Страница 39, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

5 Упрости выражения:

$17 + x + 39;$

$y \cdot 6 \cdot 12;$

$n + 24 + 16;$

$4 \cdot m \cdot 25.$

17 + x + 39

Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать переместительное свойство сложения, чтобы поменять местами слагаемые, и сочетательное свойство, чтобы сгруппировать числа. Это позволит нам сложить числовые слагаемые вместе.

$17 + x + 39 = 17 + 39 + x$

Теперь сгруппируем и сложим числа:

$(17 + 39) + x = 56 + x$

Ответ: $x + 56$

y · 6 · 12

Для упрощения этого выражения мы используем переместительное и сочетательное свойства умножения. Это позволяет нам сгруппировать и перемножить числовые множители.

$y \cdot 6 \cdot 12 = y \cdot (6 \cdot 12)$

Выполним умножение чисел в скобках:

$6 \cdot 12 = 72$

Таким образом, выражение упрощается до $y \cdot 72$. В алгебре принято записывать числовой коэффициент перед переменной.

Ответ: $72y$

n + 24 + 16

Как и в первом примере, мы используем сочетательное свойство сложения, чтобы сгруппировать и сложить числа.

$n + 24 + 16 = n + (24 + 16)$

Выполним сложение чисел в скобках:

$24 + 16 = 40$

Упрощенное выражение имеет вид:

Ответ: $n + 40$

4 · m · 25

Здесь мы также можем воспользоваться переместительным и сочетательным свойствами умножения. Удобнее сгруппировать множители 4 и 25, так как их произведение дает круглое число.

$4 \cdot m \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot m$

Выполним умножение чисел в скобках:

$4 \cdot 25 = 100$

Таким образом, упрощенное выражение равно $100 \cdot m$.

Ответ: $100m$

6 Построй прямоугольник со сторонами 8 см и 2 см 5 мм. Найди его периметр и площадь.

Построение прямоугольника

Для построения прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см 5 мм необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок AB длиной 8 см.

2. От точки A, используя угольник или транспортир, отложить прямой угол (90°) и начертить отрезок AD длиной 2 см 5 мм.

3. Аналогично от точки B отложить прямой угол и начертить отрезок BC длиной 2 см 5 мм.

4. Соединить точки D и C отрезком. Полученная фигура ABCD будет искомым прямоугольником.

Периметр

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.

Для проведения расчётов необходимо привести все размеры к единой единице измерения. Переведём длину второй стороны в сантиметры. Так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, то 5 мм = 0.5 см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны:

$a = 8$ см

$b = 2 \text{ см } 5 \text{ мм} = 2 \text{ см} + 0.5 \text{ см} = 2.5$ см

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения периметра:

$P = 2 \cdot (8 + 2.5) = 2 \cdot 10.5 = 21$ см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 21 см.

Площадь

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон. Формула для вычисления площади: $S = a \cdot b$.

Используем значения длин сторон в сантиметрах: $a = 8$ см и $b = 2.5$ см.

Подставим значения в формулу и выполним вычисление:

$S = 8 \cdot 2.5 = 20$ см$^2$.

Ответ: площадь прямоугольника равна 20 см².

7 Вычисли периметр и площадь многоугольника ABCDEF.

B $15 \, \text{дм}$ C

$16 \, \text{дм}$

D $21 \, \text{дм}$ E

$9 \, \text{дм}$

A

F

Периметр

Периметр многоугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$.

Из условия задачи нам известны длины следующих сторон: $AB = 16 \text{ дм}$, $BC = 15 \text{ дм}$, $DE = 21 \text{ дм}$, $EF = 9 \text{ дм}$. Для вычисления периметра необходимо найти длины неизвестных сторон $CD$ и $FA$.

Так как все углы многоугольника прямые, мы можем найти недостающие стороны. Длина стороны $FA$ (нижняя горизонтальная сторона) равна сумме длин параллельных ей верхних горизонтальных отрезков $BC$ и $DE$:

$FA = BC + DE = 15 + 21 = 36 \text{ дм}$.

Аналогично, длина левой вертикальной стороны $AB$ равна сумме длин параллельных ей правых вертикальных отрезков $CD$ и $EF$:

$AB = CD + EF$.

Выразим и найдем длину стороны $CD$:

$CD = AB - EF = 16 - 9 = 7 \text{ дм}$.

