Страница 286 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

12.25 Выберите тему из перечисленных ниже (или придумайте её самостоятельно) и проведите в классе опрос. Например, что больше нравится ребятам вашего класса:

а) из времён года — зима, весна, лето или осень;

б) из зимних видов спорта — коньки, лыжи, санки или хоккей;

в) из способов отдыха — в спортзале, с книгой, во дворе или у телевизора.

Составьте таблицу для записи мнений ваших одноклассников. Проведите опрос и заполните таблицу. Используя полученные вами данные, сделайте выводы о вкусах ваших одноклассников.

Для выполнения этого задания выберем предложенную тему и проведём гипотетический опрос в классе, в котором, предположим, 25 учеников. Тема опроса: «Какое ваше любимое время года?».

Шаг 1. Составление таблицы и проведение опроса

Для удобной записи мнений одноклассников составим таблицу с двумя столбцами: «Время года» и «Количество учеников».

После проведения опроса среди 25 учеников мы получили следующие результаты, которые занесли в таблицу:

Проверим, все ли ученики учтены, сложив количество голосов: $5 + 7 + 10 + 3 = 25$. Сумма голосов совпадает с общим количеством учеников в классе.

Шаг 2. Выводы по результатам опроса

На основе данных, представленных в таблице, можно сделать следующие выводы о вкусах одноклассников:

• Самым популярным временем года в классе является лето. Его выбрали 10 из 25 учеников, что составляет $ \frac{10}{25} = \frac{2}{5} $ или 40% всех опрошенных.
• Второе место по популярности занимает весна, за которую проголосовали 7 учеников.
• Наименее популярным временем года оказалась осень, её выбрали всего 3 ученика.
• Большинство учеников ($10 + 7 = 17$) предпочитают тёплые времена года (лето и весна), в то время как холодные времена года (зиму и осень) выбрали только $5 + 3 = 8$ учеников.

Ответ:

Был проведен опрос на тему «Любимое время года» в классе из 25 учеников. Результаты занесены в таблицу:

Выводы: Самое любимое время года у одноклассников — лето (10 голосов). Наименее любимое — осень (3 голоса). Большинство учеников (17 из 25) предпочитают тёплое время года (лето и весна).

12.26 Найдите значение выражения:

а) $\frac{5}{14} \cdot \left(\frac{3}{5} + \frac{13}{25}\right)$;

б) $1\frac{10}{11} : \frac{7}{22} - \frac{5}{22}$.

а) $\frac{5}{14} \cdot (\frac{3}{5} + \frac{13}{25})$

Решим выражение по действиям, начиная с операции в скобках.

1. Выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 25 – это 25. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:
$\frac{3}{5} + \frac{13}{25} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{13}{25} = \frac{15}{25} + \frac{13}{25} = \frac{15 + 13}{25} = \frac{28}{25}$

2. Теперь выполним умножение результата на первую дробь:
$\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{25}$

Для удобства сократим дроби перед умножением. Числитель 5 и знаменатель 25 можно сократить на 5. Числитель 28 и знаменатель 14 можно сократить на 14:
$\frac{5 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{(5:5) \cdot (28:14)}{(14:14) \cdot (25:5)} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) $\frac{10}{11} : \frac{7}{22} - \frac{5}{22}$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполним деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{10}{11} : \frac{7}{22} = \frac{10}{11} \cdot \frac{22}{7}$

Сократим 11 и 22 на 11:
$\frac{10 \cdot 22}{11 \cdot 7} = \frac{10 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{20}{7}$

2. Теперь выполним вычитание:
$\frac{20}{7} - \frac{5}{22}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Так как числа 7 и 22 взаимно простые, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $7 \cdot 22 = 154$.
Домножим первую дробь на 22, а вторую на 7:
$\frac{20 \cdot 22}{7 \cdot 22} - \frac{5 \cdot 7}{22 \cdot 7} = \frac{440}{154} - \frac{35}{154} = \frac{440 - 35}{154} = \frac{405}{154}$

Полученная дробь является неправильной и несократимой. Выделим из нее целую часть:
$405 \div 154 = 2$ и в остатке $97$ ($405 - 2 \cdot 154 = 405 - 308 = 97$).
Таким образом, $\frac{405}{154} = 2\frac{97}{154}$

Ответ: $2\frac{97}{154}$

12.27 Один насос может выкачать воду из бассейна за 6 ч, а другой – за 4 ч.

Какая часть бассейна останется наполненной водой после 1 ч их совместной работы?

