Страница 36, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Допиши формулу деления с остатком:

$a = b \cdot q + r$, где $r < b$.

Выполни деление с остатком и сделай проверку по формуле.

14 : 5 = ______ (ост. ______)

Проверка: ______

75 : 12 = ______ (ост. ______)

Проверка: ______

Допиши формулу деления с остатком: a = b · ▢ + ▢, где ▢ < ▢
Общая формула деления с остатком связывает делимое ($a$), делитель ($b$), неполное частное ($c$) и остаток ($r$). Она записывается следующим образом:
$a = b \cdot c + r$
При этом остаток $r$ всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя $b$.
$0 \le r < b$
Ответ: $a = b \cdot c + r$, где $r < b$.

14 : 5
1. Найдем наибольшее число, меньшее или равное 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
2. Определим неполное частное, разделив это число на делитель: $10 : 5 = 2$.
3. Вычислим остаток, вычтя из делимого (14) произведение делителя (5) на неполное частное (2): $14 - 5 \cdot 2 = 14 - 10 = 4$.
4. Проверим, что остаток (4) меньше делителя (5): $4 < 5$. Условие выполняется.
Таким образом, 14 разделить на 5 равно 2 с остатком 4.
Проверка:
Используем формулу $a = b \cdot c + r$ для проверки:
$5 \cdot 2 + 4 = 10 + 4 = 14$.
Поскольку полученный результат (14) равен исходному делимому (14), деление выполнено верно.
Ответ: $14 : 5 = 2$ (ост. 4).

75 : 12
1. Найдем наибольшее число, меньшее или равное 75, которое делится на 12 без остатка. Это число 72.
2. Определим неполное частное: $72 : 12 = 6$.
3. Вычислим остаток: $75 - 12 \cdot 6 = 75 - 72 = 3$.
4. Проверим, что остаток (3) меньше делителя (12): $3 < 12$. Условие выполняется.
Таким образом, 75 разделить на 12 равно 6 с остатком 3.
Проверка:
Используем формулу $a = b \cdot c + r$ для проверки:
$12 \cdot 6 + 3 = 72 + 3 = 75$.
Поскольку полученный результат (75) равен исходному делимому (75), деление выполнено верно.
Ответ: $75 : 12 = 6$ (ост. 3).

2 а) Попробуй выполнить деление $576 : 184$ углом.

Что нового в этом задании?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Используя формулу деления с остатком, сделай проверку своего деления.

Проанализируй решение и сделай вывод.

Проверь себя по учебнику, с. 36. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй выполнить деление 576 : 184 углом.

Чтобы разделить 576 на 184, нужно найти такое целое число (неполное частное), при умножении которого на 184 получится число, максимально близкое к 576, но не превышающее его.
Для подбора частного можно округлить числа: 184 ≈ 200, а 576 ≈ 600.
$600 : 200 = 3$.
Проверим, подходит ли число 3. Умножим делитель на 3:
$184 * 3 = 552$.
Сравним результат с делимым: $552 < 576$. Значит, частное равно 3.
Теперь найдем остаток от деления. Для этого вычтем из делимого полученное произведение:
$576 - 552 = 24$.
Сравним остаток с делителем: $24 < 184$. Условие, что остаток должен быть меньше делителя, выполняется.
Запись деления углом выглядит так:

Ответ: $576 : 184 = 3$ (остаток 24).

Что нового в этом задании?

В этом задании выполняется деление трехзначного числа на трехзначное с остатком. Новизна состоит в применении алгоритма письменного деления к таким числам, что требует навыка подбора частного.

Поставь перед собой цель и составь план.

Цель: Научиться выполнять деление трехзначного числа на трехзначное с остатком и проверять правильность вычислений.
План:
1. Подобрать частное, определив, сколько раз делитель содержится в делимом (можно использовать метод оценки).
2. Умножить делитель на подобранное частное.
3. Найти остаток, вычтя полученное произведение из делимого.
4. Сравнить остаток с делителем, убедившись, что остаток меньше.
5. Выполнить проверку по формуле деления с остатком.

