Страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Из каких фигур состоит развёртка куба? Сколько этих фигур?

Для ответа на этот вопрос необходимо понять, что такое куб и его развёртка. Куб — это трёхмерная фигура, все шесть граней которой являются одинаковыми квадратами. Развёртка — это плоская фигура, которую можно сложить, чтобы получить объёмный куб.

Из каких фигур состоит развёртка куба?

Поскольку куб состоит из шести граней, и каждая грань является квадратом, то его развёртка, которая представляет собой эти грани, разложенные на плоскости, будет состоять из квадратов. Все квадраты в развёртке равны между собой, так как у куба все рёбра имеют одинаковую длину.

Ответ: Развёртка куба состоит из квадратов.

Сколько этих фигур?

У любого куба есть ровно шесть граней: верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая и правая. Развёртка куба должна включать в себя все эти грани. Следовательно, количество фигур (квадратов) в развёртке всегда равно количеству граней куба, то есть шести.

Ответ: В развёртке куба 6 таких фигур.

Начертите развёртку куба (см. рис. 11.15, а) на листе бумаги, взяв сторону квадрата равной 5 см. Вырежите её и сложите куб.

в) Рис. 11.15

Начертите развёртку куба (см. рис. 11.15, а) на листе бумаги, взяв сторону квадрата равной 5 см

Для выполнения этого шага потребуются лист бумаги (для удобства можно взять в клетку), карандаш и линейка.

1. Развёртка куба, изображённая на рисунке, состоит из шести одинаковых квадратов. Согласно условию, сторона каждого квадрата должна быть 5 см.
2. Начните с построения вертикального ряда из четырёх квадратов. Для этого начертите прямоугольник высотой $4 \times 5 = 20$ см и шириной 5 см. Затем, проведя три горизонтальные линии, разделите его на четыре равных квадрата со стороной 5 см.
3. К второму сверху квадрату в этом ряду пристройте слева и справа по одному квадрату со стороной 5 см.
4. В итоге у вас должна получиться фигура в форме креста, состоящая из 6 квадратов. Проверьте с помощью линейки, что все стороны равны 5 см и все углы прямые.

Площадь начерченной фигуры, которая является площадью полной поверхности будущего куба, вычисляется по формуле $S = 6 \times a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

$S = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150 \text{ см}^2$.

Ответ: Развёртка куба, состоящая из шести квадратов со стороной 5 см, расположенных в виде креста, начерчена на листе бумаги.

Вырежите её

Для этого шага понадобятся ножницы.

1. Возьмите ножницы и аккуратно вырежьте начерченную фигуру по внешнему контуру.
2. Старайтесь резать точно по линиям, чтобы грани будущего куба получились ровными и аккуратными.

Ответ: Фигура развёртки вырезана из листа бумаги.

Сложите куб

Этот процесс показан на рисунках 11.15, б и в.

1. Возьмите вырезанную развёртку и согните её по всем внутренним линиям, разделяющим квадраты. Для более ровных сгибов можно предварительно продавить эти линии под линейку тупым предметом (например, непишущей ручкой).
2. Выберите центральный квадрат развёртки (тот, к которому примыкают боковые квадраты) в качестве основания куба.
3. Поднимите четыре смежные с основанием грани вверх, чтобы они образовали боковые стенки.
4. Последний оставшийся квадрат станет верхней гранью («крышкой»), которая замкнёт куб.
5. Для фиксации формы куба можно склеить его рёбра по стыкам с помощью клея или скотча.

В результате вы получите модель куба с длиной ребра $a = 5$ см.

Объём этого куба можно найти по формуле $V = a^3$.

$V = 5^3 = 125 \text{ см}^3$.

Ответ: Куб сложен. Получилась объёмная фигура с ребром 5 см, площадью поверхности 150 см² и объёмом 125 см³.

Скопируйте несколько развёрток куба на лист в клетку и сложите из них куб.

Это практическое задание, для выполнения которого нужно следовать пошаговой инструкции. Вам понадобятся: лист бумаги в клетку, карандаш, линейка, ножницы и клей или скотч.

Копирование развёрток куба на лист в клетку

Развёртка куба — это плоская фигура, состоящая из шести соединённых квадратов, из которой можно сложить куб. Всего существует 11 различных видов развёрток.

1. Выберите одну или несколько из приведённых ниже схем.
2. Аккуратно перенесите выбранные схемы на лист бумаги в клетку с помощью карандаша и линейки. Важно, чтобы все шесть квадратов в каждой развёртке были одинакового размера (например, 2x2, 3x3 или 4x4 клетки).