Теперь, зная длины всех сторон, вычислим периметр:

$P = 16 + 15 + 7 + 21 + 9 + 36 = 104 \text{ дм}$.

Ответ: периметр многоугольника равен 104 дм.

Площадь

Площадь многоугольника ($S$) можно вычислить несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Разделение на два прямоугольника.

Разделим фигуру ABCDEF на два прямоугольника. Например, если провести вертикальную линию вниз от точки C, мы получим два прямоугольника:

1. Левый прямоугольник со сторонами $AB = 16 \text{ дм}$ и $BC = 15 \text{ дм}$. Его площадь $S_1$:

$S_1 = 16 \times 15 = 240 \text{ дм}^2$.

2. Правый прямоугольник со сторонами $EF = 9 \text{ дм}$ и $DE = 21 \text{ дм}$. Его площадь $S_2$:

$S_2 = 9 \times 21 = 189 \text{ дм}^2$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 = 240 + 189 = 429 \text{ дм}^2$.

Способ 2: Дополнение до прямоугольника.

Дополним фигуру до одного большого прямоугольника. Его стороны будут равны $AB = 16 \text{ дм}$ и $FA = 36 \text{ дм}$. Площадь этого большого прямоугольника $S_{\text{большой}}$:

$S_{\text{большой}} = 16 \times 36 = 576 \text{ дм}^2$.

Теперь найдем площадь вырезанной (недостающей) части. Это прямоугольник со сторонами $CD = 7 \text{ дм}$ и $DE = 21 \text{ дм}$. Его площадь $S_{\text{малый}}$:

$S_{\text{малый}} = 7 \times 21 = 147 \text{ дм}^2$.

Площадь исходной фигуры равна разности площадей большого прямоугольника и вырезанной части:

$S = S_{\text{большой}} - S_{\text{малый}} = 576 - 147 = 429 \text{ дм}^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: площадь многоугольника равна 429 дм².

8 Александр Сергеевич Пушкин родился 6 июня 1799 года. Сколько лет и дней прошло со дня рождения Пушкина до сегодняшнего дня, включая его?

Для ответа на этот вопрос необходимо знать текущую дату, так как количество прошедших дней меняется ежедневно. Расчет произведен на 24 мая 2024 года.

Решение задачи состоит из двух шагов: сначала мы вычисляем количество полных лет, а затем — количество дней, прошедших с последней годовщины.

1. Расчет количества полных лет
День рождения А.С. Пушкина — 6 июня 1799 года. Чтобы найти количество полных лет, прошедших до 24 мая 2024 года, нужно учесть, что в 2024 году день рождения поэта еще не наступил (май идет перед июнем). Поэтому последняя полная годовщина была 6 июня 2023 года.
Количество полных лет:
$2023 - 1799 = 224$ года.

2. Расчет количества дней
Теперь рассчитаем количество дней, прошедших с последней годовщины дня рождения (6 июня 2023 года) до сегодняшнего дня (24 мая 2024 года) включительно. Слово "включая" в вопросе означает, что сегодняшний день также должен быть учтен в расчетах.
- Июнь 2023: $30 - 6 + 1 = 25$ дней
- Июль 2023: 31 день
- Август 2023: 31 день
- Сентябрь 2023: 30 дней
- Октябрь 2023: 31 день
- Ноябрь 2023: 30 дней
- Декабрь 2023: 31 день
- Январь 2024: 31 день
- Февраль 2024: 29 дней (2024 год — високосный)
- Март 2024: 31 день
- Апрель 2024: 30 дней
- Май 2024: 24 дня
Сложим количество дней за все месяцы:
$25 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 29 + 31 + 30 + 24 = 354$ дня.

Таким образом, со дня рождения А.С. Пушкина до 24 мая 2024 года прошло 224 полных года и 354 дня.

Ответ: на 24 мая 2024 года со дня рождения Пушкина прошло 224 года и 354 дня.

Задание

Найди по алгоритму значения $x$. Расшифруй имя замечательного русского поэта.

Алгоритм

Начальное значение: $a$.

Далее: $: 4$.

Условие 1: Результат $> 15$?

Если "нет" (левая ветка):

• Результат $+ 12$.
• Условие 2: Результат $> 20$?
• Если "нет": Результат $\cdot 5$. Затем $- 25$. Это значение $x$.
• Если "да": Результат $\cdot 3$. Затем $+ 13$. Это значение $x$.

