• Долю $\frac{1}{2}$ приведем к знаменателю 14: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$. Она соответствует седьмому делению от 0 (ровно посередине между 0 и 1).

Ответ: Точка $\frac{1}{14}$ находится на первом делении от 0, точка $\frac{1}{7}$ — на втором делении, а точка $\frac{1}{2}$ — на седьмом делении.

3.

а) В 1 метре 100 сантиметров. Следовательно, 1 сантиметр — это одна сотая часть метра.

$1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 0,01 \text{ м}$

Ответ: 0,01 м.

б) В 1 килограмме 1000 граммов. Следовательно, 1 грамм — это одна тысячная часть килограмма.

$1 \text{ г} = \frac{1}{1000} \text{ кг} = 0,001 \text{ кг}$

Ответ: 0,001 кг.

в) В 1 минуте 60 секунд. Следовательно, 1 секунда — это одна шестидесятая часть минуты.

$1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$

Ответ: $\frac{1}{60}$ мин.

г) В 1 метре 10 дециметров, значит в 1 квадратном метре $10 \times 10 = 100$ квадратных дециметров. Следовательно, 1 квадратный дециметр — это одна сотая часть квадратного метра.

$1 \text{ дм}^2 = \frac{1}{100} \text{ м}^2 = 0,01 \text{ м}^2$

Ответ: 0,01 м².

3. Определи, на каком из следующих рисунков изображена фигура не такая, как на остальных? Подчеркни правильный ответ.

Для того чтобы определить, какая из фигур на рисунке не такая, как остальные, необходимо найти общий признак для четырех из пяти фигур, которому не соответствует пятая. В данном случае таким признаком является количество кубиков, из которых составлена каждая фигура. Давайте посчитаем количество кубиков для каждой фигуры.

A
Фигура состоит из нескольких столбцов разной высоты. Левый задний столбец состоит из 3 кубиков, правый задний — из 2 кубиков, и левый передний — из 1 кубика. Общее количество кубиков составляет: $3 + 2 + 1 = 6$.

B
Эта фигура состоит из четырех столбцов, выстроенных в ряд. Два крайних столбца состоят из 1 кубика каждый, а два центральных — из 2 кубиков каждый. Общее количество кубиков: $1 + 2 + 2 + 1 = 6$.

C
Эту фигуру можно представить как состоящую из двух слоев. Нижний слой состоит из 4 кубиков, а верхний слой — из 2 кубиков. Общее количество кубиков: $4 + 2 = 6$.

D
Фигура представляет собой вертикальный столбец из 3 кубиков, к среднему кубику которого по бокам прикреплены еще по одному кубику. Общее количество кубиков: $3 + 1 + 1 = 5$.

E
Эта фигура имеет форму лесенки. Нижний ряд состоит из 3 кубиков, следующий ряд над ним — из 2, и верхний — из 1. Общее количество кубиков: $3 + 2 + 1 = 6$.

Таким образом, мы видим, что фигуры A, B, C и E состоят из 6 кубиков, в то время как фигура D состоит из 5 кубиков. Это означает, что фигура D отличается от остальных по количеству составляющих ее кубиков.

Ответ: D

1 Два велосипедиста едут по трассе в одном направлении. Скорость первого велосипедиста равна $v_1$ м/с, а второго – $v_2$ м/с ($v_1 > v_2$). Как и на сколько метров изменится расстояние между ними за 8 с, если они движутся: а) вдогонку; б) с отставанием? Составь выражения.

а) $v_1$ $v_2$

б) $v_2$ $v_1$

Для решения этой задачи используется понятие относительной скорости. Когда два объекта движутся в одном направлении, их относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна разности их скоростей. В данном случае скорость первого велосипедиста равна $v_1$ м/с, а второго — $v_2$ м/с, при этом по условию $v_1 > v_2$. Время движения $t = 8$ с.

а) Движение вдогонку.
В этом случае первый, более быстрый велосипедист ($v_1$) находится позади и догоняет второго, более медленного ($v_2$). Расстояние между ними будет сокращаться. Скорость, с которой первый велосипедист догоняет второго (скорость сближения), вычисляется как разность их скоростей:
$v_{сближения} = v_1 - v_2$
Чтобы найти, на сколько метров изменится расстояние за 8 секунд, нужно скорость сближения умножить на время:
$\Delta S = v_{сближения} \times t = (v_1 - v_2) \times 8$
Таким образом, расстояние между велосипедистами уменьшится.
Ответ: Расстояние уменьшится на $8(v_1 - v_2)$ м.

