Страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.19 Скопируйте изображение параллелепипеда (рис. 11.18) в тетрадь и дорисуйте невидимые рёбра штриховой линией.

Рис. 11.18

Для того чтобы дорисовать невидимые рёбра параллелепипеда, необходимо сначала определить их расположение. Параллелепипед имеет 8 вершин и 12 рёбер. На исходном рисунке показаны 7 вершин и 9 рёбер, которые видны с выбранной точки обзора. Три ребра и одна вершина скрыты от наблюдателя.

Чтобы найти положение скрытой вершины, проанализируем, как расположены видимые вершины на клетчатой бумаге. Введём условную систему координат, где за единицу измерения примем сторону одной клетки.

Заметим, что задние вершины параллелепипеда смещены относительно передних на один и тот же вектор. Например:

• Правая верхняя передняя вершина находится в точке с условными координатами $(3, 5)$. Соответствующая ей задняя вершина находится в точке $(4, 6)$. Вектор смещения: $(4-3, 6-5) = (1, 1)$.
• Правая нижняя передняя вершина — $(3, 1)$, задняя — $(4, 2)$. Вектор смещения: $(4-3, 2-1) = (1, 1)$.
• Левая верхняя передняя вершина — $(1, 5)$, задняя — $(2, 6)$. Вектор смещения: $(2-1, 6-5) = (1, 1)$.

Таким образом, чтобы найти положение скрытой, задней левой нижней вершины, нужно применить тот же вектор смещения $(1, 1)$ к передней левой нижней вершине, которая находится в точке $(1, 1)$.

Координаты скрытой вершины: $(1+1, 1+1) = (2, 2)$.

Теперь можно дорисовать три невидимых ребра, которые соединяют найденную вершину $(2, 2)$ с тремя соседними вершинами. По правилам черчения, невидимые рёбра изображаются штриховой линией.

1. Первое невидимое ребро соединяет скрытую вершину $(2, 2)$ с передней левой нижней вершиной $(1, 1)$.
2. Второе невидимое ребро соединяет скрытую вершину $(2, 2)$ с задней правой нижней вершиной $(4, 2)$.
3. Третье невидимое ребро (вертикальное) соединяет скрытую вершину $(2, 2)$ с задней левой верхней вершиной $(2, 6)$.

Результат показан на рисунке ниже.

Ответ:

11.20 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 11.19 изображён куб.

1) Три его грани, имеющие общую вершину $D$, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

2) Можно ли окрасить грани куба в три цвета так, чтобы грани одного цвета не имели общих точек?

Рис. 11.19

1) Вершина D является общей для трех граней куба. Опираясь на рисунок, это передняя грань (ABCD), нижняя грань (ADMN) и правая боковая грань (DCOM). Согласно условию, эти три грани будут окрашены в красный цвет.
У куба всего 6 граней. Оставшиеся $6 - 3 = 3$ грани будут синими. Это грани, которые не имеют общей вершины D: верхняя грань (BCOK), левая боковая грань (ABNK) и задняя грань (NKOM).
Чтобы найти общую вершину всех синих граней, необходимо найти вершину, которая одновременно принадлежит всем трем синим граням.

• Синяя грань BCOK имеет вершины B, C, O, K.
• Синяя грань ABNK имеет вершины A, B, N, K.
• Синяя грань NKOM имеет вершины N, K, O, M.

Единственная вершина, которая входит в состав всех трех синих граней, — это вершина K. Также можно заметить, что эта вершина является диагонально противоположной вершине D.
Ответ: Красные грани: ABCD, ADMN, DCOM. Синие грани: BCOK, ABNK, NKOM. Общая вершина всех синих граней — K.

2) Да, можно. Условие, что грани одного цвета не имеют общих точек, означает, что они не должны иметь ни общих ребер, ни общих вершин. У куба этому свойству удовлетворяют только пары противоположных (параллельных) граней.
У куба есть ровно три пары таких граней:

1. Передняя и задняя грани.
2. Верхняя и нижняя грани.
3. Левая и правая боковые грани.

Чтобы выполнить условие задачи, нужно каждую из этих пар окрасить в свой уникальный цвет. Например, переднюю и заднюю грани — в первый цвет, верхнюю и нижнюю — во второй, а левую и правую — в третий. В этом случае грани одного цвета не будут иметь общих точек.
Ответ: Да, можно. Для этого нужно окрасить каждую пару противоположных граней в один из трех цветов.