Если "да" (правая ветка от Условия 1):

• Результат $- 9$.
• Условие 3: Результат $< 10$?
• Если "да": Результат $\cdot 11$. Затем $+ 24$. Это значение $x$.
• Если "нет": Результат $\cdot 4$. Затем $- 8$. Это значение $x$.

Таблица значений для $a$ и буквы для расшифровки

Коды для расшифровки

Для решения задачи необходимо для каждого значения a из таблицы найти соответствующее значение x, следуя алгоритму, представленному на блок-схеме. После этого, используя найденные значения x, расшифровать имя поэта.

Вычисление значений x по алгоритму:

При a = 4:

1. $a : 4 = 4 : 4 = 1$
2. $1 > 15$? Нет.
3. $1 + 12 = 13$
4. $13 > 20$? Нет.
5. $13 \cdot 5 = 65$
6. $65 - 25 = 40$
Следовательно, $x = 40$.
Ответ: 40

При a = 20:

1. $a : 4 = 20 : 4 = 5$
2. $5 > 15$? Нет.
3. $5 + 12 = 17$
4. $17 > 20$? Нет.
5. $17 \cdot 5 = 85$
6. $85 - 25 = 60$
Следовательно, $x = 60$.
Ответ: 60

При a = 32:

1. $a : 4 = 32 : 4 = 8$
2. $8 > 15$? Нет.
3. $8 + 12 = 20$
4. $20 > 20$? Нет.
5. $20 \cdot 5 = 100$
6. $100 - 25 = 75$
Следовательно, $x = 75$.
Ответ: 75

При a = 48:

1. $a : 4 = 48 : 4 = 12$
2. $12 > 15$? Нет.
3. $12 + 12 = 24$
4. $24 > 20$? Да.
5. $24 \cdot 3 = 72$
6. $72 + 13 = 85$
Следовательно, $x = 85$.
Ответ: 85

При a = 60:

1. $a : 4 = 60 : 4 = 15$
2. $15 > 15$? Нет.
3. $15 + 12 = 27$
4. $27 > 20$? Да.
5. $27 \cdot 3 = 81$
6. $81 + 13 = 94$
Следовательно, $x = 94$.
Ответ: 94

При a = 72:

1. $a : 4 = 72 : 4 = 18$
2. $18 > 15$? Да.
3. $18 - 9 = 9$
4. $9 < 10$? Да.
5. $9 \cdot 11 = 99$
6. $99 + 24 = 123$
Следовательно, $x = 123$.
Ответ: 123

При a = 80:

1. $a : 4 = 80 : 4 = 20$
2. $20 > 15$? Да.
3. $20 - 9 = 11$
4. $11 < 10$? Нет.
5. $11 \cdot 4 = 44$
6. $44 - 8 = 36$
Следовательно, $x = 36$.
Ответ: 36

При a = 88:

1. $a : 4 = 88 : 4 = 22$
2. $22 > 15$? Да.
3. $22 - 9 = 13$
4. $13 < 10$? Нет.
5. $13 \cdot 4 = 52$
6. $52 - 8 = 44$
Следовательно, $x = 44$.
Ответ: 44

При a = 92:

1. $a : 4 = 92 : 4 = 23$
2. $23 > 15$? Да.
3. $23 - 9 = 14$
4. $14 < 10$? Нет.
5. $14 \cdot 4 = 56$
6. $56 - 8 = 48$
Следовательно, $x = 48$.
Ответ: 48

При a = 100:

1. $a : 4 = 100 : 4 = 25$
2. $25 > 15$? Да.
3. $25 - 9 = 16$
4. $16 < 10$? Нет.
5. $16 \cdot 4 = 64$
6. $64 - 8 = 56$
Следовательно, $x = 56$.
Ответ: 56

При a = 148:

1. $a : 4 = 148 : 4 = 37$
2. $37 > 15$? Да.
3. $37 - 9 = 28$
4. $28 < 10$? Нет.
5. $28 \cdot 4 = 112$
6. $112 - 8 = 104$
Следовательно, $x = 104$.
Ответ: 104

Заполненная таблица и расшифровка:

Сведем полученные результаты и соответствующие им буквы в одну таблицу:

Теперь расшифруем имя, подставляя буквы, соответствующие значениям x из нижней таблицы.

Первое слово:

85 → В
36 → А
94 → Л
123 → Е
48 → Р
75 → И
44 → Й
Получается слово: ВАЛЕРИЙ.

Второе слово:

60 → Б
48 → Р
104 → Ю
40 → С
56 → О
85 → В
Получается слово: БРЮСОВ.

