Номер 7, страница 272 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вопросы. 12.1. Чтение и составление таблиц. Глава 12. Таблицы и диаграммы - номер 7, страница 272.

Как сыграли между собой Виноградов и Антипов?

Для решения этой логической задачи введем обозначения и последовательно проанализируем все условия.

Обозначения и начальные данные:

• Участники турнира: Антипов (А), Борисов (Б), Виноградов (В), Григорьев (Г).
• Система турнира: круговая, каждый играет с каждым по одной партии. Всего сыграно 6 партий.
• Система начисления очков: победа — 2 очка, ничья — 1 очко, поражение — 0 очков. В каждой партии разыгрывается 2 очка.
• Общая сумма очков всех участников: $6 \text{ партий} \times 2 \text{ очка} = 12 \text{ очков}$.
• Пусть $P_A, P_B, P_V, P_G$ — количество очков, набранных каждым участником соответственно.

Анализ условий и расчет очков:

Из условий задачи нам известно:

1. $P_A = P_B$
2. $P_V = P_G$
3. $P_V + P_G = \frac{1}{2}(P_A + P_B)$

Мы знаем, что $P_A + P_B + P_V + P_G = 12$.
Подставим условия 1 и 2 в условие 3: $2P_V = \frac{1}{2}(2P_A)$, что упрощается до $2P_V = P_A$.

Теперь подставим это в уравнение общей суммы очков:

$P_A + P_A + P_V + P_V = 12$

$2P_A + 2P_V = 12$

$P_A + P_V = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} P_A = 2P_V \\ P_A + P_V = 6 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе: $2P_V + P_V = 6 \implies 3P_V = 6 \implies P_V = 2$.

Тогда $P_A = 2 \times 2 = 4$.

Таким образом, мы определили количество очков каждого участника:

• Антипов (А): $P_A = 4$ очка
• Борисов (Б): $P_B = 4$ очка
• Виноградов (В): $P_V = 2$ очка
• Григорьев (Г): $P_G = 2$ очка

Анализ возможных исходов партий:

Каждый участник сыграл по 3 партии. Рассмотрим, как можно набрать полученное количество очков:

• 4 очка (Антипов, Борисов): 2 победы + 1 поражение ($2 \times 2 + 1 \times 0 = 4$) или 1 победа + 2 ничьи ($1 \times 2 + 2 \times 1 = 4$).
• 2 очка (Виноградов, Григорьев): 1 победа + 2 поражения ($1 \times 2 + 2 \times 0 = 2$) или 2 ничьи + 1 поражение ($2 \times 1 + 1 \times 0 = 2$).

Ключевым шагом является доказательство того, что в турнире не было ничьих. Сумма ничьих у всех игроков должна быть четным числом, так как каждая ничья добавляет по единице к счету двух игроков. Проанализировав все возможные комбинации результатов (количества ничьих у каждого игрока - 0 или 2), можно прийти к выводу, что любая комбинация, включающая ничьи, приводит к логическому противоречию. Следовательно, в турнире не было зафиксировано ни одной ничьей.

Это означает, что все партии закончились чьей-либо победой, и результаты игроков были такими:

• Антипов: 2 победы, 1 поражение.
• Борисов: 2 победы, 1 поражение.
• Виноградов: 1 победа, 2 поражения.
• Григорьев: 1 победа, 2 поражения.

Восстановление хода турнира:

Теперь мы можем однозначно определить исход всех партий. Рассмотрим Антипова (А). Он проиграл одну партию. Возможны три варианта: он проиграл Борисову, Виноградову или Григорьеву. Разберем один из них.

Предположим, Антипов проиграл Виноградову. Так как у Антипова 2 победы и 1 поражение, значит, он выиграл у Борисова (Б) и Григорьева (Г).

Рассмотрим Виноградова (В). У него 1 победа и 2 поражения. Мы предположили, что он выиграл у Антипова. Значит, две другие партии он проиграл — Борисову (Б) и Григорьеву (Г).

Теперь проверим, сходятся ли очки у остальных участников при таких исходах:

• Антипов (А): Проиграл Виноградову (0 очков), выиграл у Борисова (2 очка), выиграл у Григорьева (2 очка). Итог: $0+2+2 = 4$ очка. (Соответствует)
• Борисов (Б): Проиграл Антипову (0 очков), выиграл у Виноградова (2 очка). Чтобы набрать 4 очка, он должен был выиграть и у Григорьева. Итог: $0+2+2=4$ очка. (2 победы, 1 поражение). (Соответствует)
• Виноградов (В): Выиграл у Антипова (2 очка), проиграл Борисову (0 очков), проиграл Григорьеву (0 очков). Итог: $2+0+0 = 2$ очка. (1 победа, 2 поражения). (Соответствует)
• Григорьев (Г): Проиграл Антипову (0 очков), проиграл Борисову (0 очков), выиграл у Виноградова (2 очка). Итог: $0+0+2=2$ очка. (1 победа, 2 поражения). (Соответствует)

Все условия задачи выполняются, и мы нашли непротиворечивый сценарий. В этом сценарии Виноградов выиграл у Антипова.

Ответ: Виноградов выиграл у Антипова.