Вот несколько самых распространённых вариантов развёрток:

 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 

 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 

 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 

Совет: Для удобства склеивания можно дорисовать на некоторых внешних сторонах квадратов небольшие "клапаны" (трапеции или прямоугольники).

Ответ: На листе в клетку начерчены одна или несколько плоских фигур (развёрток), каждая из которых состоит из шести одинаковых квадратов.

Складывание куба из развёрток

1. Вырезание: Ножницами аккуратно вырежьте нарисованные развёртки по внешнему контуру.
2. Сгибание: Согните заготовки по всем внутренним линиям, которые разделяют квадраты. Чтобы сгибы были ровными, можно предварительно провести по ним с нажимом тупым предметом (например, непишущей ручкой) под линейку. Все сгибы делайте в одну сторону (внутрь будущего куба).
3. Сборка: Начните формировать из плоской заготовки объёмную фигуру.
4. Склеивание: Соедините рёбра куба. Нанесите клей на клапаны и приклейте их к внутренним сторонам соседних граней. Если клапанов нет, можно использовать небольшие кусочки скотча, соединяя рёбра снаружи.

По итогу у вас должен получиться объёмный бумажный куб. Проделав это с разными видами развёрток, вы убедитесь, что из каждой из них можно собрать куб.

Ответ: В результате выполнения описанных действий из плоской развёртки получается объёмная геометрическая фигура — куб.

Возьмите какую-нибудь коробочку, имеющую форму параллелепипеда, и разверните её. Отрежьте лишние детали так, чтобы получилась развёртка параллелепипеда.

Это практическое задание, для выполнения которого необходимо следовать пошаговой инструкции. Цель — получить из обычной картонной коробки её развёртку, то есть плоский шаблон, из которого можно собрать эту коробку.

1. Найдите подходящую коробочку.

   Для задания понадобится любая коробка в форме прямоугольного параллелепипеда. Это может быть упаковка от чая, сока, зубной пасты, обуви или любого другого товара. Главное, чтобы все её грани были прямоугольниками.

2. Аккуратно разверните коробку.

   Осмотрите коробку и найдите места склейки. Обычно это небольшие клапаны, которые заходят под одну из граней. С помощью ножниц или канцелярского ножа осторожно разрежьте коробку по склеенным швам. Далее, чтобы разложить коробку в одну плоскость, нужно сделать разрезы вдоль нескольких рёбер. Старайтесь резать аккуратно, чтобы не повредить шесть основных граней коробки. Цель — разложить коробку так, чтобы она стала одним плоским куском картона.

3. Определите основные грани и "лишние детали".

   Разложив коробку, вы увидите её развёртку. Она состоит из шести основных прямоугольников (граней параллелепипеда) и, как правило, нескольких дополнительных клапанов, которые использовались для склеивания. Эти клапаны и есть "лишние детали", которые упоминаются в задании.

   У прямоугольного параллелепипеда 6 граней:

   • Два одинаковых основания (верхнее и нижнее).
   • Четыре боковые грани (противоположные из них попарно равны).
4. Отрежьте лишние детали.

   Ножницами аккуратно отрежьте все вспомогательные клапаны для склейки. После этого у вас останется фигура, состоящая ровно из шести прямоугольников, соединённых друг с другом по линиям сгиба. Это и есть искомая развёртка параллелепипеда.

В результате проделанной работы у вас получится плоская фигура (развёртка), которую, если согнуть по рёбрам, можно снова собрать в исходную коробочку. Если размеры коробки были $a$ (длина), $b$ (ширина) и $c$ (высота), то развёртка будет состоять из шести прямоугольников:

• Два прямоугольника размером $a \times b$;
• Два прямоугольника размером $a \times c$;
• Два прямоугольника размером $b \times c$.

Ответ: Для получения развёртки параллелепипеда из коробочки необходимо разрезать её по швам склейки и нескольким рёбрам, чтобы разложить в плоскость. Затем следует отрезать все дополнительные клапаны, которые использовались для сборки коробки. В результате останется плоская фигура из шести соединённых между собой прямоугольных граней.

11.17 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ Скопируйте в тетрадь параллелепипед, изображённый на рисунке 11.17, по следующему алгоритму:

• начертите переднюю (видимую) грань

• проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней;

• начертите заднюю (невидимую) грань.

