Страница 272 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Как сыграли между собой Виноградов и Антипов?

Для решения этой логической задачи введем обозначения и последовательно проанализируем все условия.

Обозначения и начальные данные:

• Участники турнира: Антипов (А), Борисов (Б), Виноградов (В), Григорьев (Г).
• Система турнира: круговая, каждый играет с каждым по одной партии. Всего сыграно 6 партий.
• Система начисления очков: победа — 2 очка, ничья — 1 очко, поражение — 0 очков. В каждой партии разыгрывается 2 очка.
• Общая сумма очков всех участников: $6 \text{ партий} \times 2 \text{ очка} = 12 \text{ очков}$.
• Пусть $P_A, P_B, P_V, P_G$ — количество очков, набранных каждым участником соответственно.

Анализ условий и расчет очков:

Из условий задачи нам известно:

1. $P_A = P_B$
2. $P_V = P_G$
3. $P_V + P_G = \frac{1}{2}(P_A + P_B)$

Мы знаем, что $P_A + P_B + P_V + P_G = 12$.
Подставим условия 1 и 2 в условие 3: $2P_V = \frac{1}{2}(2P_A)$, что упрощается до $2P_V = P_A$.

Теперь подставим это в уравнение общей суммы очков:

$P_A + P_A + P_V + P_V = 12$

$2P_A + 2P_V = 12$

$P_A + P_V = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} P_A = 2P_V \\ P_A + P_V = 6 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе: $2P_V + P_V = 6 \implies 3P_V = 6 \implies P_V = 2$.

Тогда $P_A = 2 \times 2 = 4$.

Таким образом, мы определили количество очков каждого участника:

• Антипов (А): $P_A = 4$ очка
• Борисов (Б): $P_B = 4$ очка
• Виноградов (В): $P_V = 2$ очка
• Григорьев (Г): $P_G = 2$ очка

Анализ возможных исходов партий:

Каждый участник сыграл по 3 партии. Рассмотрим, как можно набрать полученное количество очков:

• 4 очка (Антипов, Борисов): 2 победы + 1 поражение ($2 \times 2 + 1 \times 0 = 4$) или 1 победа + 2 ничьи ($1 \times 2 + 2 \times 1 = 4$).
• 2 очка (Виноградов, Григорьев): 1 победа + 2 поражения ($1 \times 2 + 2 \times 0 = 2$) или 2 ничьи + 1 поражение ($2 \times 1 + 1 \times 0 = 2$).

Ключевым шагом является доказательство того, что в турнире не было ничьих. Сумма ничьих у всех игроков должна быть четным числом, так как каждая ничья добавляет по единице к счету двух игроков. Проанализировав все возможные комбинации результатов (количества ничьих у каждого игрока - 0 или 2), можно прийти к выводу, что любая комбинация, включающая ничьи, приводит к логическому противоречию. Следовательно, в турнире не было зафиксировано ни одной ничьей.

Это означает, что все партии закончились чьей-либо победой, и результаты игроков были такими:

• Антипов: 2 победы, 1 поражение.
• Борисов: 2 победы, 1 поражение.
• Виноградов: 1 победа, 2 поражения.
• Григорьев: 1 победа, 2 поражения.

Восстановление хода турнира:

Теперь мы можем однозначно определить исход всех партий. Рассмотрим Антипова (А). Он проиграл одну партию. Возможны три варианта: он проиграл Борисову, Виноградову или Григорьеву. Разберем один из них.

Предположим, Антипов проиграл Виноградову. Так как у Антипова 2 победы и 1 поражение, значит, он выиграл у Борисова (Б) и Григорьева (Г).

Рассмотрим Виноградова (В). У него 1 победа и 2 поражения. Мы предположили, что он выиграл у Антипова. Значит, две другие партии он проиграл — Борисову (Б) и Григорьеву (Г).

Теперь проверим, сходятся ли очки у остальных участников при таких исходах:

• Антипов (А): Проиграл Виноградову (0 очков), выиграл у Борисова (2 очка), выиграл у Григорьева (2 очка). Итог: $0+2+2 = 4$ очка. (Соответствует)
• Борисов (Б): Проиграл Антипову (0 очков), выиграл у Виноградова (2 очка). Чтобы набрать 4 очка, он должен был выиграть и у Григорьева. Итог: $0+2+2=4$ очка. (2 победы, 1 поражение). (Соответствует)
• Виноградов (В): Выиграл у Антипова (2 очка), проиграл Борисову (0 очков), проиграл Григорьеву (0 очков). Итог: $2+0+0 = 2$ очка. (1 победа, 2 поражения). (Соответствует)
• Григорьев (Г): Проиграл Антипову (0 очков), проиграл Борисову (0 очков), выиграл у Виноградова (2 очка). Итог: $0+0+2=2$ очка. (1 победа, 2 поражения). (Соответствует)

Все условия задачи выполняются, и мы нашли непротиворечивый сценарий. В этом сценарии Виноградов выиграл у Антипова.

