Страница 42, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4. Определи, что общего и что различного в задачах? Реши их, пользуясь схемами.

a) В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них на 20 тетрадей больше, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Схема:

Всего: $160 \text{ т.}$

Одна пачка (I): $x$ тетрадей

Другая пачка (II): $y$ тетрадей

Условие: $x - y = 20 \text{ т.}$

Найти: $x = ?, y = ?$.

б) В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них в 3 раза больше тетрадей, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Схема:

Всего: $160 \text{ т.}$

Одна пачка (I): $x$ тетрадей

Другая пачка (II): $y$ тетрадей

Условие: $x = 3y$

Найти: $x = ?, y = ?$.

Общее в задачах: В обеих задачах речь идет о двух пачках тетрадей, общее количество которых одинаково — 160 штук. В обеих задачах требуется найти, сколько тетрадей в каждой пачке.

Различие в задачах: Условия, связывающие количество тетрадей в пачках, различны. В задаче а) используется разностное сравнение (на 20 тетрадей больше), что предполагает сложение или вычитание. В задаче б) используется кратное сравнение (в 3 раза больше), что предполагает умножение или деление. Это приводит к разным способам решения.

а) В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них на 20 тетрадей больше, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Решение:

1. Если бы в пачках было одинаковое количество тетрадей, то общее их число было бы меньше на 20. Узнаем, сколько тетрадей было бы в двух пачках при равном их количестве:

$160 - 20 = 140$ (тетрадей)

2. Теперь найдём количество тетрадей в меньшей пачке, разделив полученное число на 2:

$140 : 2 = 70$ (тетрадей) — в меньшей пачке.

3. Найдём количество тетрадей в большей пачке, прибавив 20:

$70 + 20 = 90$ (тетрадей) — в большей пачке.

Проверка: $70 + 90 = 160$.

Ответ: в одной пачке 70 тетрадей, в другой 90 тетрадей.

б) В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них в 3 раза больше тетрадей, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Решение:

1. Примем количество тетрадей в меньшей пачке за 1 часть. Тогда в большей пачке будет 3 таких части. Узнаем, сколько всего частей в двух пачках:

$1 + 3 = 4$ (части)

2. Эти 4 части составляют 160 тетрадей. Найдём, сколько тетрадей приходится на одну часть (это количество тетрадей в меньшей пачке):

$160 : 4 = 40$ (тетрадей) — в меньшей пачке.

3. Найдём количество тетрадей в большей пачке, умножив количество в одной части на 3:

$40 \cdot 3 = 120$ (тетрадей) — в большей пачке.

Проверка: $40 + 120 = 160$.

Ответ: в одной пачке 40 тетрадей, в другой 120 тетрадей.

5 a) Картина с рамой стоит 13 200 р. Картина в 10 раз дороже рамы. Сколько стоит картина и сколько рама?

б) Стакан с подстаканником стоит 280 р., причём стакан в 6 раз дешевле подстаканника. Сколько стоит стакан и сколько подстаканник?

а) Пусть стоимость рамы равна $x$ рублей. По условию задачи, картина в 10 раз дороже рамы, следовательно, её стоимость составляет $10x$ рублей. Общая стоимость картины с рамой — 13 200 рублей. Составим и решим уравнение, чтобы найти стоимость рамы:
$x + 10x = 13200$
$11x = 13200$
$x = 13200 / 11$
$x = 1200$
Таким образом, стоимость рамы составляет 1200 рублей.
Теперь найдём стоимость картины:
$10 \cdot 1200 = 12000$ (рублей).
Проверка: $1200 + 12000 = 13200$ рублей.
Ответ: стоимость рамы — 1200 рублей, стоимость картины — 12000 рублей.

б) Пусть стоимость стакана равна $y$ рублей. По условию, стакан в 6 раз дешевле подстаканника, что означает, что подстаканник в 6 раз дороже стакана. Следовательно, стоимость подстаканника составляет $6y$ рублей. Общая стоимость стакана с подстаканником — 280 рублей. Составим и решим уравнение, чтобы найти стоимость стакана:
$y + 6y = 280$
$7y = 280$
$y = 280 / 7$
$y = 40$
Таким образом, стоимость стакана составляет 40 рублей.
Теперь найдём стоимость подстаканника:
$6 \cdot 40 = 240$ (рублей).
Проверка: $40 + 240 = 280$ рублей.
Ответ: стоимость стакана — 40 рублей, стоимость подстаканника — 240 рублей.

