Страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите объём параллелепипеда, измерения которого равны:

а) 1 м, 3 м, 2 м;

б) 9 см, 7 см, 10 см.

Объём прямоугольного параллелепипеда — это произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объёма ($V$) выглядит так: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ — измерения параллелепипеда.

а)

Измерения параллелепипеда равны 1 м, 3 м и 2 м. Подставим эти значения в формулу:

$V = 1 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 6 \text{ м}^3$

Ответ: $6 \text{ м}^3$.

б)

Измерения параллелепипеда равны 9 см, 7 см и 10 см. Подставим эти значения в формулу:

$V = 9 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 63 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 630 \text{ см}^3$

Ответ: $630 \text{ см}^3$.

Найдите объём куба с ребром 4 дм.

Объём куба вычисляется по формуле, где длина ребра возводится в третью степень (в куб).

Формула для нахождения объёма куба ($V$) с ребром ($a$):

$V = a^3$

По условию задачи, длина ребра куба $a = 4$ дм.

Подставим значение длины ребра в формулу и произведём вычисление:

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ дм³

Следовательно, объём куба равен 64 кубическим дециметрам.

Ответ: 64 дм³

Какая из коробок вместительнее: с измерениями $8 \text{ см}, 10 \text{ см}, 12 \text{ см}$ или $10 \text{ см}, 10 \text{ см}, 10 \text{ см}$?

Чтобы определить, какая из коробок вместительнее, необходимо найти и сравнить их объёмы. Вместительность — это и есть объём. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — его измерения (длина, ширина и высота).

1. Вычислим объём первой коробки ($V_1$) с измерениями 8 см, 10 см и 12 см:

$V_1 = 8 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 80 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см} = 960 \text{ см}^3$

2. Вычислим объём второй коробки ($V_2$), которая имеет форму куба с измерениями 10 см, 10 см и 10 см:

$V_2 = 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$

3. Сравним полученные объёмы:

$1000 \text{ см}^3 > 960 \text{ см}^3$

Поскольку объём второй коробки больше объёма первой, она является более вместительной.

Ответ: вместительнее коробка с измерениями 10 см, 10 см, 10 см.

11.41 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Тела сложены из одинаковых кубиков (рис. 11.34); объем одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.). Верны ли утверждения?

Рис. 11.34

1) Объём зелёного тела равен 9 куб. ед.

2) Объём красного тела равен объёму жёлтого тела.

3) Если сложить параллелепипед из жёлтых и синих кубиков, то его объём будет равен 20 куб. ед.

4) Объём параллелепипеда, сложенного из красных и синих кубиков, равен объёму параллелепипеда, сложенного из жёлтых и зелёных кубиков.

Для того чтобы проверить верность утверждений, сначала найдём объём каждого тела, посчитав количество кубиков, из которых оно состоит. По условию, объём одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.).

• Жёлтое тело: это куб со стороной 2, состоящий из $2 \times 2 \times 2 = 8$ кубиков. Его объём $V_ж = 8$ куб. ед.
• Зелёное тело: состоит из нижнего блока $2 \times 2 \times 2 = 8$ кубиков и одного кубика сверху. Его объём $V_з = 8 + 1 = 9$ куб. ед.
• Красное (розовое) тело: можно посчитать кубики поштучно. Оно состоит из 5 кубиков. Его объём $V_к = 5$ куб. ед.
• Синее тело: это параллелепипед, состоящий из $3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков. Его объём $V_с = 12$ куб. ед.

Теперь проанализируем каждое утверждение.

1) Объём зелёного тела равен 9 куб. ед.
Мы посчитали, что зелёное тело состоит из 9 кубиков. Следовательно, его объём равен $9$ куб. ед. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) Объём красного тела равен объёму жёлтого тела.
Объём красного тела $V_к = 5$ куб. ед., а объём жёлтого тела $V_ж = 8$ куб. ед. Сравнивая их, получаем $5 \neq 8$. Объёмы не равны. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) Если сложить параллелепипед из жёлтых и синих кубиков, то его объём будет равен 20 куб. ед.
Объём фигуры, составленной из нескольких частей, равен сумме объёмов этих частей. Найдём суммарный объём жёлтых и синих кубиков: $V_{ж+с} = V_ж + V_с = 8 + 12 = 20$ куб. ед. Объём полученного параллелепипеда будет равен 20 куб. ед. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

4) Объём параллелепипеда, сложенного из красных и синих кубиков, равен объёму параллелепипеда, сложенного из жёлтых и зелёных кубиков.
Сначала найдём объём параллелепипеда, сложенного из красных и синих кубиков: $V_{к+с} = V_к + V_с = 5 + 12 = 17$ куб. ед.
Затем найдём объём параллелепипеда, сложенного из жёлтых и зелёных кубиков: $V_{ж+з} = V_ж + V_з = 8 + 9 = 17$ куб. ед.
Сравниваем полученные объёмы: $17 = 17$. Объёмы равны. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

11.42 1) Коробку заполняют кубиками с ребром, равным единице длины (рис. 11.35). Сколько кубиков в неё войдёт в коробку? Каков её объём?

2) Кубики с ребром 1 дм укладывают в коробку, имеющую размеры 4 дм, 2 дм, 3 дм. Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков объём коробки?

Рис. 11.35

1) Для решения задачи определим размеры коробки, основываясь на количестве единичных кубиков, которые можно уложить вдоль её рёбер (рис. 11.35).

• Вдоль длины укладывается 3 кубика.
• Вдоль ширины укладывается 2 кубика.
• Вдоль высоты укладывается 2 кубика.

Таким образом, размеры коробки составляют 3, 2 и 2 единицы длины.

Чтобы найти, сколько всего кубиков войдёт в коробку, необходимо перемножить её размеры в единицах:

$3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков.

Объём коробки равен произведению её длины, ширины и высоты. Так как ребро одного кубика равно единице длины, его объём равен $1^3 = 1$ кубической единице. Поскольку в коробку помещается 12 таких кубиков, её объём равен 12 кубическим единицам.

$V = 3 \times 2 \times 2 = 12$ (кубических единиц).

Ответ: в коробку войдёт 12 кубиков; её объём равен 12 кубическим единицам.

2) Даны размеры коробки: 4 дм, 2 дм, 3 дм. Ребро кубика равно 1 дм.

Чтобы определить, сколько кубиков войдёт в коробку, нужно найти объём коробки и разделить его на объём одного кубика. Либо, что то же самое, перемножить количество кубиков, помещающихся вдоль каждого измерения.

Количество кубиков, помещающихся по длине: $4 \text{ дм} \div 1 \text{ дм} = 4$.

Количество кубиков, помещающихся по ширине: $2 \text{ дм} \div 1 \text{ дм} = 2$.

Количество кубиков, помещающихся по высоте: $3 \text{ дм} \div 1 \text{ дм} = 3$.

Общее количество кубиков, которое войдёт в коробку, равно произведению этих значений:

$4 \times 2 \times 3 = 24$ кубика.

Объём коробки вычисляется как произведение её длины, ширины и высоты:

$V = 4 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^3$.

Ответ: в коробку войдёт 24 кубика; объём коробки равен $24 \text{ дм}^3$.