б) Движение с отставанием.
В этом случае первый, более быстрый велосипедист ($v_1$) находится впереди и удаляется от второго, более медленного ($v_2$). Расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), также равна разности их скоростей:
$v_{удаления} = v_1 - v_2$
Чтобы найти, на сколько метров изменится расстояние за 8 секунд, нужно скорость удаления умножить на время:
$\Delta S = v_{удаления} \times t = (v_1 - v_2) \times 8$
Таким образом, расстояние между велосипедистами увеличится.
Ответ: Расстояние увеличится на $8(v_1 - v_2)$ м.

2 a) Попробуй решить задачу, составляя выражение:

«Вертолёт и самолёт летят в одном направлении вдоль координатного луча со скоростями соответственно 1 ед./ч и 2 ед./ч. Самолёт летит впереди, а вертолёт – сзади. Сейчас между ними 5 ед. пути. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?»

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

1 ед./ч

2 ед./ч

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t ч d км

0 5

1 $5 + (2 - 1) \cdot 1 = $

2

3

$t$

✓ На сколько единиц удаляются вертолёт и самолёт за 1 час?

$v_{\text{уд.}} = \_$

✓ Запиши в таблице, каким станет расстояние $d$ между ними через 1 ч, 2 ч, 3 ч, $t$ ч?

✓ Построй формулу зависимости расстояния $d$ между вертолётом и самолётом от времени движения $t$:

$d = \_ + (\_ - \_) \cdot \_$

✓ Запиши общую формулу, обозначив $v_1$ и $v_2$ скорости движения объектов, а $s$ – первоначальное расстояние между ними:

$d = \_ + (\_ - \_) \cdot \_$

Сделай вывод и проверь себя по учебнику, с. 99. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй решить задачу, составляя выражение:

Для решения задачи нужно определить, как изменится расстояние между вертолётом и самолётом через 3 часа. Они летят в одном направлении, причём самолёт, имеющий большую скорость, находится впереди. Это означает, что они удаляются друг от друга.

1. Найдём скорость удаления. Она равна разности скоростей самолёта и вертолёта:
$v_{уд} = v_{самолёта} - v_{вертолёта} = 2 \text{ ед./ч} - 1 \text{ ед./ч} = 1 \text{ ед./ч}$.

2. Теперь найдём, на какое расстояние они дополнительно удалятся за 3 часа:
$1 \text{ ед./ч} \cdot 3 \text{ ч} = 3 \text{ ед.}$

3. Новое расстояние будет равно сумме начального расстояния и того расстояния, на которое они удалились:
$5 \text{ ед.} + 3 \text{ ед.} = 8 \text{ ед.}$

Таким образом, выражение для решения задачи выглядит так:

$5 + (2 - 1) \cdot 3 = 5 + 1 \cdot 3 = 8$ (ед.)

Ответ: Через 3 часа расстояние между вертолётом и самолётом будет 8 единиц пути.

б) Покажи движение вертолёта и самолёта на координатном луче. Используя схему, ответь на вопросы и выполни задания.

На сколько единиц удаляются вертолёт и самолёт за 1 час?

Чтобы найти, на сколько единиц вертолёт и самолёт удаляются за 1 час, нужно вычислить их скорость удаления. Скорость удаления равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении и более быстрый объект (самолёт) находится впереди.

$v_{уд} = 2 \text{ ед./ч} - 1 \text{ ед./ч} = 1 \text{ ед./ч}$.

Ответ: За 1 час вертолёт и самолёт удаляются на 1 единицу.

Запиши в таблице, каким станет расстояние d между ними через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч?

Расстояние $d$ в момент времени $t$ вычисляется по формуле: $d = s + v_{уд} \cdot t$, где $s$ — начальное расстояние (5 ед.), а $v_{уд}$ — скорость удаления (1 ед./ч).

Ответ: Таблица заполнена.

Построй формулу зависимости расстояния d между вертолётом и самолётом от времени движения t:

Исходя из данных задачи (начальное расстояние 5 ед., скорости 2 ед./ч и 1 ед./ч), формула для нахождения расстояния $d$ через время $t$ имеет вид:

$d = 5 + (2 - 1) \cdot t$

Ответ: $d = 5 + (2 - 1) \cdot t$.