б) Используя формулу деления с остатком, сделай проверку своего деления.

Формула для проверки деления с остатком: $a = b * q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, $r$ – остаток. При этом должно выполняться условие $0 \le r < b$.
В нашем примере: делимое $a = 576$, делитель $b = 184$, частное $q = 3$, остаток $r = 24$.
1. Проверяем условие: $24 < 184$. Условие выполняется.
2. Подставляем значения в формулу:
$184 * 3 + 24 = 552 + 24 = 576$.
$576 = 576$.
Полученное число равно исходному делимому, следовательно, деление выполнено верно.
Ответ: Проверка $184 * 3 + 24 = 576$ подтверждает, что деление выполнено правильно.

Проанализируй решение и сделай вывод.

Анализ: Решение задачи состояло из двух основных этапов: непосредственное выполнение деления с остатком и его последующая проверка. На первом этапе было найдено неполное частное (3) и остаток (24). На втором этапе, с помощью формулы $a = b * q + r$, была подтверждена корректность вычислений. Все шаги алгоритма деления и проверки были выполнены последовательно и правильно.
Вывод: Деление с остатком является операцией, обратной к умножению с последующим сложением. Чтобы разделить число $a$ на число $b$ с остатком, нужно найти такое неполное частное $q$ и остаток $r$, чтобы выполнялось равенство $a = b * q + r$, причём остаток $r$ должен быть меньше делителя $b$. Этот алгоритм применим к любым натуральным числам.

3 Выполни деление с остатком и сделай проверку:

a) $257 : 36 = \underline{\hspace{3em}}$ (ост. $\underline{\hspace{3em}}$) Проверка: $\underline{\hspace{10em}}$

б) $1784 : 429 = \underline{\hspace{3em}}$ (ост. $\underline{\hspace{3em}}$) Проверка: $\underline{\hspace{10em}}$

в) $2960 : 562 = \underline{\hspace{3em}}$ (ост. $\underline{\hspace{3em}}$) Проверка: $\underline{\hspace{10em}}$

г) $9486 : 3128 = \underline{\hspace{3em}}$ (ост. $\underline{\hspace{3em}}$) Проверка: $\underline{\hspace{10em}}$

а) Чтобы разделить 257 на 36 с остатком, нужно найти наибольшее число, которое при умножении на 36 будет меньше или равно 257. Это число 7, так как $36 \cdot 7 = 252$.
Теперь найдем остаток, вычтя полученное произведение из делимого: $257 - 252 = 5$.
Остаток (5) меньше делителя (36), значит, деление выполнено правильно. Таким образом, $257 : 36 = 7$ (ост. 5).
Проверка: Для проверки нужно умножить неполное частное на делитель и прибавить остаток. Результат должен быть равен делимому.
$7 \cdot 36 + 5 = 252 + 5 = 257$.
$257 = 257$. Проверка верна.
Ответ: $257 : 36 = 7$ (ост. 5).

б) Выполним деление 1784 на 429. Подберем неполное частное. $429 \cdot 4 = 1716$.
$429 \cdot 5 = 2145$ (больше 1784).
Значит, неполное частное равно 4. Найдем остаток: $1784 - 1716 = 68$.
Остаток (68) меньше делителя (429). Таким образом, $1784 : 429 = 4$ (ост. 68).
Проверка: $4 \cdot 429 + 68 = 1716 + 68 = 1784$.
$1784 = 1784$. Проверка верна.
Ответ: $1784 : 429 = 4$ (ост. 68).