Имя замечательного русского поэта: Валерий Брюсов.
Ответ: Валерий Брюсов

10 Найди сумму всех возможных двузначных чисел, все цифры которых нечётные.

Для решения этой задачи необходимо определить все возможные двузначные числа, у которых обе цифры нечётные, а затем найти их сумму.

1. Определение нечётных цифр и составление чисел

Нечётными цифрами являются: 1, 3, 5, 7, 9. Всего их пять.
Двузначное число состоит из цифры десятков и цифры единиц. По условию, обе эти цифры должны быть нечётными. Это значит, что на месте десятков может стоять любая из пяти нечётных цифр, и на месте единиц также может стоять любая из пяти нечётных цифр.
Общее количество таких чисел равно $5 \times 5 = 25$.

Перечислим все возможные числа, сгруппировав их по первой цифре:

• Числа, начинающиеся на 1: 11, 13, 15, 17, 19
• Числа, начинающиеся на 3: 31, 33, 35, 37, 39
• Числа, начинающиеся на 5: 51, 53, 55, 57, 59
• Числа, начинающиеся на 7: 71, 73, 75, 77, 79
• Числа, начинающиеся на 9: 91, 93, 95, 97, 99

2. Вычисление суммы

Чтобы найти сумму всех этих 25 чисел, можно воспользоваться методом поразрядного сложения. Сначала найдём сумму всех нечётных цифр:

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$

Теперь рассмотрим разряды единиц и десятков отдельно.

В разряде единиц каждая из нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9) встречается 5 раз (например, числа 11, 31, 51, 71, 91 имеют 1 в разряде единиц, числа 13, 33, 53, 73, 93 имеют 3 и т.д.).
Сумма всех цифр в разряде единиц равна: $5 \times (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5 \times 25 = 125$.

Аналогично, в разряде десятков каждая из нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9) встречается 5 раз (например, числа 11, 13, 15, 17, 19).
Сумма всех цифр в разряде десятков с учётом их разрядного веса (умножение на 10) равна: $5 \times (10 + 30 + 50 + 70 + 90) = 5 \times 10 \times (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 50 \times 25 = 1250$.

Общая сумма всех чисел равна сумме значений разрядов десятков и разрядов единиц:
$1250 + 125 = 1375$.

Ответ: 1375.

12 Запиши на математическом языке:

а) шестая часть от числа a;

$\frac{a}{6}$

б) двенадцатая часть от суммы чисел b и c;

$\frac{b+c}{12}$

в) сороковая часть от произведения чисел p и k.

$\frac{pk}{40}$

а) Чтобы найти шестую часть от числа a, необходимо разделить это число на 6. В математической записи это удобнее всего представить в виде дроби.

Ответ: $\frac{a}{6}$

б) Сначала нужно найти сумму чисел b и c, которая записывается как $(b + c)$. Затем, чтобы найти двенадцатую часть от этой суммы, полученное выражение нужно разделить на 12.

Ответ: $\frac{b + c}{12}$

в) Сначала необходимо найти произведение чисел p и k. Оно записывается как $p \cdot k$ или просто $pk$. Чтобы найти сороковую часть от этого произведения, результат нужно разделить на 40.

Ответ: $\frac{pk}{40}$

13 Чему равно число, если:

a) его четвёртая часть равна $d$;

б) его $1\%$ равен разности чисел $a$ и $c$;

в) его сто двадцатая часть равна частному чисел $b$ и $t$?

а) Пусть искомое число — это $x$. По условию, его четвёртая часть равна $d$. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{1}{4} \cdot x = d$
Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 4:
$x = 4 \cdot d$
Ответ: $4d$

б) Пусть искомое число — это $x$. Один процент от числа — это его сотая часть, то есть $\frac{1}{100}$ от числа. Разность чисел $a$ и $c$ записывается как $a-c$. Составим уравнение по условию задачи:
$\frac{1}{100} \cdot x = a - c$
Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 100:
$x = 100 \cdot (a - c)$
Ответ: $100(a-c)$

в) Пусть искомое число — это $x$. Его сто двадцатая часть — это $\frac{1}{120}$ от числа. Частное чисел $b$ и $t$ записывается как $\frac{b}{t}$. Составим уравнение по условию задачи:
$\frac{1}{120} \cdot x = \frac{b}{t}$
Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 120:
$x = 120 \cdot \frac{b}{t} = \frac{120b}{t}$
Ответ: $\frac{120b}{t}$