Запиши общую формулу, обозначив $v_1$ и $v_2$ скорости движения объектов, а s – первоначальное расстояние между ними:

Для случая движения двух объектов в одном направлении, когда объект с большей скоростью ($v_2$) находится впереди объекта с меньшей скоростью ($v_1$), расстояние между ними со временем увеличивается. Общая формула для нахождения расстояния $d$ между ними через время $t$ выглядит так:

$d = s + (v_2 - v_1) \cdot t$

Здесь $s$ – первоначальное расстояние, $v_1$ и $v_2$ – скорости объектов (при условии $v_2 > v_1$), $t$ – время движения.

Ответ: $d = s + (v_2 - v_1) \cdot t$.

Сделай вывод и проверь себя по учебнику, с. 99. Если нужно, исправь ошибки.

Вывод: При движении двух объектов в одном направлении, когда впереди находится объект с большей скоростью, расстояние между ними увеличивается. Это называется движением с отставанием. Чтобы найти новое расстояние ($d$) через некоторое время ($t$), нужно к первоначальному расстоянию ($s$) прибавить произведение скорости удаления ($v_{уд} = v_2 - v_1$) на время ($t$).

9 1. Найди частное чисел:

а) $1 909 040 : 56$

б) $58 354 400 : 7240$

а) 1 909 040 : 56

Для нахождения частного чисел 1 909 040 и 56, выполним деление столбиком.

1. Начнем деление с левых разрядов делимого. 1 меньше 56, 19 меньше 56, поэтому берем первые три цифры: 190. Делим 190 на 56. Подбираем ближайшее число, которое можно получить умножением 56. $56 * 3 = 168$. Записываем 3 в частное. Находим остаток: $190 - 168 = 22$.

2. Сносим следующую цифру из делимого, 9. Получаем число 229. Делим 229 на 56. $56 * 4 = 224$. Записываем 4 в частное. Находим остаток: $229 - 224 = 5$.

3. Сносим следующую цифру, 0. Получаем 50. Так как 50 меньше 56, в частное записываем 0.

4. Сносим следующую цифру, 4. Получаем 504. Делим 504 на 56. $56 * 9 = 504$. Записываем 9 в частное. Находим остаток: $504 - 504 = 0$.

5. Сносим последнюю цифру делимого, 0. Делим 0 на 56, получаем 0. Записываем 0 в частное.

Таким образом, частное чисел 1 909 040 и 56 равно 34 090.

Ответ: 34 090.

б) 58 354 400 : 7240

Для упрощения вычислений, заметим, что и делимое, и делитель заканчиваются на ноль. Мы можем разделить оба числа на 10, убрав по одному нулю. Частное от этого не изменится. Получаем пример: 5 835 440 : 724. Выполним деление столбиком.

1. Первое неполное делимое — 5835. Делим 5835 на 724. Подбираем цифру 8: $724 * 8 = 5792$. Записываем 8 в частное. Находим остаток: $5835 - 5792 = 43$.

2. Сносим следующую цифру из делимого, 4. Получаем число 434. Так как 434 меньше 724, в частное записываем 0.

3. Сносим следующую цифру, 4. Получаем 4344. Делим 4344 на 724. Подбираем цифру 6: $724 * 6 = 4344$. Записываем 6 в частное. Находим остаток: $4344 - 4344 = 0$.

4. Сносим последнюю цифру делимого, 0. Делим 0 на 724, получаем 0. Записываем 0 в частное.

Таким образом, частное чисел 58 354 400 и 7240 равно 8 060.

Ответ: 8060.

2. Реши уравнения:

а) $90 \cdot x = 180720$

б) $115620 : y = 564$

а)

Дано уравнение: $90 \cdot x = 180720$.

В этом уравнении переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($180720$) разделить на известный множитель ($90$).

$x = 180720 : 90$

Для упрощения вычислений можно сократить по одному нулю в делимом и делителе:

$x = 18072 : 9$

Выполним деление:

$x = 2008$

Проверка: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение.

$90 \cdot 2008 = 180720$

$180720 = 180720$

Равенство верно, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 2008$.

б)

Дано уравнение: $115620 : y = 564$.

В этом уравнении переменная $y$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($115620$) разделить на частное ($564$).