в) Выполним деление 2960 на 562. Подберем неполное частное. $562 \cdot 5 = 2810$.
$562 \cdot 6 = 3372$ (больше 2960).
Значит, неполное частное равно 5. Найдем остаток: $2960 - 2810 = 150$.
Остаток (150) меньше делителя (562). Таким образом, $2960 : 562 = 5$ (ост. 150).
Проверка: $5 \cdot 562 + 150 = 2810 + 150 = 2960$.
$2960 = 2960$. Проверка верна.
Ответ: $2960 : 562 = 5$ (ост. 150).

г) Выполним деление 9486 на 3128. Подберем неполное частное. $3128 \cdot 3 = 9384$.
$3128 \cdot 4 = 12512$ (больше 9486).
Значит, неполное частное равно 3. Найдем остаток: $9486 - 9384 = 102$.
Остаток (102) меньше делителя (3128). Таким образом, $9486 : 3128 = 3$ (ост. 102).
Проверка: $3 \cdot 3128 + 102 = 9384 + 102 = 9486$.
$9486 = 9486$. Проверка верна.
Ответ: $9486 : 3128 = 3$ (ост. 102).

4 Определи цену деления $c$ числового луча:

а) $c = 0.25$

б) $c = 12$

в) $c = 20$

Чтобы определить цену деления (c) числового луча, необходимо найти разность значений двух соседних числовых отметок и разделить ее на количество делений (промежутков) между ними.

Возьмем две соседние числовые отметки на луче, например, 0 и 1. Разность их значений равна $1 - 0 = 1$. Между этими отметками находится 2 деления. Чтобы найти цену одного деления, разделим разность значений на количество делений:
$c = (1 - 0) \div 2 = 1 \div 2 = 0,5$
Ответ: 0,5

Возьмем две соседние числовые отметки, например, 0 и 36. Разность их значений составляет $36 - 0 = 36$. Количество делений между ними равно 2. Найдем цену деления:
$c = (36 - 0) \div 2 = 36 \div 2 = 18$
Ответ: 18

Возьмем две соседние числовые отметки, например, 0 и 80. Разность их значений равна $80 - 0 = 80$. Количество делений между ними равно 4. Найдем цену деления:
$c = (80 - 0) \div 4 = 80 \div 4 = 20$
Ответ: 20

5 Начерти числовой луч и отметь на нём точки, выбрав удобную цену деления:

а) 5; 20; 35; 45; 60; 85

б) $\frac{1}{8}$; $\frac{5}{8}$; $1\frac{4}{8}$; $1\frac{7}{8}$; $2\frac{3}{8}$; $3\frac{2}{8}$

а) 5; 20; 35; 45; 60; 85

Для того чтобы отметить на числовом луче точки с данными координатами, нужно выбрать удобную цену деления (единичный отрезок). Все эти числа кратны 5. Поэтому удобно выбрать цену деления, равную 5. Это означает, что одно деление на луче будет соответствовать 5 единицам. Чтобы отметить точку 5, нужно отложить от начала (0) одно такое деление ($5 \div 5 = 1$). Чтобы отметить точку 20, нужно отложить 4 деления ($20 \div 5 = 4$). Для точки 35 нужно отложить 7 делений ($35 \div 5 = 7$). Для точки 45 – 9 делений ($45 \div 5 = 9$). Для точки 60 – 12 делений ($60 \div 5 = 12$). Для точки 85 – 17 делений ($85 \div 5 = 17$). Начертим числовой луч с такой ценой деления и отметим на нем заданные точки.

Ответ:

б) $\frac{1}{8}; \frac{5}{8}; 1\frac{4}{8}; 1\frac{7}{8}; 2\frac{3}{8}; 3\frac{2}{8}$

Для того чтобы отметить на числовом луче точки с данными дробными координатами, нужно выбрать удобную цену деления. Все дроби в условии имеют знаменатель 8, поэтому удобно взять цену деления, равную $\frac{1}{8}$. В этом случае отрезок от 0 до 1 будет состоять из 8 равных делений. Чтобы найти положение каждой точки, отложим соответствующее количество делений от начала (0). Точка $\frac{1}{8}$ находится на 1-м делении. Точка $\frac{5}{8}$ – на 5-м делении. Для смешанных чисел удобно представить их в виде неправильных дробей: $1\frac{4}{8} = \frac{12}{8}$, это 12-е деление; $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$, это 15-е деление; $2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$, это 19-е деление; $3\frac{2}{8} = \frac{26}{8}$, это 26-е деление. Начертим числовой луч с ценой деления $\frac{1}{8}$ и отметим на нем заданные точки.

