Страница 71, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 12 кг конфет разложили поровну в 3 пакета. Чему равна масса одного пакета с конфетами?

$1 - 12 \text{ кг}$

$\frac{1}{3} - ? \text{ кг}$

Сделай вывод: как найти $\frac{1}{3}$ долю числа? $\frac{1}{n}$ долю?

12 кг конфет разложили поровну в 3 пакета. Чему равна масса одного пакета с конфетами?

Чтобы найти массу одного пакета, необходимо общую массу конфет разделить на количество пакетов, так как конфеты были разложены поровну.
$12 \text{ кг} \div 3 = 4 \text{ кг}$
Ответ: 4 кг.

Сделай вывод: как найти 1/3 долю числа? 1/n долю?

На основе решенной задачи можно сделать вывод о правиле нахождения доли от числа. Нахождение массы одного из трех равных пакетов — это нахождение одной третьей доли ($\frac{1}{3}$) от общего веса.
- Чтобы найти $\frac{1}{3}$ долю числа, нужно это число разделить на 3.
- Обобщая это правило, чтобы найти $\frac{1}{n}$ долю числа, нужно это число разделить на $n$.
Ответ: чтобы найти $\frac{1}{3}$ долю числа, нужно разделить это число на 3. Чтобы найти $\frac{1}{n}$ долю числа, нужно разделить это число на $n$.

2 Вырази в минутах:

а) половину часа;

б) четверть часа;

в) треть часа;

г) $\frac{1}{6}$ долю часа;

д) $\frac{1}{5}$ долю часа;

е) $\frac{1}{10}$ долю часа;

ж) $\frac{1}{15}$ долю часа;

з) $\frac{1}{20}$ долю часа.

Для решения этой задачи необходимо знать, что в одном часе содержится 60 минут. Чтобы найти, какую часть часа составляет определенное количество минут, нужно 60 минут умножить на соответствующую долю.

а) Половина часа – это $1/2$ часа. Чтобы найти, сколько это в минутах, умножим 60 на $1/2$.
$60 \cdot \frac{1}{2} = \frac{60}{2} = 30$ минут.
Ответ: 30 минут.

б) Четверть часа – это $1/4$ часа. Умножим 60 на $1/4$.
$60 \cdot \frac{1}{4} = \frac{60}{4} = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

в) Треть часа – это $1/3$ часа. Умножим 60 на $1/3$.
$60 \cdot \frac{1}{3} = \frac{60}{3} = 20$ минут.
Ответ: 20 минут.

г) Чтобы найти $1/6$ долю часа в минутах, умножим 60 на $1/6$.
$60 \cdot \frac{1}{6} = \frac{60}{6} = 10$ минут.
Ответ: 10 минут.

д) Чтобы найти $1/5$ долю часа в минутах, умножим 60 на $1/5$.
$60 \cdot \frac{1}{5} = \frac{60}{5} = 12$ минут.
Ответ: 12 минут.

е) Чтобы найти $1/10$ долю часа в минутах, умножим 60 на $1/10$.
$60 \cdot \frac{1}{10} = \frac{60}{10} = 6$ минут.
Ответ: 6 минут.

ж) Чтобы найти $1/15$ долю часа в минутах, умножим 60 на $1/15$.
$60 \cdot \frac{1}{15} = \frac{60}{15} = 4$ минуты.
Ответ: 4 минуты.

з) Чтобы найти $1/20$ долю часа в минутах, умножим 60 на $1/20$.
$60 \cdot \frac{1}{20} = \frac{60}{20} = 3$ минуты.
Ответ: 3 минуты.

3 Дорисуй схему и ответь на вопрос задачи:

а) В классе 32 ученика. Из них $\frac{1}{4}$ играют в хоккей.

Сколько хоккеистов в этом классе?

1 – 32 уч.

б) В саду 120 деревьев. Из них $\frac{1}{6}$ составляют вишни.

Сколько вишневых деревьев в этом саду?

1 – 120 д.

