Страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 11.26

11.33 Почему фигуры, изображённые на рисунке 11.26, не могут быть развёртками куба?

Развёртка куба — это плоская фигура, состоящая из шести квадратов, соединённых сторонами так, что из неё можно сложить куб. Основное требование к развёртке куба — она должна состоять ровно из 6 квадратов, соответствующих 6 граням куба. Рассмотрим каждую фигуру отдельно.

1
Данная фигура состоит из 5 квадратов. Поскольку у куба 6 граней, для его развёртки необходимо 6 квадратов. Этой фигуре не хватает одного квадрата, чтобы можно было сложить замкнутую поверхность куба.
Ответ: фигура состоит из 5 квадратов, а не из 6.

2
Эта фигура состоит из 6 квадратов, что соответствует числу граней куба. Однако, если мысленно начать сворачивать эту фигуру, то боковые грани образуют незамкнутую трубу из четырех квадратов, а две крайние грани (первая и шестая) будут претендовать на одно и то же место (например, верхняя грань куба). В результате одна пара граней наложится друг на друга, а другая пара противолежащих граней (например, верхняя и нижняя) будет отсутствовать — одна грань будет покрыта дважды, а одна останется открытой.
Ответ: при сворачивании фигуры две грани наложатся друг на друга, а одна грань останется непокрытой.

3
Данная фигура состоит из 7 квадратов. Это больше, чем количество граней у куба. При попытке сложить из неё куб как минимум один квадрат окажется лишним и будет накладываться на другую грань.
Ответ: фигура состоит из 7 квадратов, а не из 6.

4
Данная фигура, как и первая, состоит из 5 квадратов. Этого количества недостаточно, чтобы покрыть все 6 граней куба. При сворачивании одна из граней останется открытой.
Ответ: фигура состоит из 5 квадратов, а не из 6.

11.34 Мысленно сверните куб из развёртки на рисунке 11.27, а–г и определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань нижняя.

а) А, Б, В, Г, Д

б) А, Б, В, Г, Д

в) А, Б, В, Г, Д

г) А, Б, В, Г, Д

Рис. 11.27

а) В данной развёртке куба грани расположены в виде вертикальной полосы из четырёх квадратов (А, закрашенная, Г, Д) и двух боковых граней (Б, В). В прямой полосе из четырёх граней вторая грань (закрашенная) будет противоположна четвёртой грани (Д), а первая (А) — третьей (Г). Таким образом, если закрашенная грань является нижней, то противоположная ей грань Д будет верхней.
Ответ: Д

б) Данная развёртка является некорректной, так как при сворачивании грани В и Д наложатся друг на друга. Однако, если предположить, что в задаче используется упрощённое правило для определения противоположных граней в вертикальной полосе А–Б–закрашенная–Г, то первая грань (А) будет противоположна третьей (закрашенной). Следуя этой логике, если закрашенная грань — нижняя, то грань А будет верхней.
Ответ: А

в) Чтобы определить грань, противоположную закрашенной, проанализируем смежные грани. У закрашенной грани и грани А есть две общие смежные грани — В и Б. В кубе такое возможно только для противоположных граней (например, у верхней и нижней грани общими смежными будут все четыре боковые грани). Проверим эту гипотезу. Если закрашенная грань — нижняя, а А — верхняя, то В и Б могут быть, например, передней и правой боковыми гранями. Тогда грань Г, смежная с В (передней), станет левой боковой гранью. А грань Д, смежная с Г (левой), — задней. Такая сборка куба возможна и непротиворечива. Следовательно, грань А противоположна закрашенной.
Ответ: А

г) Для определения противоположной грани воспользуемся методом мысленной сборки. Пусть закрашенная грань будет нижней.
1. Грань Д, примыкающая к ней, станет одной из боковых стенок, например, передней.
2. Грань Г, примыкающая к Д, станет другой боковой стенкой, например, правой.
3. Грань В, примыкающая к Г, станет верхней гранью.
4. Грани А и Б, примыкающие к В и Г, займут оставшиеся боковые позиции — заднюю и левую.
При такой сборке все грани занимают свои места без наложений, а верхней гранью, противоположной нижней (закрашенной), оказывается грань В.
Ответ: В

11.35 Все кубики, из которых сложен многогранник (рис. 11.28, а), одинаковы. Перечертите в тетрадь развёртку кубика (рис. 11.28, б) и нанесите на неё недостающие буквы.

a) б) Рис. 11.28

Для того чтобы правильно нанести недостающие буквы на развёртку кубика, необходимо сначала определить взаимное расположение его граней. Проанализируем изображение многогранника (рис. 11.28, а), который составлен из одинаковых кубиков.

