Страница 278 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

12.11 а) Запишите пять чисел, о которых известно, что первое число равно $\frac{4}{9}$, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $1\frac{1}{2}$. Какое число больше – первое или последнее?

б) Запишите пять чисел, о которых известно, что первое число равно $\frac{4}{9}$, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $\frac{1}{2}$. Какое число больше – первое или последнее?

а)

По условию, первое число равно $ \frac{4}{9} $, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $ 1\frac{1}{2} $.
Для начала, представим множитель $ 1\frac{1}{2} $ в виде неправильной дроби: $ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $.
Теперь найдем все пять чисел последовательности:
1. Первое число: $ \frac{4}{9} $
2. Второе число: $ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $
3. Третье число: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 $
4. Четвертое число: $ 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $
5. Пятое (последнее) число: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} $
Итак, мы получили пять чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4} $.
Сравним первое число ($ \frac{4}{9} $) и последнее ($ \frac{9}{4} $).
Так как множитель $ \frac{3}{2} > 1 $, каждое следующее число в последовательности больше предыдущего. Следовательно, последнее число будет больше первого.
Проверим это, приведя дроби к общему знаменателю 36:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
$ \frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{81}{36} $
Поскольку $ \frac{81}{36} > \frac{16}{36} $, то $ \frac{9}{4} > \frac{4}{9} $.
Ответ: Последнее число больше.

б)

По условию, первое число равно $ \frac{4}{9} $, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $ \frac{1}{2} $.
Найдем все пять чисел последовательности:
1. Первое число: $ \frac{4}{9} $
2. Второе число: $ \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $
3. Третье число: $ \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $
4. Четвертое число: $ \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18} $
5. Пятое (последнее) число: $ \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{36} $
Итак, мы получили пять чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, \frac{1}{36} $.
Сравним первое число ($ \frac{4}{9} $) и последнее ($ \frac{1}{36} $).
Так как множитель $ \frac{1}{2} < 1 $, каждое следующее число в последовательности меньше предыдущего. Следовательно, первое число будет больше последнего.
Проверим это, приведя дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 36:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
Поскольку $ \frac{16}{36} > \frac{1}{36} $, то $ \frac{4}{9} > \frac{1}{36} $.
Ответ: Первое число больше.

12.12 а) В парке 495 деревьев. Липы составляют $\frac{5}{9}$ всех деревьев, остальные – клёны. Сколько в парке лип и сколько клёнов?

б) Для оборудования спортивной площадки использовано 55 коротких и длинных реек. Короткие составляют $\frac{5}{11}$ всех реек. Сколько коротких и сколько длинных реек использовано?

а)

1. Чтобы найти количество лип, нужно общее количество деревьев умножить на долю, которую составляют липы. Доля лип составляет $ \frac{5}{9} $ от всех деревьев.
$495 \cdot \frac{5}{9} = \frac{495 \cdot 5}{9} = 55 \cdot 5 = 275$ (лип).

2. Остальные деревья — клёны. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа деревьев вычесть количество лип.
$495 - 275 = 220$ (клёнов).

Ответ: в парке 275 лип и 220 клёнов.

б)

1. Чтобы найти количество коротких реек, нужно общее количество реек умножить на долю, которую они составляют. Доля коротких реек составляет $ \frac{5}{11} $ от всех реек.
$55 \cdot \frac{5}{11} = \frac{55 \cdot 5}{11} = 5 \cdot 5 = 25$ (коротких реек).

2. Чтобы найти количество длинных реек, нужно из общего числа реек вычесть количество коротких.
$55 - 25 = 30$ (длинных реек).

Ответ: использовано 25 коротких и 30 длинных реек.

12.13 1) Рассмотрите многогранник на рисунке 12.1. Назовите его видимые грани; невидимые грани. Сколько всего граней у этого многогранника? Какова их форма? Сколько граней имеет общую вершину $A$? Какие из этих граней видимые? Скопируйте многогранник в тетрадь.

2) Многогранник, который вы рассматривали и копировали, составлен из двух пирамид. Что это за пирамиды? Для каждой из них назовите основание и вершину, ему противолежащую.

Рис. 12.1

На изображении многогранник, у которого видимые рёбра и грани (расположенные на переднем плане) показаны сплошными линиями, а невидимые (расположенные сзади) — штриховыми.
Видимые грани: $EAB, EBC, KAB, KBC$.
Невидимые грани: $EDA, ECD, KDA, KCD$.
Всего у этого многогранника 8 граней (4 видимых и 4 невидимых). Все грани имеют форму треугольника.
Общую вершину $A$ имеют четыре грани: $EAB, EDA, KAB, KDA$. Из них видимыми являются грани $EAB$ и $KAB$, так как они находятся на переднем плане.
Ответ: Видимые грани — $EAB, EBC, KAB, KBC$; невидимые грани — $EDA, ECD, KDA, KCD$. Всего у многогранника 8 граней, все они имеют форму треугольника. Вершину $A$ имеют 4 грани ($EAB, EDA, KAB, KDA$), из которых видимы $EAB$ и $KAB$.

Данный многогранник составлен из двух пирамид, имеющих общее основание — четырехугольник $ABCD$.
Первая пирамида — $EABCD$. Для нее основанием является четырехугольник $ABCD$, а вершиной, противолежащей этому основанию, является точка $E$.
Вторая пирамида — $KABCD$. Для нее основанием также является четырехугольник $ABCD$, а противолежащей ему вершиной — точка $K$.
Такой многогранник называется восьмигранником или октаэдром (в данном случае — четырехугольной бипирамидой).
Ответ: Многогранник составлен из двух пирамид: $EABCD$ и $KABCD$. У пирамиды $EABCD$ основание — $ABCD$, противолежащая вершина — $E$. У пирамиды $KABCD$ основание — $ABCD$, противолежащая вершина — $K$.