Реши уравнение:

а) $(30 \cdot x - 560) : 8 = 80;$

б) $630 : (30 - y) - 45 = 25.$

а) $(30 \cdot x - 560) : 8 = 80$

В данном уравнении выражение в скобках $(30 \cdot x - 560)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

$30 \cdot x - 560 = 80 \cdot 8$

$30 \cdot x - 560 = 640$

Теперь выражение $30 \cdot x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$30 \cdot x = 640 + 560$

$30 \cdot x = 1200$

Наконец, $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$x = 1200 : 30$

$x = 40$

Ответ: $x=40$

б) $630 : (30 - y) - 45 = 25$

В этом уравнении выражение $630 : (30 - y)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$630 : (30 - y) = 25 + 45$

$630 : (30 - y) = 70$

Теперь выражение в скобках $(30 - y)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$30 - y = 630 : 70$

$30 - y = 9$

В получившемся уравнении $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$y = 30 - 9$

$y = 21$

Ответ: $y=21$

Числовой кроссворд.

По горизонтали:

а) $12 \cdot 5303;$

б) $820\ 820 : 9\ 020;$

в) $143\ 412 : 7\ 548;$

г) $148 \cdot 159;$

д) $50\ 381 : 83;$

е) $460\ 312 : 652.$

По вертикали:

а) $870 \cdot 706;$

ж) $100\ 000 – 43\ 535;$

з) $1412 \cdot 435.$

Продолжи ряд на 4 числа, сохраняя закономерность:

a) 4, 5, 15, 16, 26, 27, ...

б) 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

а) 4, 5, 15, 16, 26, 27, ...

Для того чтобы найти закономерность в данном ряду, рассмотрим разность между соседними числами:

• $5 - 4 = 1$
• $15 - 5 = 10$
• $16 - 15 = 1$
• $26 - 16 = 10$
• $27 - 26 = 1$

Видно, что к числам в ряду поочередно прибавляется 1, а затем 10. Последним действием было прибавление 1 ($26 + 1 = 27$). Значит, следующее действие — прибавление 10.

Продолжим ряд на 4 числа:

• $27 + 10 = 37$
• $37 + 1 = 38$
• $38 + 10 = 48$
• $48 + 1 = 49$

Таким образом, следующие четыре числа в ряду: 37, 38, 48, 49.

Ответ: 37, 38, 48, 49.

б) 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

Найдем разность между соседними числами, чтобы определить закономерность:

• $2 - 1 = 1$
• $4 - 2 = 2$
• $7 - 4 = 3$
• $11 - 7 = 4$
• $16 - 11 = 5$

Закономерность состоит в том, что каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числа, которое на 1 больше, чем число, прибавленное на предыдущем шаге. Мы последовательно прибавляем 1, 2, 3, 4, 5, и так далее.

Последним мы прибавляли число 5. Значит, далее нужно прибавлять 6, 7, 8 и 9.

Продолжим ряд на 4 числа:

• $16 + 6 = 22$
• $22 + 7 = 29$
• $29 + 8 = 37$
• $37 + 9 = 46$

Таким образом, следующие четыре числа в ряду: 22, 29, 37, 46.

Ответ: 22, 29, 37, 46.

17 Найди по таблице зависимость между переменными $x$ и $y$. Запиши эту зависимость в виде формулы.

a)

$y=$

б)

$y=$

а)

Чтобы найти зависимость между переменными x и y, проанализируем данные в таблице. Для этого найдём отношение y к x для каждой пары значений.

• При $x=1$, $y=5$. Отношение $\frac{y}{x} = \frac{5}{1} = 5$.
• При $x=2$, $y=10$. Отношение $\frac{y}{x} = \frac{10}{2} = 5$.
• При $x=3$, $y=15$. Отношение $\frac{y}{x} = \frac{15}{3} = 5$.
• При $x=4$, $y=20$. Отношение $\frac{y}{x} = \frac{20}{4} = 5$.
• При $x=5$, $y=25$. Отношение $\frac{y}{x} = \frac{25}{5} = 5$.

Отношение постоянно и равно 5. Это означает, что значение y всегда в 5 раз больше значения x. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью. Следовательно, формула зависимости: $y = 5 \cdot x$.

Ответ: $y = 5x$.

б)

Проанализируем данные во второй таблице. Посмотрим, как изменяется значение y при увеличении значения x на единицу.