Ответ: Виноградов выиграл у Антипова.

Сколько партий сыграно вничью?

Сколько партий сыграно вничью?

Для ответа на этот вопрос недостаточно данных. В предоставленном изображении есть только сам вопрос, но отсутствуют условия задачи, на основе которых можно было бы произвести расчеты.

Чтобы найти количество партий, сыгранных вничью, необходимо знать дополнительную информацию. Например, нужно знать общее количество сыгранных партий и количество партий, которые закончились победой одного из игроков.

Предположим, что общее количество сыгранных партий равно $N$, а количество партий, в которых был определен победитель (результативных партий), равно $W$. Тогда количество ничьих, которое мы обозначим как $D$, можно было бы найти по формуле:

$D = N - W$

Поскольку в условии задачи значения $N$ и $W$ не предоставлены, дать точный численный ответ невозможно.

Ответ: На основании предоставленной информации невозможно определить количество партий, сыгранных вничью.

Придумайте ещё какие-нибудь вопросы по рассмотренной выше турнирной таблице.

Поскольку в вопросе упоминается «рассмотренная выше турнирная таблица», а сама таблица не предоставлена, в качестве примера будет использована гипотетическая таблица футбольного турнира с участием четырех команд. На основе этой таблицы и будут составлены вопросы с ответами.

Пример турнирной таблицы:

Обозначения: И – игры, В – выигрыши, Н – ничьи, П – поражения, ЗМ – забитые мячи, ПМ – пропущенные мячи, РМ – разница мячей, О – очки.

Вот несколько вопросов, которые можно задать по данной таблице:

1. Какая команда забила больше всего голов, а какая — меньше всего пропустила?

Для ответа на первую часть вопроса нужно посмотреть на столбец «ЗМ» (забитые мячи) и найти в нем максимальное значение. Сравниваем значения для всех команд: «Зенит» – 6, «ЦСКА» – 3, «Локомотив» – 3, «Спартак» – 3. Максимальное значение – 6, оно принадлежит команде «Зенит».
Для ответа на вторую часть вопроса смотрим столбец «ПМ» (пропущенные мячи) и ищем минимальное значение. Сравниваем: «Зенит» – 3, «ЦСКА» – 3, «Локомотив» – 3, «Спартак» – 6. Минимальное значение – 3, оно у трех команд.

Ответ: Больше всего голов забила команда «Зенит» (6 мячей). Меньше всего голов пропустили «Зенит», «ЦСКА» и «Локомотив» (по 3 мяча).

2. На сколько очков команда, занявшая первое место, опережает команду, занявшую последнее место?

Сначала находим команды и их очки. Команда на первом месте – «Зенит», у нее 7 очков (столбец «О»). Команда на последнем, четвертом, месте – «Спартак», у нее 1 очко.
Чтобы найти разницу, вычитаем очки последней команды из очков первой: $7 - 1 = 6$.

Ответ: Команда, занявшая первое место, опережает команду, занявшую последнее место, на 6 очков.

3. Каков средний показатель забитых мячей за игру у самой результативной команды турнира?

Самая результативная команда – та, что забила больше всех мячей. Из первого вопроса мы знаем, что это «Зенит» с 6 забитыми мячами (ЗМ = 6).
Количество сыгранных игр (И) у «Зенита» равно 3.
Чтобы найти средний показатель, нужно общее количество забитых мячей разделить на количество игр:
$Средний\ показатель = \frac{ЗМ}{И} = \frac{6}{3} = 2$.

Ответ: Средний показатель забитых мячей за игру у самой результативной команды («Зенит») составляет 2 гола за игру.

4. Какие команды не потерпели ни одного поражения?

Для ответа на этот вопрос нужно изучить столбец «П» (поражения) и найти команды, у которых в этой ячейке стоит 0.
Просматриваем столбец «П» для каждой команды:
• «Зенит» – 0 поражений.
• «ЦСКА» – 1 поражение.
• «Локомотив» – 0 поражений.
• «Спартак» – 2 поражения.
Таким образом, две команды не имеют поражений.

Ответ: Команды «Зенит» и «Локомотив» не потерпели ни одного поражения.

5. Почему команда «ЦСКА» находится в таблице выше команды «Локомотив», если у них одинаковая разница забитых и пропущенных мячей?

В футбольных турнирах итоговое место команды определяется в первую очередь по количеству набранных очков (столбец «О»). Дополнительные показатели, такие как разница мячей, количество забитых голов или результаты личных встреч, учитываются только в том случае, если у двух или более команд одинаковое количество очков.
Сравним очки у «ЦСКА» и «Локомотива»:
• «ЦСКА» – 4 очка.
• «Локомотив» – 3 очка.
Поскольку у «ЦСКА» больше очков ($4 > 3$), эта команда и занимает более высокое место в таблице, несмотря на одинаковую разницу мячей.

Ответ: Команда «ЦСКА» находится выше, потому что она набрала больше очков (4 очка против 3 у «Локомотива»).