Страница 266 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.67 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Сколько вершин, граней, рёбер у пирамиды: а) шестиугольной; б) десятиугольной; в) стоугольной?

Для определения количества вершин, граней и рёбер у n-угольной пирамиды можно вывести общие формулы. Пирамида состоит из основания (n-угольник) и боковых граней (треугольники), сходящихся в одной общей вершине (апексе).

• Вершины: У n-угольного основания есть $n$ вершин. К ним добавляется одна вершина — апекс пирамиды. Таким образом, общее количество вершин (В) равно $В = n + 1$.
• Грани: Пирамида имеет одно основание и $n$ боковых треугольных граней, по одной для каждой стороны основания. Таким образом, общее количество граней (Г) равно $Г = n + 1$.
• Рёбра: У n-угольного основания есть $n$ рёбер. Также есть $n$ боковых рёбер, которые соединяют вершины основания с апексом. Таким образом, общее количество рёбер (Р) равно $Р = n + n = 2n$.

Применим эти формулы для каждого случая.

а) шестиугольной

Для шестиугольной пирамиды основанием является шестиугольник, поэтому $n=6$.

Количество вершин: $В = 6 + 1 = 7$.

Количество граней: $Г = 6 + 1 = 7$.

Количество рёбер: $Р = 2 \times 6 = 12$.

Ответ: 7 вершин, 7 граней, 12 рёбер.

б) десятиугольной

Для десятиугольной пирамиды основанием является десятиугольник, поэтому $n=10$.

Количество вершин: $В = 10 + 1 = 11$.

Количество граней: $Г = 10 + 1 = 11$.

Количество рёбер: $Р = 2 \times 10 = 20$.

Ответ: 11 вершин, 11 граней, 20 рёбер.

в) стоугольной

Для стоугольной пирамиды основанием является стоугольник, поэтому $n=100$.

Количество вершин: $В = 100 + 1 = 101$.

Количество граней: $Г = 100 + 1 = 101$.

Количество рёбер: $Р = 2 \times 100 = 200$.

Ответ: 101 вершина, 101 грань, 200 рёбер.

11.68 Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все рёбра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки?

Для того чтобы найти общую длину проволоки, необходимой для изготовления каркасной модели треугольной пирамиды, нужно определить общее количество рёбер у пирамиды и умножить это число на длину одного ребра.

Треугольная пирамида состоит из основания (треугольника) и трёх боковых граней (треугольников), сходящихся в одной вершине.

Подсчитаем количество рёбер:
1. Рёбра в основании: у треугольника в основании 3 ребра.
2. Боковые рёбра: от каждой из трёх вершин основания к вершине пирамиды идёт по одному ребру, то есть ещё 3 боковых ребра.

Таким образом, общее количество рёбер у треугольной пирамиды составляет:
$3 + 3 = 6$ рёбер.

По условию задачи, длина каждого ребра равна 7 см. Чтобы найти общую длину проволоки, умножим количество рёбер на их длину:
$L = 6 \times 7 \text{ см} = 42 \text{ см}$

Ответ: потребуется 42 см проволоки.

МОДЕЛИРУЕМ (11.69–11.70)

11.69 Развёртка какого многогранника изображена на рисунке 11.46?

Указание. Проверьте себя: перенесите этот рисунок на лист бумаги, вы-режьте развёртку и сложите её в многогранник.

Рис. 11.46

Представленная на рисунке фигура является развёрткой многогранника. Проанализируем её составные части, чтобы определить, что это за многогранник.

Развёртка состоит из пяти граней:

• Одна центральная грань, которая является квадратом со стороной, равной 4 клеткам. При сборке многогранника эта фигура станет его основанием.
• Четыре боковые грани, каждая из которых представляет собой равнобедренный треугольник. Основание каждого треугольника совпадает со стороной квадрата и равно 4 клеткам. Высота каждого треугольника, проведённая к основанию, равна 3 клеткам.

При сгибании развёртки по линиям, являющимся сторонами центрального квадрата, четыре треугольные грани поднимутся и соединятся своими боковыми сторонами. Их вершины сойдутся в одной общей точке, которая будет вершиной многогранника, расположенной над центром основания.