• Когда x увеличивается с 1 до 2, y увеличивается с 6 до 11 (на $11 - 6 = 5$).
• Когда x увеличивается с 2 до 3, y увеличивается с 11 до 16 (на $16 - 11 = 5$).
• Когда x увеличивается с 3 до 4, y увеличивается с 16 до 21 (на $21 - 16 = 5$).
• Когда x увеличивается с 4 до 5, y увеличивается с 21 до 26 (на $26 - 21 = 5$).

Мы видим, что при увеличении x на 1, значение y каждый раз увеличивается на 5. Это говорит о том, что зависимость можно представить в виде $y = 5x + c$, где c – некоторое постоянное число. Чтобы найти c, подставим в эту формулу любую пару значений из таблицы, например, первую: $x=1$ и $y=6$.
$6 = 5 \cdot 1 + c$
$6 = 5 + c$
$c = 6 - 5$
$c = 1$

Таким образом, мы получили формулу: $y = 5x + 1$. Проверим её, подставив другую пару значений, например, $x=4$ и $y=21$.
$y = 5 \cdot 4 + 1 = 20 + 1 = 21$.
Значение совпало с табличным. Формула верна.

Ответ: $y = 5x + 1$.

5 В дачном посёлке 180 домов. Из них 60 домов покрыты черепицей, 80 домов — шифером, а остальные — железом. Построй и проанализируй круговую диаграмму.

Для решения задачи сначала определим количество домов с каждым типом кровли, а затем рассчитаем параметры для построения круговой диаграммы и проанализируем её.

1. Расчет количества домов по типам кровли.

Всего в дачном поселке 180 домов. Известно, что:

• 60 домов покрыты черепицей.
• 80 домов покрыты шифером.

Остальные дома покрыты железом. Найдем их количество, вычтя из общего числа домов количество домов с черепицей и шифером:

$180 - (60 + 80) = 180 - 140 = 40$ домов.

Итак, мы имеем:

• Черепица: 60 домов.
• Шифер: 80 домов.
• Железо: 40 домов.

2. Построение круговой диаграммы.

Круговая диаграмма представляет собой круг, разделенный на секторы, пропорциональные значениям данных. Полный круг составляет $360^\circ$. Рассчитаем угол для каждого сектора.

Угол для домов с черепицей:

Доля домов с черепицей: $ \frac{60}{180} = \frac{1}{3} $

Угол сектора: $ \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ $

Угол для домов с шифером:

Доля домов с шифером: $ \frac{80}{180} = \frac{4}{9} $

Угол сектора: $ \frac{4}{9} \times 360^\circ = 160^\circ $

Угол для домов с железом:

Доля домов с железом: $ \frac{40}{180} = \frac{2}{9} $

Угол сектора: $ \frac{2}{9} \times 360^\circ = 80^\circ $

Проверка: $120^\circ + 160^\circ + 80^\circ = 360^\circ$. Расчеты верны.

На основе этих данных строим диаграмму:

3. Анализ круговой диаграммы.

Анализируя построенную диаграмму, можно сделать следующие выводы:

• Самый большой сектор на диаграмме ($160^\circ$) соответствует домам, покрытым шифером. Это означает, что большинство домов в поселке (80 из 180) имеют шиферную кровлю.
• Самый маленький сектор ($80^\circ$) соответствует домам с кровлей из железа. Следовательно, таких домов в поселке меньше всего (40 из 180).
• Сравнивая секторы, можно заметить, что сектор "Шифер" ($160^\circ$) ровно в два раза больше сектора "Железо" ($80^\circ$). Это подтверждается и количеством домов: $80 = 2 \times 40$.
• Сектор "Черепица" имеет угол $120^\circ$, что составляет ровно одну треть от полного круга ($360^\circ$). Это соответствует доле домов с черепицей: $60/180 = 1/3$.

Ответ: В дачном поселке 40 домов покрыты железом. Для построения круговой диаграммы были рассчитаны углы секторов: для домов с черепицей — $120^\circ$, с шифером — $160^\circ$, с железом — $80^\circ$. Анализ диаграммы показывает, что шифер является самым популярным материалом для кровли, а железо — наименее популярным; при этом домов с шиферной кровлей в два раза больше, чем с железной.

6 a) Назови вписанный и центральный углы. На какую дугу они опираются? Обведи её цветным карандашом.

В первом круге:

Вписанный угол: $\angle ABC$. Центральный угол: $\angle AO_1C$. Опираются на дугу $AC$.