а) В классе 32 ученика, и $ \frac{1}{4} $ из них играют в хоккей. Чтобы найти количество хоккеистов, нужно общее число учеников (32) разделить на знаменатель дроби (4).

Выполним вычисление:

$ 32 \div 4 = 8 $ (учеников)

Таким образом, в классе 8 хоккеистов.

На схеме нужно разделить весь отрезок (соответствующий 32 ученикам) на 4 равные части. Каждая часть будет равна 8 ученикам. Дуга должна охватывать одну из этих частей.

Ответ: 8 хоккеистов.

б) В саду 120 деревьев, и $ \frac{1}{6} $ из них — вишни. Чтобы найти количество вишневых деревьев, нужно общее число деревьев (120) разделить на знаменатель дроби (6).

Выполним вычисление:

$ 120 \div 6 = 20 $ (деревьев)

Таким образом, в саду 20 вишневых деревьев.

На схеме нужно разделить весь отрезок (соответствующий 120 деревьям) на 6 равных частей. Каждая часть будет равна 20 деревьям. Дуга должна охватывать одну из этих частей.

Ответ: 20 вишневых деревьев.

4. Найди:

а) $\frac{1}{9}$ от 45 м;

б) $\frac{1}{7}$ от 84 кг;

в) $\frac{1}{5}$ от 70 ц;

г) $\frac{1}{8}$ от 96 км.

а) Чтобы найти $\frac{1}{9}$ от 45 м, нужно разделить число 45 на знаменатель дроби 9.
$45 : 9 = 5$ м.
Ответ: 5 м.

б) Чтобы найти $\frac{1}{7}$ от 84 кг, нужно разделить число 84 на знаменатель дроби 7.
$84 : 7 = 12$ кг.
Ответ: 12 кг.

в) Чтобы найти $\frac{1}{5}$ от 70 ц, нужно разделить число 70 на знаменатель дроби 5.
$70 : 5 = 14$ ц.
Ответ: 14 ц.

г) Чтобы найти $\frac{1}{8}$ от 96 км, нужно разделить число 96 на знаменатель дроби 8.
$96 : 8 = 12$ км.
Ответ: 12 км.

4 a) Движение точки B по координатному лучу описывается формулой $x = 4 + 3 \cdot t$ (время $t$ — в часах). Из какой точки луча началось движение? В каком направлении и с какой скоростью оно происходило?

б) Движение точки C по координатному лучу описывается формулой $x = 21 - 7 \cdot t$ (время $t$ — в минутах). Определи положение точки С в начальный момент, скорость и направление её движения. Где она оказалась через 1 мин после выхода, через 2 мин, через 3 мин?

а) Уравнение движения $x = 4 + 3 \cdot t$ имеет вид $x = x_0 + v \cdot t$, где $x_0$ — начальная координата, $v$ — скорость движения, а $t$ — время.
Чтобы найти точку, из которой началось движение, нужно определить координату в начальный момент времени, то есть при $t = 0$.
Подставим $t = 0$ в формулу: $x = 4 + 3 \cdot 0 = 4$.
Движение началось из точки с координатой 4.
Скорость движения $v$ — это коэффициент при времени $t$. В данном случае $v = 3$. Поскольку время $t$ измеряется в часах, скорость составляет 3 единицы в час.
Знак «+» в формуле перед слагаемым $3 \cdot t$ означает, что координата $x$ со временем увеличивается, следовательно, движение происходит в положительном направлении координатного луча.
Ответ: движение началось из точки с координатой 4, оно происходило в положительном направлении со скоростью 3 единицы в час.