Ответ:

6 Реши уравнения:

а) $(5\frac{6}{15} + x) - \frac{12}{15} = 7\frac{3}{15}$

б) $(y - 3\frac{7}{9}) + 6\frac{4}{9} = 8\frac{7}{9}$

а) $(5\frac{6}{15} + x) - \frac{12}{15} = 7\frac{3}{15}$

Выражение в скобках $(5\frac{6}{15} + x)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$5\frac{6}{15} + x = 7\frac{3}{15} + \frac{12}{15}$

Сложим дроби в правой части уравнения:

$7\frac{3}{15} + \frac{12}{15} = 7\frac{3+12}{15} = 7\frac{15}{15} = 7 + 1 = 8$

Получаем более простое уравнение:

$5\frac{6}{15} + x = 8$

Теперь $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, вычтем из суммы известное слагаемое:

$x = 8 - 5\frac{6}{15}$

Для вычитания представим 8 как $7\frac{15}{15}$:

$x = 7\frac{15}{15} - 5\frac{6}{15} = (7-5) + (\frac{15-6}{15}) = 2\frac{9}{15}$

Сократим дробную часть полученного числа, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = 2\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = 2\frac{3}{5}$

Ответ: $2\frac{3}{5}$

б) $(y - 3\frac{7}{9}) + 6\frac{4}{9} = 8\frac{1}{9}$

Выражение в скобках $(y - 3\frac{7}{9})$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y - 3\frac{7}{9} = 8\frac{1}{9} - 6\frac{4}{9}$

Выполним вычитание в правой части. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{9}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{9}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$8\frac{1}{9} = 7 + 1 + \frac{1}{9} = 7 + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 7\frac{10}{9}$

$y - 3\frac{7}{9} = 7\frac{10}{9} - 6\frac{4}{9} = (7-6) + (\frac{10-4}{9}) = 1\frac{6}{9}$

Теперь у нас есть уравнение:

$y - 3\frac{7}{9} = 1\frac{6}{9}$

Здесь $y$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно сложить разность и вычитаемое.

$y = 1\frac{6}{9} + 3\frac{7}{9}$

Складываем целые и дробные части:

$y = (1+3) + (\frac{6+7}{9}) = 4\frac{13}{9}$

Так как дробная часть $\frac{13}{9}$ — неправильная дробь, выделим из нее целую часть:

$\frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$

Теперь прибавим ее к целой части результата:

$y = 4 + 1\frac{4}{9} = 5\frac{4}{9}$

Ответ: $5\frac{4}{9}$

(7)* В числе $62\ 317$ зачеркните одну цифру так, чтобы оставшееся число было:

а) наименьшим __________

б) наибольшим __________

Дано число 62 317. Чтобы получить новое, четырехзначное число, нужно вычеркнуть одну из его пяти цифр. Рассмотрим все возможные варианты, которые могут получиться:

1. Если зачеркнуть цифру 6, получится число 2 317.
2. Если зачеркнуть цифру 2, получится число 6 317.
3. Если зачеркнуть цифру 3, получится число 6 217.
4. Если зачеркнуть цифру 1, получится число 6 237.
5. Если зачеркнуть цифру 7, получится число 6 231.

Теперь из полученного списка чисел (2 317, 6 317, 6 217, 6 237, 6 231) необходимо выбрать наименьшее и наибольшее.