6 Найди значения выражений:

$7 \text{ м } 6 \text{ см } - 3 \text{ м } 8 \text{ дм};$

$4 \text{ м}^2 5 \text{ дм}^2 : 3$

$8 \text{ дм } 4 \text{ мм } + 6 \text{ см } 7 \text{ мм}$

$1 \text{ дм}^3 25 \text{ см}^3 \cdot 16$

7 м 6 см – 3 м 8 дм
Для решения приведем все значения к наименьшей единице измерения — сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
1. Преобразуем первое значение: $7 \text{ м } 6 \text{ см} = 7 \cdot 100 \text{ см} + 6 \text{ см} = 706 \text{ см}$.
2. Преобразуем второе значение: $3 \text{ м } 8 \text{ дм} = 3 \cdot 100 \text{ см} + 8 \cdot 10 \text{ см} = 380 \text{ см}$.
3. Выполним вычитание: $706 \text{ см} - 380 \text{ см} = 326 \text{ см}$.
4. Переведем результат обратно в метры, дециметры и сантиметры: $326 \text{ см} = 3 \text{ м } 2 \text{ дм } 6 \text{ см}$.
Ответ: $3 \text{ м } 2 \text{ дм } 6 \text{ см}$.

8 дм 4 мм + 6 см 7 мм
Приведем все значения к миллиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Преобразуем первое значение: $8 \text{ дм } 4 \text{ мм} = 8 \cdot 100 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 804 \text{ мм}$.
2. Преобразуем второе значение: $6 \text{ см } 7 \text{ мм} = 6 \cdot 10 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 67 \text{ мм}$.
3. Выполним сложение: $804 \text{ мм} + 67 \text{ мм} = 871 \text{ мм}$.
4. Переведем результат обратно: $871 \text{ мм} = 8 \text{ дм } 7 \text{ см } 1 \text{ мм}$.
Ответ: $8 \text{ дм } 7 \text{ см } 1 \text{ мм}$.

4 м² 5 дм² : 3
Приведем значение к квадратным дециметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м}² = 100 \text{ дм}²$.
1. Преобразуем делимое: $4 \text{ м}² 5 \text{ дм}² = 4 \cdot 100 \text{ дм}² + 5 \text{ дм}² = 405 \text{ дм}²$.
2. Выполним деление: $405 \text{ дм}² : 3 = 135 \text{ дм}²$.
3. Переведем результат обратно: $135 \text{ дм}² = 100 \text{ дм}² + 35 \text{ дм}² = 1 \text{ м}² 35 \text{ дм}²$.
Ответ: $1 \text{ м}² 35 \text{ дм}²$.

1 дм³ 25 см³ · 16
Приведем значение к кубическим сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ дм}³ = 1000 \text{ см}³$.
1. Преобразуем первый множитель: $1 \text{ дм}³ 25 \text{ см}³ = 1 \cdot 1000 \text{ см}³ + 25 \text{ см}³ = 1025 \text{ см}³$.
2. Выполним умножение: $1025 \text{ см}³ \cdot 16 = 16400 \text{ см}³$.
3. Переведем результат обратно: $16400 \text{ см}³ = 16000 \text{ см}³ + 400 \text{ см}³ = 16 \text{ дм}³ 400 \text{ см}³$.
Ответ: $16 \text{ дм}³ 400 \text{ см}³$.

7 Фанерный ящик для посылки имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 40 см, 25 см и 20 см. Его перевязывают шпагатом, как показано на рисунке. Сколько сантиметров шпагата для этого понадобится, если на узел и концы надо оставить 50 см?

Для того чтобы найти общую длину шпагата, необходимо сложить длину, требуемую для обвязки ящика, и дополнительную длину, которая пойдет на узел и концы.

1. Сначала рассчитаем длину шпагата, необходимую для обвязки ящика. Ящик представляет собой прямоугольный параллелепипед со следующими размерами: длина $a = 40$ см, ширина $b = 25$ см и высота $c = 20$ см.

Исходя из рисунка, шпагат обхватывает ящик следующим образом:

- Два раза по длине (сверху и снизу): $2 \cdot a = 2 \cdot 40 = 80$ см.

- Два раза по ширине (сверху и снизу): $2 \cdot b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

- Четыре раза по высоте (по четырем боковым ребрам): $4 \cdot c = 4 \cdot 20 = 80$ см.

Теперь сложим все эти длины, чтобы найти общую длину шпагата для обвязки ящика ($L_{обвязка}$):

$L_{обвязка} = 2a + 2b + 4c = 80 \text{ см} + 50 \text{ см} + 80 \text{ см} = 210$ см.

2. По условию, на узел и концы необходимо добавить еще 50 см шпагата.

3. Найдем общую требуемую длину шпагата ($L_{общая}$), сложив длину для обвязки и дополнительную длину:

$L_{общая} = 210 \text{ см} + 50 \text{ см} = 260$ см.