б) Уравнение движения точки C: $x = 21 - 7 \cdot t$. Время $t$ измеряется в минутах.
1. Положение точки С в начальный момент ($t=0$):
$x(0) = 21 - 7 \cdot 0 = 21$.
Начальная координата точки С — 21.
2. Скорость и направление движения:
Скорость движения — это модуль коэффициента при $t$, то есть $|-7| = 7$. Скорость равна 7 единиц в минуту.
Знак «–» в формуле перед слагаемым $7 \cdot t$ означает, что координата $x$ со временем уменьшается, следовательно, движение происходит в отрицательном направлении (в сторону начала координатного луча).
3. Положение точки через 1, 2 и 3 минуты:
Через 1 мин ($t=1$): $x(1) = 21 - 7 \cdot 1 = 21 - 7 = 14$.
Через 2 мин ($t=2$): $x(2) = 21 - 7 \cdot 2 = 21 - 14 = 7$.
Через 3 мин ($t=3$): $x(3) = 21 - 7 \cdot 3 = 21 - 21 = 0$.
Ответ: начальное положение точки С — координата 21, скорость — 7 единиц в минуту, направление — в сторону уменьшения координат. Через 1 мин точка будет в координате 14, через 2 мин — в координате 7, через 3 мин — в координате 0.

5 Определи цену деления шкалы координатного луча и найди расстояние между героями сказок.

a) Цена деления: $72 / 2 = 36$

Координаты героев: 144 и 432

Расстояние: $432 - 144 = 288$

б) Цена деления: $26$

Координаты героев: 104 и 208

Расстояние: $208 - 104 = 104$

в) Цена деления: $8$

Координаты героев: 8 и 48

Расстояние: $48 - 8 = 40$

г) Цена деления: $48$

Координаты героев: 192 и 288

Расстояние: $288 - 192 = 96$

Чтобы определить цену деления шкалы, найдём разность между двумя соседними числовыми отметками, например, 72 и 0, и разделим на количество делений между ними. Расстояние между 0 и 72 разделено на 2 деления. Следовательно, цена одного деления равна $72 / 2 = 36$.

Первый герой (девочка) находится на первой отметке после числа 144. Её координата: $144 + 36 = 180$. Второй герой (Страшила) находится на первой отметке после числа 432. Его координата: $432 + 36 = 468$.

Расстояние между героями равно разности их координат: $468 - 180 = 288$.

Ответ: цена деления – 36, расстояние между героями – 288.

Найдём цену деления. Расстояние между соседними числовыми отметками, например, 0 и 26, равно 26. Это расстояние разделено на 2 деления. Значит, цена одного деления: $26 / 2 = 13$.

Первый герой (мышонок) находится на отметке после 78. Его координата: $78 + 13 = 91$. Второй герой (волк) находится на отметке после 182. Его координата: $182 + 13 = 195$.

Расстояние между ними равно: $195 - 91 = 104$.

Ответ: цена деления – 13, расстояние между героями – 104.

Определим цену деления шкалы. Расстояние между отметками 0 и 8 равно 8 и разделено на 2 деления. Таким образом, цена одного деления составляет $8 / 2 = 4$.

Первый герой (мальчик) находится на отметке после 8. Его координата: $8 + 4 = 12$. Второй герой (заяц) находится на отметке после 48. Его координата: $48 + 4 = 52$.

Найдём расстояние между ними: $52 - 12 = 40$.

Ответ: цена деления – 4, расстояние между героями – 40.

Найдём цену деления. Расстояние между отметками 0 и 48 равно 48. Оно разделено на 2 деления. Цена одного деления: $48 / 2 = 24$.

Первый герой (медвежонок) находится на отметке после 96. Его координата: $96 + 24 = 120$. Второй герой (Буратино) находится на отметке после 240. Его координата: $240 + 24 = 264$.

Расстояние между героями составляет: $264 - 120 = 144$.

Ответ: цена деления – 24, расстояние между героями – 144.

6 Составь по рисунку смешанное число и запиши его в виде неправильной дроби.

a) $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

б) $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

a) На рисунке мы видим 4 целых круга и еще один круг, который разделен на 3 равные части. Целые круги представляют целую часть смешанного числа, их 4. Последний круг показывает дробную часть. Так как он разделен на 3 равные доли, знаменатель дроби равен 3. Из этих трех долей взята одна (на это указывает пунктирная дуга). Следовательно, числитель дроби равен 1. Таким образом, мы получаем смешанное число $4 \frac{1}{3}$.