а) наименьшим

Чтобы получить наименьшее число, нужно, чтобы его старшие разряды (цифры слева) были как можно меньше. Сравним все полученные варианты. Число 2 317 начинается с цифры 2, в то время как все остальные начинаются с 6. Так как $2 < 6$, число, начинающееся с двойки, будет меньше любого числа, начинающегося с шестерки (при одинаковом количестве цифр). Следовательно, 2 317 является наименьшим из всех возможных чисел.
Это число получается, если в исходном числе 62 317 зачеркнуть первую цифру 6.
Правило для поиска: чтобы получить наименьшее число, нужно двигаться по цифрам слева направо и вычеркнуть первую цифру, которая больше следующей за ней. В числе 62 317 это цифра 6, так как $6 > 2$.
Ответ: 2 317.

б) наибольшим

Чтобы получить наибольшее число, нужно, чтобы его старшие разряды были как можно больше. Снова сравним все пять вариантов. Наибольшее число не может начинаться с цифры 2, если есть варианты, начинающиеся с 6. Поэтому рассматриваем числа: 6 317, 6 217, 6 237, 6 231.
У всех этих чисел первая цифра одинакова. Сравниваем вторые цифры (разряд сотен). У числа 6 317 вторая цифра – 3, а у остальных – 2. Так как $3 > 2$, число 6 317 будет наибольшим из всех возможных.
Это число получается, если в исходном числе 62 317 зачеркнуть вторую цифру 2.
Правило для поиска: чтобы получить наибольшее число, нужно двигаться по цифрам слева направо и вычеркнуть первую цифру, которая меньше следующей за ней. В числе 62 317 это цифра 2, так как $2 < 3$.
Ответ: 6 317.

1 Запиши координаты точек:

a) A(_______), B(_______), C(_______)

б) M(_______), N(_______), K(_______)

В) D(_______; _______), E(_______; _______), F(_______; _______)

а)

На данной числовой оси отрезок от 0 до 16 разделен на 4 равные части. Это значит, что цена одного деления (расстояние между двумя соседними штрихами) составляет $16 \div 4 = 4$ единицы.

• Точка A находится на втором делении от начала координат (0). Чтобы найти ее координату, нужно цену деления умножить на количество делений: $2 \times 4 = 8$.
• Точка B находится на пятом делении от начала координат (на одно деление правее отметки 16). Ее координата равна $5 \times 4 = 20$.
• Точка C находится на десятом делении от начала координат (на два деления правее отметки 32, которая соответствует восьмому делению). Ее координата равна $10 \times 4 = 40$.

Ответ: A(8), B(20), C(40).

б)

На этой числовой оси отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных частей. Следовательно, цена одного деления равна $1 \div 5 = 0.2$ единицы.

• Точка M находится на втором делении от начала координат (0). Ее координата равна $2 \times 0.2 = 0.4$.
• Точка N находится на третьем делении после отметки 1. Ее координата равна $1 + 3 \times 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$.
• Точка K находится на четвертом делении после отметки 2. Ее координата равна $2 + 4 \times 0.2 = 2 + 0.8 = 2.8$.

Ответ: M(0.4), N(1.6), K(2.8).

в)

Для определения координат точек на плоскости используется прямоугольная система координат. Первая координата (абсцисса) определяется по горизонтальной оси X, а вторая (ордината) — по вертикальной оси Y.

• Для точки D: ее проекция на ось X равна 2, а на ось Y — 1. Таким образом, координаты точки D(2; 1).
• Для точки E: ее проекция на ось X равна 4, а на ось Y — 3. Таким образом, координаты точки E(4; 3).
• Для точки F: ее проекция на ось X равна 7, а на ось Y — 2. Таким образом, координаты точки F(7; 2).

Ответ: D(2; 1), E(4; 3), F(7; 2).

2 а) Попробуй построить точку с координатами $M (6; 2)$. Запиши способ построения.