Ответ: 260 см.

8 Учитель задал на уроке замысловатую задачу. Число мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $М_р$ – число мальчиков, решивших задачу.
• $Д_р$ – число девочек, решивших задачу.
• $Д_{нр}$ – число девочек, не решивших задачу.

Согласно условию задачи, число мальчиков, которые решили задачу, равно числу девочек, которые её не решили. Это можно записать в виде равенства:

$М_р = Д_{нр}$

Теперь нам нужно сравнить две величины:

1. Общее число учеников, решивших задачу.
2. Общее число девочек в классе.

Выразим эти величины через введенные обозначения:

1. Общее число учеников, решивших задачу, равно сумме мальчиков, решивших задачу, и девочек, решивших задачу:

Число решивших $= М_р + Д_р$

2. Общее число девочек в классе равно сумме девочек, решивших задачу, и девочек, не решивших ее:

Число девочек $= Д_р + Д_{нр}$

Теперь воспользуемся исходным равенством $М_р = Д_{нр}$. Мы можем подставить $Д_{нр}$ вместо $М_р$ в формулу для общего числа решивших задачу:

Число решивших $= (Д_{нр}) + Д_р = Д_р + Д_{нр}$

Сравним полученные выражения:

• Число решивших задачу $= Д_р + Д_{нр}$
• Общее число девочек $= Д_р + Д_{нр}$

Правые части этих равенств абсолютно одинаковы. Следовательно, количество учеников, решивших задачу, равно общему количеству девочек в классе.

Ответ: число решивших задачу равно числу девочек.

9 Запиши ряд из 10 чисел, в котором первое число 1, второе число 2, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих чисел.

Для того чтобы записать требуемый ряд чисел, необходимо последовательно вычислить каждый член ряда, начиная с третьего, согласно заданному правилу. Обозначим члены ряда как $a_n$, где $n$ — порядковый номер числа в ряду.

По условию задачи нам известны первые два числа:
Первое число: $a_1 = 1$.
Второе число: $a_2 = 2$.

Правило для нахождения каждого следующего числа, начиная с третьего ($n > 2$), следующее: каждый член ряда равен произведению двух предыдущих. Математически это можно записать как $a_n = a_{n-1} \times a_{n-2}$.

Выполним вычисления для оставшихся восьми членов ряда:
Третье число: $a_3 = a_2 \times a_1 = 2 \times 1 = 2$.
Четвертое число: $a_4 = a_3 \times a_2 = 2 \times 2 = 4$.
Пятое число: $a_5 = a_4 \times a_3 = 4 \times 2 = 8$.
Шестое число: $a_6 = a_5 \times a_4 = 8 \times 4 = 32$.
Седьмое число: $a_7 = a_6 \times a_5 = 32 \times 8 = 256$.
Восьмое число: $a_8 = a_7 \times a_6 = 256 \times 32 = 8192$.
Девятое число: $a_9 = a_8 \times a_7 = 8192 \times 256 = 2097152$.
Десятое число: $a_{10} = a_9 \times a_8 = 2097152 \times 8192 = 17179869184$.

Таким образом, мы получили все 10 чисел и можем записать итоговый ряд.

Ответ: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, 2097152, 17179869184.

10 Построй схему к задаче и реши её:

За 2 дня турист прошёл $ \frac{5}{8} $ всего пути. За первый день он прошёл $ \frac{3}{8} $ пути. Какую часть пути прошёл турист за второй день? Какую часть пути ему осталось пройти?

Схема:

Представим весь путь в виде отрезка, разделенного на 8 равных частей. Каждая часть соответствует $ \frac{1}{8} $ пути.

Какую часть пути прошёл турист за второй день?

Чтобы найти, какую часть пути турист прошёл за второй день, нужно из общего расстояния, пройденного за два дня, вычесть расстояние, пройденное в первый день.
$ \frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} $
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Ответ: за второй день турист прошёл $ \frac{1}{4} $ всего пути.

Какую часть пути ему осталось пройти?

Весь путь принимается за единицу (1). Чтобы найти, какая часть пути осталась, нужно из всего пути вычесть часть, пройденную за два дня.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 8: $ 1 = \frac{8}{8} $.
$ \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{8-5}{8} = \frac{3}{8} $
Ответ: туристу осталось пройти $ \frac{3}{8} $ всего пути.

11 Алёша прочитал в первый день $ \frac{4}{11} $ книги, а во второй день — на $ \frac{1}{11} $ часть больше, чем в первый. Какую часть книги прочитал Алеша за эти 2 дня? Сколько страниц в этой книге, если ему осталось прочитать 24 страницы?