Чтобы записать это смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Выполним преобразование:

$4 \frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{12 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

Ответ: $\frac{13}{3}$

б) На рисунке изображено 3 целых ромба и один ромб, разделенный на 4 равные части (треугольника). Целая часть смешанного числа равна количеству целых фигур, то есть 3. Дробная часть определяется последним ромбом. Он разделен на 4 равные доли, поэтому знаменатель дроби равен 4. Одна из этих долей (один треугольник) выделена, значит, числитель дроби равен 1. Получаем смешанное число $3 \frac{1}{4}$.

Теперь преобразуем это смешанное число в неправильную дробь, используя то же правило:

$3 \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{12 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Ответ: $\frac{13}{4}$

7 Найди ошибку. Запиши и реши пример правильно.

а) $7 \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2 + 3}{3} = \cancel{\frac{17}{3}};$

б) $\frac{58}{9} = 4 \cancel{\frac{6}{9}};$

в) $2 \frac{3}{7} + 1 \frac{6}{7} = 3 \frac{9}{7} = 3 \cancel{\frac{2}{7}};$

г) $5 \frac{2}{11} - 1 \frac{4}{11} = 5 \frac{13}{11} - 1 \frac{4}{11} = 4 \cancel{\frac{9}{11}}.$

а) Ошибка заключается в неправильном переводе смешанного числа в неправильную дробь. По правилу, целую часть нужно умножать на знаменатель и к результату прибавлять числитель, а в примере целую часть (7) умножили на числитель (2) вместо знаменателя (3).

Правильное решение: $7 \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{21 + 2}{3} = \frac{23}{3}$.

Ответ: $\frac{23}{3}$.

б) Ошибка допущена при выделении целой части из неправильной дроби $\frac{58}{9}$ — деление числителя на знаменатель с остатком было выполнено неверно.

Правильное решение: чтобы выделить целую часть, делим числитель 58 на знаменатель 9. $58 \div 9 = 6$ с остатком $4$. Таким образом, целая часть равна 6, а дробная часть – $\frac{4}{9}$. В итоге получаем $\frac{58}{9} = 6 \frac{4}{9}$.

Ответ: $6 \frac{4}{9}$.

в) Ошибка в примере заключается в неверном преобразовании результата сложения. Промежуточный результат $3 \frac{9}{7}$ получен верно, но при выделении целой части из неправильной дроби $\frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}$ эту единицу забыли прибавить к уже имеющейся целой части (3).

Правильное решение: $2 \frac{3}{7} + 1 \frac{6}{7} = (2+1) + (\frac{3}{7} + \frac{6}{7}) = 3 + \frac{9}{7}$. Затем преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $3 \frac{9}{7} = 3 + 1\frac{2}{7} = 4\frac{2}{7}$.

Ответ: $4\frac{2}{7}$.

г) Ошибка в решении состоит в том, что при "заимствовании" единицы у целой части уменьшаемого, сама целая часть не была уменьшена на 1. Вместо правильного $4 \frac{13}{11}$ было ошибочно записано $5 \frac{13}{11}$, что привело к неверному конечному результату.

Правильное решение: так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{11}$), занимаем 1 у целой части 5. $5 \frac{2}{11} = 4 \frac{11+2}{11} = 4 \frac{13}{11}$. Теперь выполняем вычитание: $4 \frac{13}{11} - 1 \frac{4}{11} = (4-1) + (\frac{13-4}{11}) = 3 + \frac{9}{11} = 3 \frac{9}{11}$.

Ответ: $3 \frac{9}{11}$.

5 Определи по графику движения лыжника:

1) В котором часу он вышел с турбазы?

2) Как долго лыжник был в пути?

3) Сколько километров он прошёл за это время?

4) Менялась ли в пути скорость его движения?

5) С какой скоростью он шёл?

6) Делал ли он остановки?

7) На каком расстоянии от турбазы был лыжник в 9 ч 40 мин, в 11 ч, в 10 ч 20 мин?