Для решения задачи представим весь объём воды в бассейне как 1.

1. Определим производительность (скорость выкачивания) каждого насоса. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени.

Производительность первого насоса: так как он выкачивает весь бассейн за 6 часов, то за 1 час он выкачивает $\frac{1}{6}$ часть бассейна.

Производительность второго насоса: он выкачивает весь бассейн за 4 часа, значит, за 1 час он выкачивает $\frac{1}{4}$ часть бассейна.

2. Найдем их совместную производительность, сложив производительности каждого насоса. Это покажет, какую часть бассейна они выкачают вместе за 1 час.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 4 — это 12.

$\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Таким образом, за 1 час совместной работы насосы выкачают $\frac{5}{12}$ часть бассейна.

3. Вычислим, какая часть бассейна останется наполненной водой. Для этого из всего объёма (1) вычтем ту часть, которую выкачали.

$1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

12.28 В сумку положили $\frac{3}{4}$ кг конфет, а пряников в 2 раза больше. Чему равна масса конфет и пряников вместе? Ответ выразите в килограммах и граммах.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку.

1. Найдем массу пряников.

По условию, масса конфет составляет $ \frac{3}{4} $ кг, а пряников в 2 раза больше. Чтобы найти массу пряников, нужно массу конфет умножить на 2:

$ \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3 \times 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $ кг.

Итак, масса пряников равна $ \frac{3}{2} $ кг.

2. Найдем общую массу конфет и пряников.

Для этого сложим массу конфет и массу пряников:

$ \frac{3}{4} + \frac{3}{2} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 4:

$ \frac{3}{4} + \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{3+6}{4} = \frac{9}{4} $ кг.

Общая масса конфет и пряников составляет $ \frac{9}{4} $ кг.

3. Выразим ответ в килограммах и граммах.

Сначала представим неправильную дробь $ \frac{9}{4} $ в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$ \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} $ кг.

Это означает, что общая масса равна 2 целым килограммам и $ \frac{1}{4} $ килограмма. Теперь переведем дробную часть ($ \frac{1}{4} $ кг) в граммы, зная, что в одном килограмме 1000 граммов:

$ \frac{1}{4} \times 1000 = \frac{1000}{4} = 250 $ г.

Таким образом, общая масса конфет и пряников равна 2 кг 250 г.

Ответ: 2 кг 250 г.

12.29 Какие целочисленные размеры (в см) может иметь коробка объёмом $60 \text{ см}^3$?

Объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется как произведение трёх её измерений: длины, ширины и высоты. Обозначим эти размеры как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, все размеры являются целыми числами (в см), а объём $V$ равен 60 см³.

Таким образом, нам необходимо найти все уникальные наборы из трёх натуральных чисел ($a, b, c$), для которых выполняется равенство:
$a \cdot b \cdot c = 60$.

Чтобы систематически найти все такие наборы, сначала разложим число 60 на простые множители:
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Теперь мы должны распределить эти множители (две двойки, одну тройку и одну пятёрку) по трём переменным $a$, $b$ и $c$. Чтобы избежать повторений (например, считать наборы 2, 3, 10 и 3, 10, 2 одинаковыми), будем перечислять размеры в порядке неубывания, то есть $a \le b \le c$.

Перечислим все возможные комбинации:

• Если $a=1$, то $b \cdot c = 60$. Возможные пары для ($b, c$): (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10).
• Если $a=2$, то $b \cdot c = 30$. Учитывая, что $b \ge a$, ищем пары для ($b, c$): (2, 15), (3, 10), (5, 6).
• Если $a=3$, то $b \cdot c = 20$. Учитывая, что $b \ge a$, ищем пары для ($b, c$): (4, 5).

Если $a$ будет больше, например $a=4$, то $b \cdot c = 15$. Наименьший делитель числа 15, который больше или равен 4, отсутствует (есть 3 и 5, но $3 < 4$). Следовательно, других комбинаций нет.

Итого, все возможные наборы целочисленных размеров коробки (в см):

• 1, 1, 60
• 1, 2, 30
• 1, 3, 20
• 1, 4, 15
• 1, 5, 12
• 1, 6, 10
• 2, 2, 15
• 2, 3, 10
• 2, 5, 6
• 3, 4, 5

Ответ: Коробка может иметь следующие наборы целочисленных размеров (в см): (1, 1, 60), (1, 2, 30), (1, 3, 20), (1, 4, 15), (1, 5, 12), (1, 6, 10), (2, 2, 15), (2, 3, 10), (2, 5, 6), (3, 4, 5).