$y = 115620 : 564$

Выполним деление столбиком. Сначала делим $1156$ на $564$, получаем $2$. Вычитаем $564 \cdot 2 = 1128$ из $1156$, получаем остаток $28$. Сносим следующую цифру, $2$, получаем $282$. Так как $282$ меньше $564$, в частном пишем $0$. Сносим следующую цифру, $0$, получаем $2820$. Делим $2820$ на $564$, получаем $5$.

Таким образом, $y = 205$.

Проверка: подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение.

$115620 : 205 = 564$

$564 = 564$

Равенство верно, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 205$.

3. Запиши выражения:

а) частное числа a и разности чисел b и c $\frac{a}{b-c}$

б) частное суммы и разности чисел x и y $\frac{x+y}{x-y}$

а)

Чтобы записать выражение "частное числа a и разности чисел b и c", необходимо определить делимое и делитель.

• Делимое — это то, что делят. В данном случае это число $a$.
• Делитель — это то, на что делят. В данном случае это "разность чисел b и c", которая записывается как $(b - c)$.

Частное — это результат деления. Таким образом, нам нужно разделить число $a$ на выражение $(b - c)$. В алгебре это принято записывать в виде дроби.

$\frac{a}{b-c}$

Ответ: $\frac{a}{b-c}$

б)

Чтобы записать выражение "частное суммы и разности чисел x и y", необходимо также определить делимое и делитель.

• Делимое — это "сумма чисел x и y", которая записывается как $(x + y)$.
• Делитель — это "разность чисел x и y", которая записывается как $(x - y)$.

Частное в данном случае — это результат деления суммы $(x + y)$ на разность $(x - y)$. Запишем это в виде дроби.

$\frac{x+y}{x-y}$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

4. Сравни выражения (буквами обозначены натуральные числа):

$a \cdot 9$ $a \cdot 4$ $c : 8$ $c : 2$ $(x \cdot 7) \cdot y$ $y \cdot (3 \cdot x)$

$b \cdot 5$ $5 \cdot b$ $36 : d$ $24 : d$ $m \cdot 2 + m \cdot 4$ $6 \cdot m$

$a \cdot 9 \ \Box \ a \cdot 4$
В этом выражении мы сравниваем два произведения с одинаковым множителем $a$. По условию, $a$ — натуральное число, значит $a \ge 1$. Поскольку $9 > 4$, то при умножении одного и того же натурального числа $a$ на 9 мы получим результат больше, чем при умножении на 4. Например, если $a = 2$, то $2 \cdot 9 = 18$, а $2 \cdot 4 = 8$, и $18 > 8$.
Ответ: $a \cdot 9 > a \cdot 4$.

$b \cdot 5 \ \Box \ 5 \cdot b$
Это сравнение основано на переместительном свойстве умножения. Оно гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Таким образом, значения выражений слева и справа всегда будут одинаковыми.
Ответ: $b \cdot 5 = 5 \cdot b$.

$c : 8 \ \Box \ c : 2$
Здесь мы делим одно и то же натуральное число $c$ на разные делители. Чем больше делитель, тем меньше частное (результат деления). Поскольку $8 > 2$, то при делении числа $c$ на 8 получится меньший результат, чем при делении на 2. Например, если $c = 16$, то $16 : 8 = 2$, а $16 : 2 = 8$, и $2 < 8$.
Ответ: $c : 8 < c : 2$.

$36 : d \ \Box \ 24 : d$
В этом случае у нас одинаковый делитель $d$, но разные делимые. Так как $d$ — натуральное число, оно положительное. При делении на одно и то же положительное число, большее частное будет у того выражения, у которого делимое больше. Поскольку $36 > 24$, то и результат деления 36 на $d$ будет больше, чем результат деления 24 на $d$. Например, если $d = 4$, то $36 : 4 = 9$, а $24 : 4 = 6$, и $9 > 6$.
Ответ: $36 : d > 24 : d$.

$(x \cdot 7) \cdot y \ \Box \ y \cdot (3 \cdot x)$
Упростим оба выражения, используя сочетательное и переместительное свойства умножения. Левая часть: $(x \cdot 7) \cdot y = 7 \cdot x \cdot y = 7xy$. Правая часть: $y \cdot (3 \cdot x) = y \cdot 3 \cdot x = 3 \cdot x \cdot y = 3xy$. Теперь нужно сравнить $7xy$ и $3xy$. Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, их произведение $xy$ также является натуральным числом ($xy \ge 1$). Так как $7 > 3$, то и $7xy > 3xy$.
Ответ: $(x \cdot 7) \cdot y > y \cdot (3 \cdot x)$.