Из различных кубиков на рисунке можно установить следующие факты о смежности граней:

1. На левом верхнем кубике видно, что грани с буквами Д, Г и В имеют общую вершину. Это означает, что эти три грани попарно смежны друг с другом.
2. На левом нижнем кубике показано, что грани с буквами В и А являются смежными.
3. На нижнем кубике в центре видно, что грани с буквами А и Е также смежны.

Теперь воспользуемся этими данными для заполнения развёртки (рис. 11.28, б). Примем грань с буквой Д, которая уже нанесена, за переднюю грань куба. В стандартной развёртке-кресте, если центральная грань — передняя, то грань над ней — верхняя, под ней — нижняя, слева — левая, справа — правая, а самая нижняя грань (которая примыкает к нижней) — задняя.

Исходя из факта №1, грани Д, Г и В должны сходиться в одной вершине. Разместим их на развёртке соответствующим образом. Пусть верхняя грань будет Г, а левая — В. При складывании развёртки грани Д (передняя), Г (верхняя) и В (левая) действительно сойдутся в одной вершине.

Согласно факту №2, грань А смежна с гранью В. В нашей модели грань В — левая. С ней смежны передняя (Д), верхняя (Г), нижняя и задняя грани. Следовательно, грань А может быть либо нижней, либо задней.

Согласно факту №3, грань А смежна с гранью Е. Рассмотрим два варианта:

• Если А — нижняя грань, то с ней смежны передняя (Д), левая (В), правая и задняя грани. Значит, Е может быть правой или задней. Проверим эту конфигурацию с помощью нижнего центрального кубика (верх — А, перед — Е). Если мы мысленно соберём наш куб и перевернём его так, чтобы нижняя грань А стала верхней, то передней гранью окажется бывшая задняя. Следовательно, задняя грань — это Е. Эта модель полностью согласуется со всеми условиями.
• Если предположить, что А — задняя грань, то при проверке это приведёт к неверной (зеркальной) ориентации граней по сравнению с кубиками на рисунке.

Таким образом, мы установили расположение пяти граней: передняя — Д, верхняя — Г, левая — В, нижняя — А, задняя — Е. Противоположными гранями являются пары (Д, Е) и (Г, А).

Осталась одна незаполненная грань — правая. Она будет противоположна левой грани (В). На рисунке мы видим буквы А, В, Г, Д, Е. Поскольку в русском алфавите между буквами А и В пропущена буква Б, логично предположить, что именно она находится на шестой грани.

Ответ:
На развёртке кубика буквы должны быть расположены следующим образом:
- Над гранью с буквой Д должна находиться грань с буквой Г.
- Слева от грани Д — грань В.
- Справа от грани Д — грань Б.
- Под гранью Д — грань А.
- На самой нижней грани, под гранью А, — грань Е.

11.36 По каким рёбрам можно разрезать куб (рис. 11.29), чтобы получить развёртку под номером 3 (см. рис. 11.16)? Нарисуйте куб в тетради и покажите какую-нибудь линию разреза.

Подсказка. Воспользуйтесь моделью куба.

Рис. 11.29

Чтобы получить развёртку куба в форме креста (предполагается, что это развёртка под номером 3), необходимо сделать разрезы по 7 из 12 рёбер куба. При этом 5 рёбер должны остаться неразрезанными, чтобы все 6 граней образовывали единую фигуру.

Один из возможных способов — это выбрать одну грань в качестве центральной для крестообразной развёртки и разрезать все рёбра, не примыкающие к ней, за исключением тех, что соединяют остальные грани между собой. Например, если взять за основу переднюю грань ABMK, то можно получить развёртку, разрезав куб по следующим рёбрам.

Линия разреза на кубе

На рисунке ниже показан куб с нанесённой линией разреза. Сплошными чёрными линиями обозначены неразрезанные рёбра видимой части куба, пунктирными чёрными — неразрезанные рёбра невидимой части. Красными пунктирными линиями показаны рёбра, по которым нужно сделать разрезы.

Рёбра, по которым можно разрезать куб:

Для получения развёртки, показанной на рисунке, необходимо разрезать куб по следующим семи рёбрам: BC, DA, MN, NO, OK, CN, DO.

Ответ: Куб можно разрезать по рёбрам BC, DA, MN, NO, OK, CN, DO.