$1 - ?$ стр.

I: $ \frac{4}{11} $

II: $ \frac{4}{11} + \frac{1}{11} $

осталось: $? - 24$ стр.

Какую часть книги прочитал Алеша за эти 2 дня?

1. Найдем, какую часть книги Алеша прочитал во второй день. Это на $\frac{1}{11}$ часть больше, чем в первый день, когда он прочитал $\frac{4}{11}$ книги.

$\frac{4}{11} + \frac{1}{11} = \frac{4+1}{11} = \frac{5}{11}$ (часть) – книги прочитал Алеша во второй день.

2. Теперь найдем, какую часть книги он прочитал за два дня, сложив части за первый и второй день.

$\frac{4}{11} + \frac{5}{11} = \frac{4+5}{11} = \frac{9}{11}$ (часть) – книги прочитал Алеша за два дня.

Ответ: за 2 дня Алеша прочитал $\frac{9}{11}$ книги.

Сколько страниц в этой книге, если ему осталось прочитать 24 страницы?

1. Вычислим, какая часть книги осталась непрочитанной. Всю книгу примем за единицу (1).

$1 - \frac{9}{11} = \frac{11}{11} - \frac{9}{11} = \frac{2}{11}$ (часть) – книги осталась непрочитанной.

2. По условию, эти $\frac{2}{11}$ части книги составляют 24 страницы. Чтобы найти общее количество страниц в книге, сначала найдем, сколько страниц составляет $\frac{1}{11}$ часть.

$24 \div 2 = 12$ (страниц) – приходится на $\frac{1}{11}$ часть книги.

3. Теперь, зная количество страниц в одной части, найдем общее количество страниц во всей книге (в $\frac{11}{11}$ частях).

$12 \times 11 = 132$ (страницы).

Ответ: в книге 132 страницы.

12 а) Из какой точки вышел Винни-Пух и в каком направлении он идёт? Чему равна его скорость? Отметь точки, в которых Винни-Пух будет через 1 ч после выхода, через 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч. Увеличивается или уменьшается его расстояние до Кенги, до Иа-Иа? На сколько?

Кенга

5 км/ч

Иа-Иа

б) Пусть $s$ — это путь, пройденный Винни-Пухом, $d$ — его расстояние до Кенги и $D$ — его расстояние до Иа-Иа. Заполни таблицу и запиши формулы, выражающие зависимость переменных $s$, $d$ и $D$ от времени движения $t$.

$s = $

$d = $

$D = $

а)

Анализируя схему, можно определить следующее:

• Винни-Пух начинает движение из точки с координатой 20 км.
• Стрелка указывает, что он движется вправо, в сторону увеличения координат, то есть по направлению к Иа-Иа.
• Над стрелкой указана его скорость: 5 км/ч.

Рассчитаем, в каких точках Винни-Пух будет в указанное время. Его начальная координата – 20 км.

• Через 1 ч: его координата будет $20 + 5 \cdot 1 = 25$ км.
• Через 2 ч: его координата будет $20 + 5 \cdot 2 = 30$ км.
• Через 3 ч: его координата будет $20 + 5 \cdot 3 = 35$ км.
• Через 4 ч: его координата будет $20 + 5 \cdot 4 = 40$ км.
• Через 5 ч: его координата будет $20 + 5 \cdot 5 = 45$ км.

Дом Кенги находится в точке с координатой 0. Так как Винни-Пух движется от точки 20 вправо (удаляется от 0), расстояние до Кенги увеличивается.

Иа-Иа находится в точке с координатой 45. Так как Винни-Пух движется от точки 20 к точке 45 (приближается к 45), расстояние до Иа-Иа уменьшается.

Поскольку скорость Винни-Пуха постоянна и равна 5 км/ч, то каждый час расстояние до Кенги увеличивается на 5 км, а расстояние до Иа-Иа уменьшается на 5 км.

Ответ: Винни-Пух вышел из точки 20 км и идёт вправо со скоростью 5 км/ч. Через 1, 2, 3, 4, 5 часов он будет в точках 25, 30, 35, 40, 45 км соответственно. Его расстояние до Кенги увеличивается на 5 км каждый час, а расстояние до Иа-Иа уменьшается на 5 км каждый час.

б)

Для заполнения таблицы и вывода формул определим начальные условия при $t=0$:

• $s$ (пройденный путь) = 0 км.
• $d$ (расстояние до Кенги) = расстояние от точки 20 до точки 0 = $20$ км.
• $D$ (расстояние до Иа-Иа) = расстояние от точки 20 до точки 45 = $45 - 20 = 25$ км.

