Страница 275 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

12.6 Пятиклассники принесли в школу книги для подарка первоклассникам. Каждый записал на доске количество сданных им книг. Получилась следующая запись: 5, 2, 3, 6, 2, 5, 7, 6, 2, 3, 5, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 2. Для анализа полученных данных их представили в виде таблицы.

Перечертите в тетрадь таблицу и заполните её, используя данные из условия задачи. Сколько всего книг собрали пятиклассники?

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать предоставленный ряд данных. Это количество книг, сданных каждым учеником: 5, 2, 3, 6, 2, 5, 7, 6, 2, 3, 5, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 2.

1. Сначала посчитаем, сколько раз каждое число встречается в ряду, чтобы определить "Число учащихся" для каждой строки таблицы.

• Число 2 встречается 6 раз.
• Число 3 встречается 5 раз.
• Число 4 не встречается (0 раз).
• Число 5 встречается 5 раз.
• Число 6 встречается 4 раза.
• Число 7 встречается 1 раз.

2. Теперь мы можем заполнить всю таблицу. В столбце "Подсчёт" используются специальные значки для наглядности. В столбце "Итого" вычисляется произведение количества книг на число учащихся.

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Чтобы найти общее количество собранных книг, нужно сложить все значения из столбца "Итого". Эта сумма уже вычислена в последней строке таблицы ("Всего").

Сложение итоговых значений по каждой группе:

$12 + 15 + 0 + 25 + 24 + 7 = 83$

Таким образом, пятиклассники собрали 83 книги.

Ответ: 83.

12.7 В таблице указано число шайб, заброшенных и пропущенных каждой из трёх команд, игравших в турнире.

Запись 3 : 2 на пересечении строки «Марс» и столбца «Метеор» означает, что команда «Марс» забросила 3 шайбы и пропустила 2 шайбы.

Перечертите таблицу в тетрадь, заполните свободные клетки и ответьте на вопросы:

1) Сколько шайб забросила «Ракета» в матче с «Метеором»? Сколько пропустила?

2) Сколько всего шайб забросила «Ракета» в этом турнире?

3) Какая из команд забросила в турнире больше всех шайб?

4) Какая команда пропустила больше всех шайб?

5) Сколько всего игр было сыграно в турнире?

Для решения задачи сначала необходимо понять, как устроена таблица, и заполнить пустые ячейки. Запись A : B на пересечении строки «Команда 1» и столбца «Команда 2» означает, что в их матче «Команда 1» забросила A шайб, а «Команда 2» забросила B шайб. Таким образом, результат в ячейке на пересечении строки «Команда 2» и столбца «Команда 1» будет обратным, то есть B : A.

Исходя из этого, заполним недостающие данные в таблице:
• Матч «Метеор» – «Ракета» закончился со счетом 5:1. Следовательно, матч «Ракета» – «Метеор» закончился со счетом 1:5.
• Матч «Ракета» – «Марс» закончился со счетом 3:1. Следовательно, матч «Марс» – «Ракета» закончился со счетом 1:3.
• Матч «Марс» – «Метеор» закончился со счетом 3:2. Следовательно, матч «Метеор» – «Марс» закончился со счетом 2:3.
Теперь, имея полные данные, ответим на вопросы.

1) Сколько шайб забросила «Ракета» в матче с «Метеором»? Сколько пропустила?
Результат матча «Ракета» – «Метеор» находится в ячейке на пересечении строки «Ракета» и столбца «Метеор». Как мы определили выше, этот результат — 1:5. Это означает, что «Ракета» забросила 1 шайбу, а «Метеор» забросил 5 шайб. Таким образом, «Ракета» пропустила 5 шайб.
Ответ: «Ракета» забросила 1 шайбу и пропустила 5 шайб.

2) Сколько всего шайб забросила «Ракета» в этом турнире?
Команда «Ракета» сыграла два матча: с «Метеором» и с «Марсом».
• В матче с «Метеором» «Ракета» забросила 1 шайбу.
• В матче с «Марсом» (строка «Ракета», столбец «Марс») «Ракета» забросила 3 шайбы.
Чтобы найти общее количество, сложим эти значения: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4 шайбы.

3) Какая из команд забросила в турнире больше всех шайб?
Чтобы ответить на этот вопрос, посчитаем общее количество шайб, заброшенных каждой командой.
• «Метеор»: в матче с «Ракетой» забросил 5 шайб, в матче с «Марсом» – 2 шайбы. Всего: $5 + 2 = 7$ шайб.
• «Ракета»: в матче с «Метеором» забросила 1 шайбу, в матче с «Марсом» – 3 шайбы. Всего: $1 + 3 = 4$ шайбы.
• «Марс»: в матче с «Метеором» забросил 3 шайбы, в матче с «Ракетой» – 1 шайбу. Всего: $3 + 1 = 4$ шайбы.
Сравнивая результаты ($7 > 4$), видим, что больше всех шайб забросила команда «Метеор».
Ответ: «Метеор».

4) Какая команда пропустила больше всех шайб?
Теперь посчитаем общее количество шайб, пропущенных каждой командой.
• «Метеор»: в матче с «Ракетой» пропустил 1 шайбу, в матче с «Марсом» – 3 шайбы. Всего: $1 + 3 = 4$ шайбы.
• «Ракета»: в матче с «Метеором» пропустила 5 шайб, в матче с «Марсом» – 1 шайбу. Всего: $5 + 1 = 6$ шайб.
• «Марс»: в матче с «Метеором» пропустил 2 шайбы, в матче с «Ракетой» – 3 шайбы. Всего: $2 + 3 = 5$ шайб.
Сравнивая результаты ($6 > 5 > 4$), видим, что больше всех шайб пропустила команда «Ракета».
Ответ: «Ракета».

5) Сколько всего игр было сыграно в турнире?
В турнире участвовали три команды, и каждая играла с каждой по одному разу. Были сыграны следующие матчи:
1. «Метеор» – «Ракета»
2. «Метеор» – «Марс»
3. «Ракета» – «Марс»
Всего было сыграно 3 игры. Это можно также рассчитать по формуле сочетаний для $n=3$ команд, играющих парами ($k=2$): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \implies C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$.
Ответ: 3 игры.