Страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею распознавать многогранники, знаю их элементы, умею описывать многогранник по его модели и по изображению.

1. Возьмите модель многогранника и определите число его вершин. Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра. Сколько у многогранника граней? Какую форму они имеют?

Поскольку в задании требуется взять модель многогранника, в качестве примера для выполнения задания рассмотрим одну из самых известных моделей – куб (правильный гексаэдр).

Определите число его вершин.
Вершины многогранника – это его угловые точки, в которых сходятся рёбра. У куба можно посчитать 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем основании.
$4 + 4 = 8$
Ответ: у куба 8 вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер?
Рёбра – это отрезки, соединяющие вершины многогранника. У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем основании и 4 боковых ребра, которые соединяют верхнее и нижнее основания.
$4 + 4 + 4 = 12$
Ответ: у куба 12 рёбер.

Измерьте и запишите длину каждого ребра.
Для этого пункта необходимо использовать линейку и физическую модель куба. Важной особенностью куба является то, что все его рёбра равны. Поэтому достаточно измерить длину одного любого ребра. Предположим, что при измерении мы получили значение 5 см.
Ответ: длина каждого из 12 рёбер равна 5 см (или любому другому значению $a$, которое будет получено при измерении).

Сколько у многогранника граней? Какую форму они имеют?
Грани – это плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. У куба есть верхняя и нижняя грани, а также 4 боковые грани (передняя, задняя, левая и правая).
$1 + 1 + 4 = 6$
Все грани куба являются квадратами, так как все рёбра куба равны, а углы между ними прямые.
Ответ: у куба 6 граней, и все они имеют форму квадрата.

2. Выпишите все видимые грани многогранника. Сколько рёбер сходится в вершине A?

Видимые грани: $ABCD$, $ADKE$

Количество рёбер, сходящихся в вершине A: 3 (рёбра $AB$, $AD$, $AE$)

Выпишите все видимые грани многогранника.
Видимыми гранями многогранника на чертеже являются те, которые полностью очерчены сплошными линиями. Это грани, которые не загорожены другими частями фигуры при взгляде с данного ракурса. Проанализировав рисунок, можно выделить следующие видимые грани:
- Передняя четырехугольная грань $ABCD$.
- Верхняя треугольная грань $BCK$.
- Правая боковая треугольная грань $CDK$.
Ответ: $ABCD$, $BCK$, $CDK$.

Сколько рёбер сходится в вершине А?
Чтобы определить количество рёбер, сходящихся в вершине $A$, необходимо найти эту вершину на чертеже и посчитать все отрезки (рёбра), которые из неё исходят. При этом нужно учитывать как видимые рёбра (изображённые сплошными линиями), так и невидимые (изображённые штриховыми линиями).
Из вершины $A$ выходят три ребра:
1. Ребро $AB$ (видимое).
2. Ребро $AD$ (видимое).
3. Ребро $AE$ (невидимое).
Таким образом, в вершине $A$ сходится 3 ребра.
Ответ: 3.

Умею различать параллелепипед, знаю его свойства.

3. Известны длины рёбер параллелепипеда: $AB = 2$ см $5$ мм, $AD = 2$ см, $AK = 4$ см.

а) В параллелепипеде противолежащие грани являются равными параллелограммами, а противолежащие рёбра равны по длине и параллельны. Исходя из изображения, можно определить следующую структуру параллелепипеда: `ADLK` — нижняя грань, `BCNM` — верхняя грань.
- Противолежащие грани `ADLK` и `BCNM` равны. Следовательно, их соответствующие стороны равны: $|KL| = |AD|$ и $|DL| = |AK|$.
- Рёбра `AB`, `DC`, `KN` и `LM` соединяют соответствующие вершины нижней и верхней граней. Эти рёбра параллельны и равны между собой. Следовательно, $|CD| = |AB|$.

По условию задачи известны длины рёбер: $|AB| = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $|AD| = 2 \text{ см}$, $|AK| = 4 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти длины искомых рёбер:
- Длина ребра `CD` равна длине ребра `AB`, так как это противолежащие рёбра.
$|CD| = |AB| = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
- Длина ребра `DL` равна длине ребра `AK`, так как это противолежащие стороны грани `ADLK`.
$|DL| = |AK| = 4 \text{ см}$.
- Длина ребра `KL` равна длине ребра `AD`, так как это противолежащие стороны грани `ADLK`.
$|KL| = |AD| = 2 \text{ см}$.

Ответ: `CD = 2` см `5` мм, `DL = 4` см, `KL = 2` см.