Каждый час ($t$) пройденный путь $s$ увеличивается на 5 км, расстояние до Кенги $d$ увеличивается на 5 км, а расстояние до Иа-Иа $D$ уменьшается на 5 км.

Заполненная таблица:

Формулы зависимостей от времени движения $t$:

• Пройденный путь $s$ равен произведению скорости на время: $s = 5 \cdot t$.
• Расстояние до Кенги $d$ равно начальному расстоянию плюс путь, на который Винни-Пух отдалился: $d = 20 + 5 \cdot t$.
• Расстояние до Иа-Иа $D$ равно начальному расстоянию минус путь, на который Винни-Пух приблизился: $D = 25 - 5 \cdot t$.

Ответ:

$s = 5t$

$d = 20 + 5t$

$D = 25 - 5t$

13 a) $(25200 : 7 + 802 \cdot 370) : 4 - 32048 \cdot 9 : (48 + 24);$

б) $60900 \cdot 90 - 648 \cdot 408 + 383384 - 84 \cdot 23.$

а)

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним действия в скобках:
1.1. В первой скобке: $(25 200 : 7 + 802 \cdot 370)$.
Сначала деление и умножение:
$25 200 : 7 = 3 600$
$802 \cdot 370 = 296 740$
Затем сложение:
$3 600 + 296 740 = 300 340$
1.2. Во второй скобке: $(48 + 24)$.
$48 + 24 = 72$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение. Оно примет вид:
$300 340 : 4 - 32 048 \cdot 9 : 72$

3. Теперь выполним оставшиеся операции умножения и деления в порядке их следования (слева направо):
$300 340 : 4 = 75 085$
$32 048 \cdot 9 = 288 432$
Теперь выражение выглядит так: $75 085 - 288 432 : 72$
$288 432 : 72 = 4 006$

4. Выполним последнее действие — вычитание:
$75 085 - 4 006 = 71 079$

Ответ: $71 079$

б)

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняются умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним все операции умножения:
$60 900 \cdot 90 = 5 481 000$
$648 \cdot 408 = 264 384$
$84 \cdot 23 = 1 932$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение. Оно примет вид:
$5 481 000 - 264 384 + 383 384 - 1 932$

3. Теперь выполним операции вычитания и сложения в порядке их следования (слева направо):
$5 481 000 - 264 384 = 5 216 616$
Теперь выражение выглядит так: $5 216 616 + 383 384 - 1 932$
$5 216 616 + 383 384 = 5 600 000$
Теперь выражение выглядит так: $5 600 000 - 1 932$
$5 600 000 - 1 932 = 5 598 068$

Ответ: $5 598 068$

1 Волшебная страна состоит из пяти частей: Розовой страны, Жёлтой, Голубой, Фиолетовой и Изумрудного города.

a) На столбчатой диаграмме показано количество осадков, выпавших за год в Голубой стране. Используя диаграмму, ответь на вопросы:

1) Сколько осадков выпало в сентябре?

2) Когда выпало самое маленькое количество осадков, а когда — самое большое?

3) В какие месяцы осадков выпало поровну?

4) Когда было $90$ мм осадков, а когда больше $90$ мм?

5) Когда выпало меньше $60$ мм осадков?

6) На сколько меньше осадков было в июле, чем в мае?

7) Сколько осадков выпало в каждое время года? Сколько осадков выпало за весь год?

Выпадение осадков в Голубой стране за год

Количество осадков в мм

янв. февр. март апр. май июн. июл. авг. сент. окт. нояб. дек.

б) Построй столбчатую диаграмму, используя данные о количестве осадков в Изумрудном городе в течение года. Проанализируй построенную диаграмму.

в) На линейной диаграмме представлена информация о посещаемости кинотеатров в Розовой стране за неделю.

1) Сколько зрителей было в кинотеатрах в среду?

2) В какой день было больше всего зрителей, а в какой меньше всего?

3) Сколько зрителей посетило кинотеатр в выходные — субботу и воскресенье? Сколько посетило за всю неделю?

4) На сколько больше зрителей было больше в субботу, чем в четверг?

5) В какой день пришло $700$ зрителей?

6) В какие дни было больше $600$ зрителей?

Посещаемость кинотеатров в Розовой стране за неделю

Общее число зрителей за день

пн вт ср чт пт сб вс

Проведи ломаную, которая последовательно соединяет верхние концы отрезков диаграммы, и определи, в какие дни посещаемость увеличивалась, в какие дни уменьшалась, а в какие — не изменялась.

г) Построй по таблице линейную диаграмму посещаемости кинотеатров в Фиолетовой стране. Проанализируй её.