Во втором круге:

Вписанный угол: $\angle KNM$ или $\angle MNK$. Центральный угол: $\angle MO_2K$. Опираются на дугу $MK$.

В третьем круге:

Вписанный угол: $\angle DEF$. Центральный угол: $\angle DO_3F$. Опираются на дугу $DF$.

б) Измерь центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, и сравни их значения. Установи взаимосвязь между ними и сформулируй гипотезу. Почему её пока нельзя считать доказанной для всех вписанных и центральных углов, опирающихся на одну и ту же дугу?

Рассмотрим каждый из трех рисунков:

На первом рисунке (окружность с центром $O_1$):
- Вписанный угол: $\angle BAC$.
- Центральный угол: $\angle BO_1C$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup BC$.

На втором рисунке (окружность с центром $O_2$):
- Вписанный угол: $\angle MNK$.
- Центральный угол: $\angle MO_2K$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup MK$.

На третьем рисунке (окружность с центром $O_3$):
- Вписанный угол: $\angle DEF$.
- Центральный угол: $\angle DO_3F$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup DF$.

Ответ: На первом рисунке вписанный угол $\angle BAC$ и центральный $\angle BO_1C$ опираются на дугу $\cup BC$. На втором рисунке вписанный угол $\angle MNK$ и центральный $\angle MO_2K$ опираются на дугу $\cup MK$. На третьем рисунке вписанный угол $\angle DEF$ и центральный $\angle DO_3F$ опираются на дугу $\cup DF$.

Чтобы выполнить это задание, необходимо измерить углы с помощью транспортира и сравнить их значения. Поскольку точные измерения по изображению невозможны, приведем примерные результаты, которые можно было бы получить.

Измерение и сравнение:
- Для окружности с центром $O_1$: $\angle BAC \approx 55^\circ$, а $\angle BO_1C \approx 110^\circ$. Сравнивая, видим, что $110^\circ = 2 \cdot 55^\circ$.
- Для окружности с центром $O_2$: $\angle MNK \approx 70^\circ$, а $\angle MO_2K \approx 140^\circ$. Сравнивая, видим, что $140^\circ = 2 \cdot 70^\circ$.
- Для окружности с центром $O_3$: $\angle DEF \approx 40^\circ$, а $\angle DO_3F \approx 80^\circ$. Сравнивая, видим, что $80^\circ = 2 \cdot 40^\circ$.

На основе этих наблюдений можно установить взаимосвязь между углами и сформулировать гипотезу.

Гипотеза:
Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу. Математически это можно записать как: $\angle \text{центральный} = 2 \cdot \angle \text{вписанный}$.

Почему эту гипотезу пока нельзя считать доказанной?
Гипотезу нельзя считать доказанной, потому что она основана на измерениях всего лишь трех частных случаев. В математике утверждение считается доказанным (становится теоремой), только если оно выведено строго логически для всех возможных случаев, а не просто проверено на нескольких примерах. Проверка на примерах — это лишь эксперимент, который помогает выдвинуть предположение, но не является строгим доказательством. Кроме того, любые физические измерения содержат погрешность. Для доказательства необходимо использовать аксиомы и ранее доказанные теоремы геометрии, чтобы показать, что эта взаимосвязь верна для любой окружности и любых таких углов, независимо от их расположения.

Ответ: При измерении углов можно установить, что центральный угол примерно в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Гипотеза: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Эту гипотезу нельзя считать доказанной, так как проверка на нескольких частных случаях не является математическим доказательством, которое должно охватывать все возможные случаи и быть основано на строгих логических рассуждениях, а не на измерениях.

7 Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок-схемой, и заполни таблицу. Найди разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной $x$.

a

$ + 3\frac{1}{7} $

$ < 4\frac{5}{7} ? $

да

нет

$ + 2\frac{4}{7} $

$ - 2\frac{6}{7} $

x

Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок-схемой, и заполни таблицу.

Алгоритм действий следующий:

1. К исходному значению переменной $a$ прибавляем $3\frac{1}{7}$.
2. Полученное промежуточное значение сравниваем с $4\frac{5}{7}$.
3. Если промежуточное значение меньше $4\frac{5}{7}$ (ветка "да"), то к нему прибавляем $2\frac{4}{7}$, чтобы найти $x$.
4. Если промежуточное значение больше или равно $4\frac{5}{7}$ (ветка "нет"), то из него вычитаем $2\frac{6}{7}$, чтобы найти $x$.