11.21 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 11.20 изображён параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6$ см, $ML = 4$ см, $AM = 2$ см.

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Для каждой из них назовите равные ей грани.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Рис. 11.20

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

Данный параллелепипед является прямоугольным. У него есть три измерения: длина, ширина и высота. Из рисунка и условия задачи известны длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины:

- Высота: ребро $AB = 6$ см.
- Ширина: ребро $AM = 2$ см.
- Длина: ребро $ML = 4$ см.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. Они делятся на 3 группы по 4 равных и параллельных ребра в каждой:

- 4 ребра, равные высоте (6 см): AB, MN, LK, DC.
- 4 ребра, равные ширине (2 см): AM, BN, CK, DL.
- 4 ребра, равные длине (4 см): ML, AD, BC, NK.

Ответ: У параллелепипеда 4 ребра длиной 6 см, 4 ребра длиной 2 см и 4 ребра длиной 4 см.

2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN? Для каждой из них назовите равные ей грани.

Параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками. Противоположные грани попарно равны.

- Грань AMNB: её размеры определяются длинами рёбер AM и MN (или AB). Размеры этой грани $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань DLCK.
- Грань BNKC: её размеры определяются длинами рёбер BN и NK. Размеры этой грани $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань AMLD.
- Грань MLKN: её размеры определяются длинами рёбер ML и LK (или MN). Размеры этой грани $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань ADCB.

Ответ: Грань AMNB имеет размеры $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ и равна грани DLCK. Грань BNKC имеет размеры $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ и равна грани AMLD. Грань MLKN имеет размеры $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ и равна грани ADCB.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

Три различные грани параллелепипеда — это три прямоугольника со следующими размерами:

- Прямоугольник 1: $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ (соответствует граням AMNB и DLCK).
- Прямоугольник 2: $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ (соответствует граням BNKC и AMLD).
- Прямоугольник 3: $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ (соответствует граням MLKN и ADCB).

Ниже представлено схематическое изображение этих граней, нарисованных в масштабе (например, 1 см = 20 пикселей):

2x6 см 2x4 см 4x6 см

Ответ: Необходимо начертить на бумаге три прямоугольника с размерами $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ и $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Сумма площадей всех граней — это площадь полной поверхности параллелепипеда. Она состоит из площадей трёх пар равных граней.

1. Площадь двух граней с размерами $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$:

$S_1 = 2 \times (2 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 2 \times 12 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$

2. Площадь двух граней с размерами $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$:

$S_2 = 2 \times (2 \text{ см} \times 4 \text{ см}) = 2 \times 8 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$

3. Площадь двух граней с размерами $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$:

$S_3 = 2 \times (4 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 2 \times 24 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$

Общая сумма площадей всех граней равна:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 24 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 88 \text{ см}^2$

Также можно использовать формулу для площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a, b, c$:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим наши значения $a = 2$ см, $b = 4$ см, $c = 6$ см:

$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2(8 + 12 + 24) = 2(44) = 88 \text{ см}^2$

Ответ: $88 \text{ см}^2$.

11.22 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что вам необходимо сделать из проволоки каркасную модель куба с ребром 10 см и параллелепипеда с измерениями 6 см, 10 см, 14 см. Какой длины проволоку достаточно взять в каждом случае?

Для решения задачи необходимо вычислить суммарную длину всех ребер для каждой из двух фигур: куба и параллелепипеда.

Каркасная модель куба

Куб имеет 12 ребер, и все они одинаковой длины. Длина ребра куба по условию равна 10 см. Чтобы найти общую длину проволоки, нужно умножить количество ребер на длину одного ребра.

Обозначим длину ребра как $a$. Тогда общая длина проволоки $L_{куб}$ вычисляется по формуле:

$L_{куб} = 12 \times a$

Подставляем значение $a = 10$ см:

$L_{куб} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$

Ответ: для изготовления каркасной модели куба потребуется 120 см проволоки.

Каркасная модель параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед также имеет 12 ребер. Однако, в отличие от куба, они не все равны. У параллелепипеда есть 3 группы по 4 равных ребра. Длины этих ребер соответствуют измерениям параллелепипеда: 6 см, 10 см и 14 см.

