Номер 12.29, страница 286 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

12.3. Опрос общественного мнения. Глава 12. Таблицы и диаграммы - номер 12.29, страница 286.

12.29 Какие целочисленные размеры (в см) может иметь коробка объёмом $60 \text{ см}^3$?

Объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется как произведение трёх её измерений: длины, ширины и высоты. Обозначим эти размеры как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, все размеры являются целыми числами (в см), а объём $V$ равен 60 см³.

Таким образом, нам необходимо найти все уникальные наборы из трёх натуральных чисел ($a, b, c$), для которых выполняется равенство:
$a \cdot b \cdot c = 60$.

Чтобы систематически найти все такие наборы, сначала разложим число 60 на простые множители:
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Теперь мы должны распределить эти множители (две двойки, одну тройку и одну пятёрку) по трём переменным $a$, $b$ и $c$. Чтобы избежать повторений (например, считать наборы 2, 3, 10 и 3, 10, 2 одинаковыми), будем перечислять размеры в порядке неубывания, то есть $a \le b \le c$.

Перечислим все возможные комбинации:

• Если $a=1$, то $b \cdot c = 60$. Возможные пары для ($b, c$): (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10).
• Если $a=2$, то $b \cdot c = 30$. Учитывая, что $b \ge a$, ищем пары для ($b, c$): (2, 15), (3, 10), (5, 6).
• Если $a=3$, то $b \cdot c = 20$. Учитывая, что $b \ge a$, ищем пары для ($b, c$): (4, 5).

Если $a$ будет больше, например $a=4$, то $b \cdot c = 15$. Наименьший делитель числа 15, который больше или равен 4, отсутствует (есть 3 и 5, но $3 < 4$). Следовательно, других комбинаций нет.

Итого, все возможные наборы целочисленных размеров коробки (в см):

• 1, 1, 60
• 1, 2, 30
• 1, 3, 20
• 1, 4, 15
• 1, 5, 12
• 1, 6, 10
• 2, 2, 15
• 2, 3, 10
• 2, 5, 6
• 3, 4, 5

Ответ: Коробка может иметь следующие наборы целочисленных размеров (в см): (1, 1, 60), (1, 2, 30), (1, 3, 20), (1, 4, 15), (1, 5, 12), (1, 6, 10), (2, 2, 15), (2, 3, 10), (2, 5, 6), (3, 4, 5).