Рис. 11.17

начертите переднюю (видимую) грань параллелепипеда;
В тетради в клетку начертите прямоугольник. Горизонтальные стороны прямоугольника (верхняя и нижняя) должны иметь длину 4 клетки. Вертикальные стороны (левая и правая) должны иметь длину 2 клетки. Так как эта грань является видимой, все её стороны чертятся сплошной линией.

Ответ: Начерчен прямоугольник размером 4 на 2 клетки со сплошными линиями.

проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней;
От каждой из четырёх вершин нарисованного прямоугольника необходимо провести боковые рёбра. Каждое ребро представляет собой отрезок, который строится путем смещения на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх от соответствующей вершины передней грани.
От верхней левой, верхней правой и нижней правой вершин проведите сплошные линии, заканчивающиеся на 2 клетки правее и 1 клетку выше. Эти три ребра являются видимыми.
От нижней левой вершины проведите пунктирной линией такой же отрезок (смещенный на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх), так как это ребро является невидимым.

Ответ: От вершин передней грани проведены четыре параллельных отрезка (три сплошных и один пунктирный), каждый из которых смещен на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх.

начертите заднюю (невидимую) грань.
Для завершения построения соедините концы рёбер, начерченных на предыдущем шаге, чтобы получить заднюю грань. Задняя грань является прямоугольником, параллельным и равным передней грани.
Верхние концы боковых рёбер соедините сплошной линией — это видимое верхнее ребро задней грани. Правые концы боковых рёбер (верхний и нижний) также соедините сплошной линией — это видимое правое ребро задней грани.
Нижние концы боковых рёбер соедините пунктирной линией, так как это ребро невидимо. Левые концы боковых рёбер (верхний и нижний) также соедините пунктирной линией, так как и это ребро невидимо.
В результате будет полностью построен параллелепипед, изображённый на рисунке.

Ответ: Построен параллелепипед, у которого задняя грань образована соединением концов боковых рёбер. Два ребра задней грани (верхнее и правое) начерчены сплошной линией, а два других (нижнее и левое) — пунктирной.

В качестве параллелепипеда возьмите спичечный коробок. Обведите одним и тем же цветом его равные рёбра. Сколько разных цветов вам для этого потребуется? Сколько рёбер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой его вершины? Как они окрашены на вашей модели?

Сколько равных граней у прямоугольного параллелепипеда? Как они расположены? Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой вершине? Как окрашены рёбра этих граней на вашей модели?

В качестве параллелепипеда возьмите спичечный коробок. Обведите одним и тем же цветом его равные рёбра. Сколько разных цветов вам для этого потребуется?

Прямоугольный параллелепипед (моделью которого является спичечный коробок) имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Всего у него 12 рёбер. Эти рёбра можно разделить на три группы по четыре равных ребра в каждой: 4 ребра равны длине, 4 ребра равны ширине и 4 ребра равны высоте. Чтобы обвести равные рёбра одним и тем же цветом, нам понадобится по одному цвету для каждой группы рёбер. Таким образом, потребуется три разных цвета.
Ответ: 3 цвета.

Сколько рёбер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой его вершины? Как они окрашены на вашей модели?

Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходит 3 ребра. Каждое из этих трёх рёбер соответствует одному из трёх измерений фигуры: одно ребро — длине, второе — ширине, третье — высоте. Так как мы окрасили рёбра, соответствующие разным измерениям, в разные цвета, то три ребра, выходящие из одной вершины, будут окрашены в три разных цвета.
Ответ: Из каждой вершины выходит 3 ребра, и все они окрашены в разные цвета.

Сколько равных граней у прямоугольного параллелепипеда? Как они расположены? Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой вершине? Как окрашены рёбра этих граней на вашей модели?

У прямоугольного параллелепипеда всего 6 граней. Они образуют 3 пары равных между собой граней. Равные грани всегда расположены друг напротив друга и параллельны. Например, верхняя грань равна и параллельна нижней.
В каждой вершине параллелепипеда сходится 3 грани.
Каждая грань является прямоугольником и имеет две пары равных рёбер. Согласно нашей модели, рёбра каждой грани окрашены в два разных цвета. Например, для граней, сходящихся в одной вершине: рёбра первой грани будут окрашены в цвета 1 и 2, рёбра второй — в цвета 1 и 3, а рёбра третьей — в цвета 2 и 3.
Ответ: У параллелепипеда 3 пары равных граней, они расположены друг напротив друга. В каждой вершине сходится 3 грани. Рёбра каждой из этих трёх граней окрашены в два разных цвета.