Многогранник, у которого одна грань (основание) является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Поскольку в основании данной пирамиды лежит квадрат (правильный четырёхугольник), а все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники (что означает, что вершина проецируется в центр основания), то это правильная четырёхугольная пирамида.

Ответ: На рисунке изображена развёртка правильной четырёхугольной пирамиды.

11.70 Являются ли развёртками треугольной пирамиды многоугольники, изображённые на рисунке 11.47?

Подсказка. Скопируйте их на лист бумаги и проверьте.

Рис. 11.47

Чтобы определить, является ли многоугольник развёрткой треугольной пирамиды, необходимо проверить, можно ли из него сложить объёмную фигуру с четырьмя треугольными гранями, шестью рёбрами и четырьмя вершинами. Развёртка треугольной пирамиды должна состоять ровно из четырёх треугольников.

1. Данная фигура состоит из четырёх треугольников. Если принять центральный треугольник за основание пирамиды, а три остальных треугольника согнуть вверх по общим сторонам, то их вершины сойдутся в одной точке, образовав вершину пирамиды. Эта фигура является классической развёрткой правильного тетраэдра.

Ответ: да.

2. Эта фигура также состоит из четырёх треугольников, выстроенных в полосу. Её тоже можно свернуть в треугольную пирамиду. Если взять второй треугольник (считая слева) за основание, то первый и третий треугольники станут двумя боковыми гранями. Четвёртый треугольник, примыкающий к третьему, станет третьей боковой гранью, которая соединится с первой гранью, завершая построение пирамиды.

Ответ: да.

3. Данная фигура состоит из пяти треугольников. Треугольная пирамида — это многогранник, у которого 4 грани. Следовательно, её развёртка должна состоять из 4 треугольников. Поскольку в данной фигуре 5 треугольников, она не может являться развёрткой треугольной пирамиды. Из неё нельзя сложить фигуру с четырьмя гранями.

Ответ: нет.

11.71 НАБЛЮДАЕМ. На каркас пирамиды напаяна проволока так, как показано на рисунке 11.48, а. Какие грани пирамиды изображены на рисунке 11.48, б?

а) $M$, $A$, $B$, $C$, $D$, $K$, $E$

б) $1$, $2$, $3$

Рис. 11.48

Для того чтобы определить, какие грани пирамиды изображены на рисунке 11.48, б, необходимо сопоставить цвета ребер каждой боковой грани пирамиды, показанной на рисунке 11.48, а, с цветами сторон треугольников на рисунке 11.48, б. На рисунке 11.48, а каркас пирамиды показан черным цветом, а напаянная проволока — оранжевым.

Пирамида $MABCD$ имеет четыре боковые грани. Проанализируем цвета ребер каждой из них:

• Грань $MAB$: ребро $MA$ — оранжевое, ребра $AB$ и $MB$ — черные.
• Грань $MBC$: ребра $MB$, $BC$ и $MC$ — все черные.
• Грань $MCD$: ребро $MC$ — черное, ребра $CD$ и $MD$ — оранжевые.
• Грань $MDA$: ребро $DA$ — черное, ребра $MA$ и $MD$ — оранжевые.

Теперь сопоставим эти грани с треугольниками, изображенными на рисунке 11.48, б.

1

Треугольник под номером 1 имеет все три стороны черного цвета. Этому условию соответствует грань $MBC$, у которой все три ребра ($MB$, $BC$, $MC$) являются черными.

Ответ: Грань $MBC$.

2

Треугольник под номером 2 имеет две оранжевые боковые стороны и черное основание. Этому описанию соответствует грань $MDA$, у которой боковые ребра $MA$ и $MD$ оранжевые, а ребро основания $DA$ — черное.

Ответ: Грань $MDA$.

3

Треугольник под номером 3 имеет одну черную боковую сторону, одну оранжевую боковую сторону и оранжевое основание. Этому описанию соответствует грань $MCD$. У нее боковое ребро $MC$ — черное, боковое ребро $MD$ — оранжевое, а ребро основания $CD$ — оранжевое.

Ответ: Грань $MCD$.