8) В котором часу он находился на расстоянии 4 км от турбазы, 12 км, 20 км?

Запиши формулу зависимости расстояния $s$ от времени движения $t$.

1) В котором часу он вышел с турбазы?
Начальная точка движения на графике (когда расстояние от турбазы равно нулю) соответствует 9 часам 00 минутам по оси времени.
Ответ: Лыжник вышел с турбазы в 9 часов.

2) Как долго лыжник был в пути?
Движение началось в 9:00 и, судя по графику, закончилось в 11:00. Чтобы найти общее время в пути, нужно вычесть время начала из времени окончания движения: $11 \text{ ч} - 9 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Ответ: Лыжник был в пути 2 часа.

3) Сколько километров он прошёл за это время?
Найдём на оси времени отметку 11:00. Точка на графике, соответствующая этому времени, показывает расстояние 28 км по оси расстояний.
Ответ: За это время он прошёл 28 км.

4) Менялась ли в пути скорость его движения?
График зависимости расстояния от времени представляет собой прямую линию. Это означает, что лыжник двигался с постоянной скоростью.
Ответ: Нет, скорость его движения не менялась.

5) С какой скоростью он шёл?
Скорость $v$ при равномерном движении можно найти по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути. Мы знаем, что за $t = 2$ часа лыжник прошёл $s = 28$ км.
$v = \frac{28 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 14 \text{ км/ч}$.
Ответ: Он шёл со скоростью 14 км/ч.

6) Делал ли он остановки?
Остановка на графике "расстояние-время" изображается горизонтальным участком (время идёт, а расстояние не увеличивается). На данном графике таких участков нет, линия всё время идёт вверх.
Ответ: Нет, он не делал остановок.

7) На каком расстоянии от турбазы был лыжник в 9 ч 40 мин, в 11 ч?
Используем формулу $s = v \cdot t$, где $v = 14$ км/ч.
В 11:00 время в пути от начала движения (9:00) составляет 2 часа. $s = 14 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 28$ км.
В 9:40 время в пути от начала движения составляет 40 минут. Переведём минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч.
$s = 14 \text{ км/ч} \cdot \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{28}{3} \text{ км} = 9 \frac{1}{3}$ км.
Ответ: В 9 ч 40 мин лыжник был на расстоянии $9 \frac{1}{3}$ км от турбазы, а в 11 ч — на расстоянии 28 км.

8) В котором часу он находился на расстоянии 4 км от турбазы, 12 км, 20 км?
Используем формулу $t = \frac{s}{v}$, чтобы найти время движения от старта (9:00).
• На расстоянии 4 км: $t = \frac{4 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = \frac{2}{7}$ ч. Переведём в минуты: $\frac{2}{7} \cdot 60 \approx 17$ мин. Время на часах: 9 ч 00 мин + 17 мин = 9 ч 17 мин.
• На расстоянии 12 км: $t = \frac{12 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = \frac{6}{7}$ ч. Переведём в минуты: $\frac{6}{7} \cdot 60 \approx 51$ мин. Время на часах: 9 ч 00 мин + 51 мин = 9 ч 51 мин.
• На расстоянии 20 км: $t = \frac{20 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = \frac{10}{7} \text{ ч} = 1 \frac{3}{7}$ ч. Это 1 час и $\frac{3}{7} \cdot 60 \approx 26$ мин. Время на часах: 9 ч 00 мин + 1 ч 26 мин = 10 ч 26 мин.
Ответ: На расстоянии 4 км лыжник находился примерно в 9:17, на расстоянии 12 км — примерно в 9:51, а на расстоянии 20 км — примерно в 10:26.

Запиши формулу зависимости расстояния s от времени движения t.
Зависимость расстояния от времени при равномерном движении, начатом из точки $s=0$, описывается формулой $s = v \cdot t$. Подставив найденное значение скорости $v = 14$ км/ч, получаем формулу: $s = 14t$. Здесь $t$ — время движения в часах, а $s$ — расстояние в километрах.
Ответ: $s = 14t$.