б) Грань `BMNC` — это верхняя грань параллелепипеда, которая является параллелограммом. В школьных задачах, если не оговорено иное, параллелепипед чаще всего является прямоугольным. В этом случае все его грани — прямоугольники. Будем исходить из этого предположения.
Грань `BMNC` противолежит грани `ADLK` и, следовательно, равна ей. Стороны грани `BMNC` — это рёбра `BM`, `MN`, `NC` и `CB`.
- Длина ребра `BM` равна длине ребра `AK`: $|BM| = |AK| = 4 \text{ см}`.
- Длина ребра `BC` равна длине ребра `AD`: $|BC| = |AD| = 2 \text{ см}`.

Таким образом, грань `BMNC` в натуральную величину представляет собой прямоугольник со сторонами `2` см и `4` см. Ниже приведён чертёж этой грани.


Ответ: Грань `BMNC` — это прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см.

4. Найдите площадь наибольшей грани параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см, 5 см.

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками. Грани попарно равны. Всего существует три уникальных размера граней, площади которых определяются парами измерений параллелепипеда.

Даны измерения параллелепипеда: 3 см, 4 см и 5 см.

Чтобы найти площадь наибольшей грани, нужно найти площади всех трех уникальных граней и выбрать из них наибольшую. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны.

1. Найдем площадь грани со сторонами 3 см и 4 см:
$S_1 = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь грани со сторонами 3 см и 5 см:
$S_2 = 3 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$

3. Найдем площадь грани со сторонами 4 см и 5 см:
$S_3 = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Теперь сравним полученные площади: $12 \text{ см}^2$, $15 \text{ см}^2$ и $20 \text{ см}^2$.

Наибольшее значение — $20 \text{ см}^2$. Следовательно, площадь наибольшей грани параллелепипеда равна $20 \text{ см}^2$.

Ответ: $20 \text{ см}^2$.

5. Вычислите площадь поверхности куба с ребром 10 см.

Чтобы найти площадь поверхности куба, сначала нужно вычислить площадь одной его грани. Грань куба — это квадрат.

Длина ребра куба (стороны квадрата) по условию равна $a = 10$ см.

Площадь одной грани ($S_{грани}$) вычисляется по формуле площади квадрата:

$S_{грани} = a^2$

Подставим значение длины ребра:

$S_{грани} = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$

У куба 6 одинаковых граней. Чтобы найти общую площадь поверхности куба ($S_{куба}$), нужно площадь одной грани умножить на количество граней:

$S_{куба} = 6 \cdot S_{грани}$

Выполним вычисление:

$S_{куба} = 6 \cdot 100 \text{ см}^2 = 600 \text{ см}^2$

Ответ: $600 \text{ см}^2$.

Умею изображать на клетчатой бумаге параллелепипед и пирамиду.

6. Начертите:

а) куб;

б) треугольную пирамиду.

а) куб

Куб — это объемная фигура, у которой все шесть граней являются равными квадратами. Чтобы начертить куб на клетчатой бумаге, необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертите квадрат. Это будет передняя, видимая грань куба. Например, можно взять квадрат со стороной в 4 клетки.
2. Из каждой вершины нарисованного квадрата проведите одинаковые параллельные отрезки, направленные в одну сторону (например, вверх и вправо). На клетчатой бумаге для удобства можно отступить от каждой вершины на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх и поставить точку.
3. Соедините полученные точки между собой. У вас получится второй такой же квадрат — задняя грань куба.
4. Ребра, которые не видны наблюдателю (как правило, это три ребра: дальнее боковое, дальнее нижнее и дальнее вертикальное), изобразите пунктирными линиями. Остальные ребра, которые находятся на виду, оставьте сплошными.

Ответ: Для изображения куба чертят два одинаковых квадрата, смещенных друг относительно друга, а затем соединяют их соответствующие вершины, обозначая невидимые ребра пунктиром.

б) треугольную пирамиду

Треугольная пирамида — это многогранник, основанием которого является треугольник, а боковые грани — это три треугольника, имеющие общую вершину. Для ее построения на клетчатой бумаге:
1. Начертите треугольник, который будет служить основанием пирамиды. Чтобы придать изображению объем, лучше нарисовать его в перспективе (как бы "лежащим" на плоскости). Обозначим его вершины буквами, например, $A$, $B$ и $C$.
2. Выберите точку $S$ вне плоскости основания, которая будет вершиной пирамиды. Ее можно расположить на несколько клеток выше и, например, над центром основания.
3. Соедините вершину $S$ с каждой из вершин основания ($A$, $B$ и $C$). Полученные отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ будут боковыми ребрами пирамиды.
4. Определите видимые и невидимые ребра. Сторону основания, которая находится "дальше" от наблюдателя (скрыта другими гранями), следует начертить пунктирной линией. Все видимые ребра чертятся сплошной линией.

Ответ: Для изображения треугольной пирамиды чертят треугольник-основание, затем выбирают точку-вершину вне его плоскости и соединяют эту вершину с вершинами основания, обозначая невидимые ребра пунктиром.