Обозначим измерения как $a, b, c$. Общая длина проволоки $L_{пар}$ вычисляется как сумма длин всех ребер:

$L_{пар} = 4 \times a + 4 \times b + 4 \times c = 4 \times (a + b + c)$

Подставляем значения $a = 6$ см, $b = 10$ см, $c = 14$ см:

$L_{пар} = 4 \times (6 \text{ см} + 10 \text{ см} + 14 \text{ см})$

$L_{пар} = 4 \times (30 \text{ см})$

$L_{пар} = 120 \text{ см}$

Ответ: для изготовления каркасной модели параллелепипеда потребуется 120 см проволоки.

11.23 Возьмите какую-нибудь коробку, имеющую форму параллелепипеда, проведите необходимые измерения и найдите площадь её поверхности.

Для решения данной задачи необходимо взять любую коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, измерить три её измерения (длину, ширину и высоту) и затем вычислить площадь её полной поверхности.

Поскольку это практическое задание, для примера возьмём коробку со следующими размерами:
Длина, $a = 30$ см
Ширина, $b = 20$ см
Высота, $c = 15$ см

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму площадей всех шести его граней. Так как противоположные грани попарно равны, формула имеет вид:
$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$

Подставим наши измерения в формулу и произведём расчёт:
$S = 2 \cdot (30 \cdot 20 + 20 \cdot 15 + 30 \cdot 15)$
Сначала выполним умножение в скобках:
$30 \cdot 20 = 600$
$20 \cdot 15 = 300$
$30 \cdot 15 = 450$
Теперь сложим полученные значения и умножим сумму на 2:
$S = 2 \cdot (600 + 300 + 450)$
$S = 2 \cdot 1350$
$S = 2700 \text{ см}^2$
Ответ: Площадь поверхности коробки с размерами 30 см, 20 см и 15 см равна $2700 \text{ см}^2$.

11.24 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1) Начертите на клетчатой бумаге развёртку куба (развёртка 1 на рисунке 11.16) и вырежьте её.

2) Пронумеруйте квадраты развёртки числами от 1 до 6. Сложите куб из развёртки.

3) Обратите внимание: какие из квадратов развёртки соединились при сложении куба, а какие — не соединились.

4) Поставьте куб на одну из граней. Какой из квадратов развёртки является верхней гранью куба? Запишите все пары граней.

Поскольку в задании отсутствует рисунок 11.16 с "развёрткой 1", для выполнения практической работы воспользуемся одной из стандартных развёрток куба и пронумеруем её грани числами от 1 до 6, как показано на схеме ниже.

 +---+ | 1 | +---++---+---+---+---+| 2 | 3 | 4 | 6 |+---+---+---+---+ | 5 | +---+ 

Мысленно проделаем все шаги, описанные в задании, с этой развёрткой.

Этот шаг является подготовительным. Необходимо нарисовать на листе бумаги в клетку фигуру из шести квадратов, расположенных как на схеме выше, и вырезать её по контуру.

На вырезанной фигуре проставляем номера квадратов от 1 до 6 согласно схеме. Затем сгибаем развёртку по внутренним линиям. Если мы примем квадрат с номером 3 за основание куба, то при сгибании квадраты 2 и 4 станут боковыми гранями. Квадрат 1 станет задней гранью, квадрат 5 — передней, а квадрат 6 — верхней гранью (крышкой) куба.

При сложении куба квадраты, которые на развёртке являются соседними, соединяются и образуют рёбра куба. Например, грань 3 будет иметь общие рёбра с гранями 1, 2, 4 и 5.
Некоторые квадраты не будут соприкасаться друг с другом ни одной точкой. Это те грани, которые на собранном кубе находятся друг напротив друга (противолежащие грани). Для нашей нумерации это пары (1 и 5), (2 и 4), (3 и 6).

Ответ: При сложении куба соединились рёбрами соседние грани, а противолежащие грани (1 и 5, 2 и 4, 3 и 6) не соединились.

Когда куб стоит на одной из граней (нижней), то верхняя грань всегда является противолежащей для неё. Используя пары, найденные в предыдущем пункте, можем определить верхнюю грань для любого положения куба:

• Если куб стоит на грани 1, верхняя грань — 5.
• Если куб стоит на грани 2, верхняя грань — 4.
• Если куб стоит на грани 3, верхняя грань — 6.
• Если куб стоит на грани 4, верхняя грань — 2.
• Если куб стоит на грани 5, верхняя грань — 1.
• Если куб стоит на грани 6, верхняя грань — 3.

Таким образом, мы можем записать все пары противолежащих граней, которые всегда будут находиться друг напротив друга, одна из которых будет верхней, если другая — нижняя.

Ответ: Пары противолежащих граней: (1, 5), (2, 4), (3, 6).