1. ______________________________________
2. ______________________________________

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Узнай способы построения точки $M (6; 2)$ по учебнику, с. 56. Допиши предложения:

I способ:

1. Пройти ___ единиц по оси x.

2. Подняться на ___ единицы вверх вдоль оси y.

II способ:

1. Провести перпендикулярные прямые: к оси x через точку ___, к оси y – через точку ___.

2. Найти точку ___ этих прямых.

Сравни эти способы со своим способом. Если нужно, исправь ошибки.

Чтобы построить точку $M$ с координатами $(6; 2)$ на координатной плоскости, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти на горизонтальной оси $x$ (оси абсцисс) значение 6.

2. От этой точки подняться на 2 единицы вертикально вверх (параллельно оси $y$) и отметить полученную точку. Это и будет точка $M$.

Таким образом, первая координата (абсцисса) 6 показывает, на сколько единиц нужно сместиться от начала координат по оси $x$, а вторая координата (ордината) 2 — на сколько единиц нужно сместиться от оси $x$ параллельно оси $y$.

Ответ: Способ построения заключается в том, чтобы найти на оси $x$ координату 6, а затем от этой точки подняться вверх на 2 единицы параллельно оси $y$.

Ниже приведены предложения с вписанными недостающими словами и числами.

I способ:

1. Пройти 6 единиц по оси $x$.

2. Подняться на 2 единицы вверх вдоль оси $y$.

II способ:

1. Провести перпендикулярные прямые: к оси $x$ через точку 6, к оси $y$ – через точку 2.

2. Найти точку пересечения этих прямых.

Ответ: В первом способе пропущены числа 6 и 2. Во втором способе пропущены числа 6, 2 и слово пересечения.

3 а) Построй четырёхугольник $ABCD$, если $A (2; 3)$, $B (2; 7)$, $C (8; 7)$, $D (8; 3)$. Определи вид этого четырёхугольника.

$ABCD$ – ________

б) Проведи диагонали четырёхугольника $ABCD$. Найди точку их пересечения $O$ и определи её координаты.

$O (\text{__}; \text{__})$

а) Построим на координатной плоскости точки с заданными координатами: A (2; 3), B (2; 7), C (8; 7), D (8; 3) и соединим их последовательно отрезками.

Определим вид четырёхугольника. Для этого проанализируем его стороны.

1. Найдём длины сторон.
- Сторона AB соединяет точки A(2; 3) и B(2; 7). Так как координаты x у точек одинаковы, эта сторона вертикальна, а её длина равна разности координат y: $AB = |7 - 3| = 4$.
- Сторона BC соединяет точки B(2; 7) и C(8; 7). Так как координаты y у точек одинаковы, эта сторона горизонтальна, а её длина равна разности координат x: $BC = |8 - 2| = 6$.
- Сторона CD соединяет точки C(8; 7) и D(8; 3). Координаты x одинаковы, сторона вертикальна. Длина: $CD = |7 - 3| = 4$.
- Сторона DA соединяет точки D(8; 3) и A(2; 3). Координаты y одинаковы, сторона горизонтальна. Длина: $DA = |8 - 2| = 6$.

2. Проанализируем углы.
- Стороны AB и CD вертикальны, а стороны BC и DA горизонтальны. Это означает, что смежные стороны (например, AB и BC) перпендикулярны друг другу. Следовательно, все углы четырёхугольника прямые и равны $90^\circ$.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), а все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: ABCD – прямоугольник.

б) Проведём диагонали AC и BD. Точка их пересечения O является серединой каждой из диагоналей.

Координаты точки пересечения диагоналей (середины отрезка) можно найти по формуле. Возьмём, например, диагональ AC с концами в точках A(2; 3) и C(8; 7).

Координата $x_O$ точки O равна полусумме координат x точек A и C: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Координата $y_O$ точки O равна полусумме координат y точек A и C: $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, точка пересечения диагоналей O имеет координаты (5; 5).

Ответ: O (5; 5).