Проведем вычисления для каждого значения $a$ из таблицы:

• При $a = \frac{3}{7}$:
  1. $\frac{3}{7} + 3\frac{1}{7} = 3\frac{4}{7}$
  2. Сравнение: $3\frac{4}{7} < 4\frac{5}{7}$. Условие выполнено (ветка "да").
  3. Вычисление $x$: $x = 3\frac{4}{7} + 2\frac{4}{7} = 5\frac{8}{7} = 6\frac{1}{7}$
• При $a = 1\frac{2}{7}$:
  1. $1\frac{2}{7} + 3\frac{1}{7} = 4\frac{3}{7}$
  2. Сравнение: $4\frac{3}{7} < 4\frac{5}{7}$. Условие выполнено (ветка "да").
  3. Вычисление $x$: $x = 4\frac{3}{7} + 2\frac{4}{7} = 6\frac{7}{7} = 7$
• При $a = 1\frac{4}{7}$:
  1. $1\frac{4}{7} + 3\frac{1}{7} = 4\frac{5}{7}$
  2. Сравнение: $4\frac{5}{7} < 4\frac{5}{7}$. Условие не выполнено, так как значения равны (ветка "нет").
  3. Вычисление $x$: $x = 4\frac{5}{7} - 2\frac{6}{7} = 3\frac{12}{7} - 2\frac{6}{7} = 1\frac{6}{7}$
• При $a = 2\frac{5}{7}$:
  1. $2\frac{5}{7} + 3\frac{1}{7} = 5\frac{6}{7}$
  2. Сравнение: $5\frac{6}{7} < 4\frac{5}{7}$. Условие не выполнено (ветка "нет").
  3. Вычисление $x$: $x = 5\frac{6}{7} - 2\frac{6}{7} = 3$
• При $a = 3\frac{1}{7}$:
  1. $3\frac{1}{7} + 3\frac{1}{7} = 6\frac{2}{7}$
  2. Сравнение: $6\frac{2}{7} < 4\frac{5}{7}$. Условие не выполнено (ветка "нет").
  3. Вычисление $x$: $x = 6\frac{2}{7} - 2\frac{6}{7} = 5\frac{9}{7} - 2\frac{6}{7} = 3\frac{3}{7}$

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Найди разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной x.

Полученные значения переменной $x$: $6\frac{1}{7}$, $7$, $1\frac{6}{7}$, $3$, $3\frac{3}{7}$.

1. Находим наибольшее значение ($x_{max}$): сравнивая все полученные значения $x$, видим, что наибольшим является $7$.
2. Находим наименьшее значение ($x_{min}$): наименьшим значением является $1\frac{6}{7}$.
3. Вычисляем разность:
   $x_{max} - x_{min} = 7 - 1\frac{6}{7} = 6\frac{7}{7} - 1\frac{6}{7} = (6 - 1) + (\frac{7}{7} - \frac{6}{7}) = 5\frac{1}{7}$.

Ответ: $5\frac{1}{7}$.

8 a) Периметр треугольника равен $24 \frac{3}{4}$ см. Одна его сторона равна $7 \frac{1}{4}$ см, а вторая на $3 \frac{3}{4}$ см больше первой. Найди длину третьей стороны.

a)

Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, необходимо выполнить действия поочередно.

1. Сначала найдем длину второй стороны. По условию, она на $3 \frac{3}{4}$ см больше первой, длина которой $7 \frac{1}{4}$ см. Для этого сложим длину первой стороны и разницу:

$7 \frac{1}{4} \text{ см} + 3 \frac{3}{4} \text{ см} = (7+3) + (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 10 + \frac{4}{4} = 10 + 1 = 11$ см.

Таким образом, длина второй стороны равна 11 см.

2. Теперь найдем сумму длин первой и второй сторон:

$7 \frac{1}{4} \text{ см} + 11 \text{ см} = 18 \frac{1}{4}$ см.

3. Периметр треугольника — это сумма длин всех трех его сторон. Чтобы найти длину третьей стороны, нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон. Периметр равен $24 \frac{3}{4}$ см.

$24 \frac{3}{4} \text{ см} - 18 \frac{1}{4} \text{ см} = (24-18) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) = 6 + \frac{2}{4} = 6 \frac{1}{2}$ см.

Ответ: длина третьей стороны равна $6 \frac{1}{2}$ см.