Номер 6, страница 39, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 10. Круговые диаграммы. Часть 3 - номер 6, страница 39.

Условие.

6 a) Назови вписанный и центральный углы. На какую дугу они опираются? Обведи её цветным карандашом.

В первом круге:

Вписанный угол: $\angle ABC$. Центральный угол: $\angle AO_1C$. Опираются на дугу $AC$.

Во втором круге:

Вписанный угол: $\angle KNM$ или $\angle MNK$. Центральный угол: $\angle MO_2K$. Опираются на дугу $MK$.

В третьем круге:

Вписанный угол: $\angle DEF$. Центральный угол: $\angle DO_3F$. Опираются на дугу $DF$.

б) Измерь центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, и сравни их значения. Установи взаимосвязь между ними и сформулируй гипотезу. Почему её пока нельзя считать доказанной для всех вписанных и центральных углов, опирающихся на одну и ту же дугу?

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим каждый из трех рисунков:

На первом рисунке (окружность с центром $O_1$):
- Вписанный угол: $\angle BAC$.
- Центральный угол: $\angle BO_1C$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup BC$.

На втором рисунке (окружность с центром $O_2$):
- Вписанный угол: $\angle MNK$.
- Центральный угол: $\angle MO_2K$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup MK$.

На третьем рисунке (окружность с центром $O_3$):
- Вписанный угол: $\angle DEF$.
- Центральный угол: $\angle DO_3F$.
- Оба угла опираются на дугу $\cup DF$.

Ответ: На первом рисунке вписанный угол $\angle BAC$ и центральный $\angle BO_1C$ опираются на дугу $\cup BC$. На втором рисунке вписанный угол $\angle MNK$ и центральный $\angle MO_2K$ опираются на дугу $\cup MK$. На третьем рисунке вписанный угол $\angle DEF$ и центральный $\angle DO_3F$ опираются на дугу $\cup DF$.

б)

Чтобы выполнить это задание, необходимо измерить углы с помощью транспортира и сравнить их значения. Поскольку точные измерения по изображению невозможны, приведем примерные результаты, которые можно было бы получить.

Измерение и сравнение:
- Для окружности с центром $O_1$: $\angle BAC \approx 55^\circ$, а $\angle BO_1C \approx 110^\circ$. Сравнивая, видим, что $110^\circ = 2 \cdot 55^\circ$.
- Для окружности с центром $O_2$: $\angle MNK \approx 70^\circ$, а $\angle MO_2K \approx 140^\circ$. Сравнивая, видим, что $140^\circ = 2 \cdot 70^\circ$.
- Для окружности с центром $O_3$: $\angle DEF \approx 40^\circ$, а $\angle DO_3F \approx 80^\circ$. Сравнивая, видим, что $80^\circ = 2 \cdot 40^\circ$.

На основе этих наблюдений можно установить взаимосвязь между углами и сформулировать гипотезу.

Гипотеза:
Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу. Математически это можно записать как: $\angle \text{центральный} = 2 \cdot \angle \text{вписанный}$.

Почему эту гипотезу пока нельзя считать доказанной?
Гипотезу нельзя считать доказанной, потому что она основана на измерениях всего лишь трех частных случаев. В математике утверждение считается доказанным (становится теоремой), только если оно выведено строго логически для всех возможных случаев, а не просто проверено на нескольких примерах. Проверка на примерах — это лишь эксперимент, который помогает выдвинуть предположение, но не является строгим доказательством. Кроме того, любые физические измерения содержат погрешность. Для доказательства необходимо использовать аксиомы и ранее доказанные теоремы геометрии, чтобы показать, что эта взаимосвязь верна для любой окружности и любых таких углов, независимо от их расположения.

Ответ: При измерении углов можно установить, что центральный угол примерно в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Гипотеза: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Эту гипотезу нельзя считать доказанной, так как проверка на нескольких частных случаях не является математическим доказательством, которое должно охватывать все возможные случаи и быть основано на строгих логических рассуждениях, а не на измерениях.