12.30 Определите объём параллелепипеда, изображённого на рисунке 12.2, двумя способами.

Первый способ

Таким образом, объем параллелепипеда можно определить как: $(3+5) \times 4 \times 5 \text{ дм}^3$

Второй способ

Или как сумму объемов двух параллелепипедов: $(3 \times 4 \times 5) + (5 \times 4 \times 5) \text{ дм}^3$

Рис. 12.2

1 способ

Данный способ предполагает нахождение объёма всего параллелепипеда как единого целого. Для этого сначала найдём его полную длину, а затем используем формулу объёма.

1. Найдём общую длину параллелепипеда. Она состоит из суммы длин двух его частей:
$l = 3 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$

2. Ширина параллелепипеда $w = 4 \text{ дм}$, а высота $h = 5 \text{ дм}$.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$.

4. Подставим найденные значения в формулу:
$V = 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 160 \text{ дм}^3$

Ответ: 160 дм³.

2 способ

Данный способ заключается в вычислении объёмов двух меньших параллелепипедов, из которых состоит большая фигура, и последующем сложении этих объёмов.

1. Вычислим объём первого (левого) параллелепипеда ($V_1$). Его размеры: длина $l_1 = 3 \text{ дм}$, ширина $w = 4 \text{ дм}$, высота $h = 5 \text{ дм}$.
$V_1 = 3 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 60 \text{ дм}^3$

2. Вычислим объём второго (правого) параллелепипеда ($V_2$). Его размеры: длина $l_2 = 5 \text{ дм}$, ширина $w = 4 \text{ дм}$, высота $h = 5 \text{ дм}$.
$V_2 = 5 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^3$

3. Общий объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей:
$V = V_1 + V_2 = 60 \text{ дм}^3 + 100 \text{ дм}^3 = 160 \text{ дм}^3$

Ответ: 160 дм³.

12.31 1) Верно ли, что:

а) из двух приближённых равенств $0,634 \approx 0,63$ и $0,634 \approx 0,64$ первое точнее;

б) если в одной морской миле $1,852$ км, то она примерно равна $2$ км?

2) Округлите до сотых числа: $25,068$; $6,252$; $0,035$; $1,2983$.

1)

а) Чтобы определить, какое из приближённых равенств точнее, нужно найти абсолютную погрешность (ошибку) для каждого случая. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и приближённым значением. Чем меньше абсолютная погрешность, тем точнее приближение.

Точное значение: $0,634$.

Для первого приближения $0,634 \approx 0,63$ абсолютная погрешность равна:
$|0,634 - 0,63| = |0,004| = 0,004$.

Для второго приближения $0,634 \approx 0,64$ абсолютная погрешность равна:
$|0,634 - 0,64| = |-0,006| = 0,006$.

Сравниваем полученные погрешности: $0,004 < 0,006$.
Поскольку погрешность первого приближения меньше, оно является более точным. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) В одной морской миле $1,852$ км. Чтобы проверить, можно ли считать, что она примерно равна $2$ км, нужно округлить число $1,852$ до целых (до единиц).

Согласно правилам округления, мы смотрим на цифру, следующую за разрядом, до которого округляем. В данном случае это разряд десятых, где стоит цифра $8$.
Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде единиц нужно увеличить на $1$.
$1 + 1 = 2$.

Таким образом, $1,852 \approx 2$. Утверждение верно.

Ответ: да, верно.

2) Чтобы округлить десятичную дробь до сотых, нужно оставить две цифры после запятой, отбросив все последующие. Если первая из отбрасываемых цифр (цифра в разряде тысячных) равна $5, 6, 7, 8$ или $9$, то последнюю из оставшихся цифр (цифру в разряде сотых) увеличивают на единицу.

• $25,068$: цифра в разряде тысячных — $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых ($6$) на единицу: $25,068 \approx 25,07$.
• $6,252$: цифра в разряде тысячных — $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде сотых ($5$) оставляем без изменений: $6,252 \approx 6,25$.
• $0,035$: цифра в разряде тысячных — $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых ($3$) на единицу: $0,035 \approx 0,04$.
• $1,2983$: цифра в разряде тысячных — $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых ($9$) на единицу. Получаем $10$, поэтому в разряде сотых пишем $0$, а к разряду десятых прибавляем $1$: $2+1=3$. В результате получаем: $1,2983 \approx 1,30$.

Ответ: $25,07$; $6,25$; $0,04$; $1,30$.