Страница 282 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

12.18 Найдите значение выражения

$7 : \left(\frac{5}{8} + \frac{5}{6}\right) + \left(3\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{10}\right)^2$

Для нахождения значения выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, умножение и деление, и в конце — сложение и вычитание.

Исходное выражение:

$7 : (\frac{5}{8} + \frac{5}{6}) + (3\frac{1}{9} - \frac{1}{3}) \cdot (\frac{3}{10})^2$

Решим по действиям:

1. Выполним сложение дробей в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 — это 24.

$\frac{5}{8} + \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{15}{24} + \frac{20}{24} = \frac{15 + 20}{24} = \frac{35}{24}$

2. Выполним деление.

$7 : \frac{35}{24} = \frac{7}{1} \cdot \frac{24}{35} = \frac{7 \cdot 24}{35} = \frac{1 \cdot 24}{5} = \frac{24}{5}$

3. Выполним вычитание во вторых скобках. Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{9}$ в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 9.

$3\frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{28}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{28}{9} - \frac{3}{9} = \frac{28-3}{9} = \frac{25}{9}$

4. Выполним возведение в степень.

$(\frac{3}{10})^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$

5. Выполним умножение результатов действий 3 и 4.

$\frac{25}{9} \cdot \frac{9}{100} = \frac{25 \cdot 9}{9 \cdot 100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

6. Выполним сложение результатов действий 2 и 5. Приведем дроби к общему знаменателю 20.

$\frac{24}{5} + \frac{1}{4} = \frac{24 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{96}{20} + \frac{5}{20} = \frac{96+5}{20} = \frac{101}{20}$

7. Представим результат в виде смешанного числа.

$\frac{101}{20} = 5\frac{1}{20}$

Результат также можно представить в виде десятичной дроби: $5,05$.

Ответ: $5\frac{1}{20}$.

12.19 a) От мотка верёвки длиной 18 м отрезали $\frac{3}{4}$ её длины. Сколько метров верёвки осталось?

б) В две коробки разложили 10 кг конфет. В первую положили $\frac{5}{8}$ всех конфет. Сколько килограммов конфет во второй коробке?

а)

Чтобы найти, сколько метров верёвки осталось, нужно сначала определить, какая часть верёвки осталась. Вся верёвка — это 1 (целое). От неё отрезали $\frac{3}{4}$.
1. Найдём оставшуюся часть верёвки:
$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
2. Теперь найдём, сколько метров составляет $\frac{1}{4}$ от 18 метров:
$18 \cdot \frac{1}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$ (м)

Ответ: осталось 4,5 метра верёвки.

б)

Чтобы найти, сколько килограммов конфет во второй коробке, нужно определить, какая часть от общего веса конфет в неё попала. Все конфеты — это 1 (целое). В первую коробку положили $\frac{5}{8}$ всех конфет.
1. Найдём, какая часть конфет оказалась во второй коробке:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
2. Теперь найдём, сколько килограммов составляет $\frac{3}{8}$ от 10 кг:
$10 \cdot \frac{3}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$ (кг)

Ответ: во второй коробке 3,75 кг конфет.

12.20 Размеры параллелепипеда 12 см, 15 см и 24 см. Найдите объём параллелепипеда. У какой из его граней наибольшая площадь (назовите её измерения)? Чему она равна?

Совет. Возьмите в руки какую-нибудь модель параллелепипеда, например коробочку, имеющую такую форму.

Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению трёх его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$).
Дано: $a = 12$ см, $b = 15$ см, $c = 24$ см.
Формула для вычисления объёма:
$V = a \cdot b \cdot c$
Подставляем значения:
$V = 12 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 180 \text{ см}^2 \cdot 24 \text{ см} = 4320 \text{ см}^3$.
Ответ: $4320 \text{ см}^3$.

У какой из его граней наибольшая площадь (назовите её измерения)? Чему она равна?

Параллелепипед имеет 6 граней, которые образуют 3 пары равных прямоугольников. Чтобы найти грань с наибольшей площадью, нужно вычислить площади этих трёх уникальных граней, попарно перемножая измерения параллелепипеда.
1. Площадь первой пары граней ($S_1$) с измерениями 12 см и 15 см:
$S_1 = 12 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$.
2. Площадь второй пары граней ($S_2$) с измерениями 15 см и 24 см:
$S_2 = 15 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 360 \text{ см}^2$.
3. Площадь третьей пары граней ($S_3$) с измерениями 12 см и 24 см:
$S_3 = 12 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 288 \text{ см}^2$.
Сравнивая полученные площади ($180 \text{ см}^2$, $360 \text{ см}^2$ и $288 \text{ см}^2$), мы видим, что наибольшая площадь равна $360 \text{ см}^2$. Она соответствует грани, которая образована двумя самыми длинными рёбрами параллелепипеда.
Ответ: Наибольшую площадь имеет грань с измерениями 15 см и 24 см, её площадь равна $360 \text{ см}^2$.