$m \cdot 2 + m \cdot 4 \ \Box \ 6 \cdot m$
Упростим левую часть, используя распределительное свойство умножения. Мы можем вынести общий множитель $m$ за скобки: $m \cdot 2 + m \cdot 4 = m \cdot (2 + 4) = m \cdot 6$. Теперь сравним полученное выражение $m \cdot 6$ с выражением в правой части $6 \cdot m$. Согласно переместительному свойству умножения, эти выражения равны.
Ответ: $m \cdot 2 + m \cdot 4 = 6 \cdot m$.

5. Сделай оценку частного:

$\quad : \quad < 58752 : 72 < \quad : \quad$

$\quad < 58752 : 72 < \quad$

Чтобы выполнить оценку частного $58752 : 72$, необходимо найти нижнюю и верхнюю границы. Для этого мы подбираем ближайшие к делимому $58752$ "круглые" числа, которые делятся на $72$ нацело. Одно число должно быть меньше делимого, а другое — больше.

1. Находим нижнюю границу (меньшее частное)
Посмотрим на первые три цифры делимого ($587$) и делитель ($72$). Прикинем, сколько раз $72$ помещается в $587$. Это примерно как $560$ разделить на $70$, то есть $8$.
Возьмем за основу множитель $800$ и умножим его на делитель: $72 \times 800 = 57600$.
Число $57600$ меньше, чем $58752$, и делится на $72$ без остатка. Это будет наша нижняя граница.
Результат деления: $57600 : 72 = 800$.

2. Находим верхнюю границу (большее частное)
Для верхней границы возьмем следующий "круглый" множитель после $800$, то есть $900$.
Умножим его на делитель: $72 \times 900 = 64800$.
Число $64800$ больше, чем $58752$, и также делится на $72$ без остатка. Это будет наша верхняя граница.
Результат деления: $64800 : 72 = 900$.

3. Заполняем пропуски в неравенствах
Используя найденные значения, заполняем обе строки в задании.

Первая строка
Подставляем найденные выражения с делением.

Ответ: $57600 : 72 < 58752 : 72 < 64800 : 72$

Вторая строка
Подставляем результаты вычислений.

Ответ: $800 < 58752 : 72 < 900$

6*. Стёпа учится в школе. Если цифры в его возрасте поменять местами, то получится возраст его дедушки, которому больше 60 лет, но меньше 70. На сколько лет Стёпа моложе дедушки?

Пусть возраст Стёпы — это двузначное число, которое можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

Согласно условию, если поменять цифры в возрасте Стёпы местами, то получится возраст его дедушки. Значит, возраст дедушки можно представить как $10b + a$.

Известно, что возраст дедушки больше 60, но меньше 70 лет. Это можно записать в виде двойного неравенства: $60 < 10b + a < 70$.

Из этого неравенства следует, что цифра десятков в возрасте дедушки, то есть $b$, должна быть равна 6. Если бы $b$ было 5 или меньше, число было бы меньше 60. Если бы $b$ было 7 или больше, число было бы 70 или больше.

Таким образом, мы выяснили, что $b = 6$. Следовательно, возраст дедушки — это число из диапазона от 61 до 69, которое можно записать как $60 + a$. Возраст Стёпы, в свою очередь, равен $10a + 6$.

Поскольку Стёпа учится в школе, его возраст должен быть в разумных пределах для школьника (например, от 7 до 18 лет). Проверим возможные варианты для цифры $a$. Если $a = 1$, то возраст дедушки равен $60 + 1 = 61$ год, а возраст Стёпы — $10 \cdot 1 + 6 = 16$ лет. 16 лет — подходящий возраст для школьника. Если же взять следующее значение $a = 2$, то возраст Стёпы будет $10 \cdot 2 + 6 = 26$ лет, что уже не является школьным возрастом. Другие, большие значения $a$ также не подходят.

Значит, единственно возможный вариант: Стёпе 16 лет, а его дедушке 61 год.

Теперь найдём разницу в возрасте:$61 - 16 = 45$ лет.

Ответ: на 45 лет.