Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Поверхности каких геометрических тел, изображённых на рисунке 11.1, состоят не только из плоских частей? Какую форму имеют плоские части?

куб

цилиндр

шар

конус

Рис. 11.1

Поверхности каких геометрических тел, изображённых на рисунке 11.1, состоят не только из плоских частей?
Для ответа на этот вопрос проанализируем каждое геометрическое тело:

• Куб: его поверхность состоит из 6 плоских граней, которые являются квадратами. Таким образом, вся поверхность куба состоит только из плоских частей.
• Цилиндр: его поверхность состоит из двух плоских оснований (кругов) и одной боковой поверхности, которая является криволинейной (изогнутой). Следовательно, поверхность цилиндра состоит не только из плоских частей.
• Шар: его поверхность (сфера) полностью криволинейная и не содержит ни одной плоской части. Это также удовлетворяет условию "состоят не только из плоских частей", так как доля плоских частей равна нулю.
• Конус: его поверхность состоит из одного плоского основания (круга) и одной боковой криволинейной поверхности. Следовательно, поверхность конуса состоит не только из плоских частей.

Ответ: Цилиндр, шар и конус.

Какую форму имеют плоские части?
Рассмотрим плоские части тех тел, у которых они есть (цилиндр и конус):

• У цилиндра плоскими частями являются его верхнее и нижнее основания. Они имеют форму круга.
• У конуса плоской частью является его основание. Оно также имеет форму круга.
• У шара плоских частей нет.

Ответ: Плоские части у цилиндра и конуса имеют форму круга.

Охарактеризуйте каждый многогранник (см. рис. 11.2) по плану:

1) число граней, их форма;

2) число рёбер;

3) число вершин;

4) число рёбер в каждой вершине.

Рис. 11.2

Многогранник 1 (Прямоугольный параллелепипед)

1) число граней, их форма: У многогранника $6$ граней, все они являются прямоугольниками.

2) число рёбер: У многогранника $12$ рёбер.

3) число вершин: У многогранника $8$ вершин.

4) число рёбер в каждой вершине: В каждой вершине сходится по $3$ ребра.

Ответ: $6$ граней (прямоугольники), $12$ рёбер, $8$ вершин, по $3$ ребра в каждой вершине.

Многогранник 2 (Четырёхугольная пирамида)

1) число граней, их форма: У многогранника $5$ граней. Одна грань (основание) — четырёхугольник, а остальные $4$ (боковые грани) — треугольники.

2) число рёбер: У многогранника $8$ рёбер.

3) число вершин: У многогранника $5$ вершин.

4) число рёбер в каждой вершине: В $4$ вершинах основания сходится по $3$ ребра. В $1$ вершине (вершине пирамиды) сходится $4$ ребра.

Ответ: $5$ граней (1 четырёхугольник и 4 треугольника), $8$ рёбер, $5$ вершин, в 4-х вершинах по $3$ ребра, в 1-й вершине — $4$ ребра.

Многогранник 3 (Октаэдр)

1) число граней, их форма: У многогранника $8$ граней, все они являются треугольниками.

2) число рёбер: У многогранника $12$ рёбер.

3) число вершин: У многогранника $6$ вершин.

4) число рёбер в каждой вершине: В каждой вершине сходится по $4$ ребра.

Ответ: $8$ граней (треугольники), $12$ рёбер, $6$ вершин, по $4$ ребра в каждой вершине.

Многогранник 4 (Шестиугольная призма)

1) число граней, их форма: У многогранника $8$ граней. Две грани (основания) — шестиугольники, а остальные $6$ (боковые грани) — прямоугольники.

2) число рёбер: У многогранника $18$ рёбер.

3) число вершин: У многогранника $12$ вершин.

4) число рёбер в каждой вершине: В каждой вершине сходится по $3$ ребра.

Ответ: $8$ граней (2 шестиугольника и 6 прямоугольников), $18$ рёбер, $12$ вершин, по $3$ ребра в каждой вершине.

Многогранник 5 (Треугольная призма)

1) число граней, их форма: У многогранника $5$ граней. Две грани (основания) — треугольники, а остальные $3$ (боковые грани) — прямоугольники.

2) число рёбер: У многогранника $9$ рёбер.

3) число вершин: У многогранника $6$ вершин.

4) число рёбер в каждой вершине: В каждой вершине сходится по $3$ ребра.

Ответ: $5$ граней (2 треугольника и 3 прямоугольника), $9$ рёбер, $6$ вершин, по $3$ ребра в каждой вершине.

Сделайте из палочек и кусочков пластилина модель одного из многогранников (см.

рис. 11.2).

1

2

3

4

5

Рис. 11.2

Задача состоит в том, чтобы подготовиться к созданию модели одного из многогранников, используя палочки и пластилин. Для этого необходимо для каждой фигуры рассчитать, сколько потребуется палочек (рёбер) и кусочков пластилина (вершин).

1

Многогранник №1 — это прямоугольный параллелепипед (также известный как четырёхугольная призма). Этот многогранник имеет два четырёхугольных основания (верхнее и нижнее) и боковые грани.

Для определения количества кусочков пластилина нужно сосчитать вершины. У прямоугольного параллелепипеда 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем. Таким образом, общее количество вершин равно $4 + 4 = 8$.

Для определения количества палочек нужно сосчитать рёбра. Каркас состоит из 4 рёбер верхнего основания, 4 рёбер нижнего основания и 4 боковых рёбер, соединяющих вершины оснований. Всего рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: для создания модели понадобится 8 кусочков пластилина и 12 палочек.

2

Многогранник №2 — это четырёхугольная пирамида. Она состоит из четырёхугольного основания и четырёх треугольных граней, сходящихся в одной точке — вершине пирамиды (апексе).

Количество вершин (кусочков пластилина) складывается из вершин основания и апекса. В основании 4 вершины, и ещё 1 вершина — апекс. Итого: $4 + 1 = 5$ вершин.

Количество рёбер (палочек) — это сумма рёбер основания и боковых рёбер. В основании 4 ребра, и 4 боковых ребра соединяют вершины основания с апексом. Итого: $4 + 4 = 8$ рёбер.

Ответ: для создания модели понадобится 5 кусочков пластилина и 8 палочек.

3

Многогранник №3 — это октаэдр. Его можно рассматривать как две четырёхугольные пирамиды, соединённые своими основаниями. У него 8 треугольных граней.

Количество вершин (кусочков пластилина) включает одну верхнюю вершину, одну нижнюю и четыре вершины в середине, на месте общего основания двух пирамид. Всего вершин: $1 + 1 + 4 = 6$.

Количество рёбер (палочек) можно посчитать так: 4 ребра соединяют верхнюю вершину со средними, и 4 ребра соединяют нижнюю вершину со средними. Еще 4 ребра образуют средний четырёхугольник. Всего рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: для создания модели понадобится 6 кусочков пластилина и 12 палочек.

4

Многогранник №4 — это шестиугольная призма. У неё два шестиугольных основания, соединённых шестью прямоугольными боковыми гранями.

Количество вершин (кусочков пластилина) равно удвоенному количеству вершин одного основания. У шестиугольника 6 вершин, значит у призмы $6 + 6 = 12$ вершин.

Количество рёбер (палочек) складывается из рёбер двух оснований и боковых рёбер. В каждом основании по 6 рёбер, и ещё 6 боковых рёбер. Всего: $6 + 6 + 6 = 18$ рёбер.

Ответ: для создания модели понадобится 12 кусочков пластилина и 18 палочек.

5

Многогранник №5 — это треугольная призма. На рисунке она изображена лежащей на одной из своих прямоугольных граней. Основаниями этой призмы являются два параллельных треугольника.

Количество вершин (кусочков пластилина) равно сумме вершин двух треугольных оснований. У каждого треугольника по 3 вершины, значит у призмы $3 + 3 = 6$ вершин.

Количество рёбер (палочек) складывается из рёбер двух треугольных оснований и трёх боковых рёбер, которые их соединяют. Всего рёбер: $3 + 3 + 3 = 9$.

Ответ: для создания модели понадобится 6 кусочков пластилина и 9 палочек.