Страница 255 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.25 МОДЕЛИРУЕМ Какие точки совместятся с точкой A при склеивании развёртки, изображённой на рисунке 11.21? Какие рёбра склеятся? Назовите все такие пары.

Подсказка. Можно воспользоваться развёрткой, вырезанной из бумаги.

Рис. 11.21

Для решения этой задачи представим процесс склеивания куба из данной развёртки.

Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развёртки?

Чтобы определить, какие точки совместятся с точкой А, мысленно соберём куб.

1. Примем центральный квадрат CFOT за основание куба, которое лежит на столе.
2. Согнём развёртку по линиям CF, CT, TO и FO, чтобы поднять четыре боковые стенки: DCEF (левая), BCTA (задняя), THOP (правая) и FOLN (передняя).
3. При поднятии стенок точка A, принадлежащая задней стенке, и точка H, принадлежащая правой стенке, встретятся и образуют одну вершину куба – верхнюю заднюю правую.
4. Квадрат LNMK является верхней гранью (крышкой). Он присоединён к передней стенке FOLN. Когда мы накроем куб этой крышкой, согнув её по ребру LN, точка M также попадёт в верхнюю заднюю правую вершину.

Следовательно, точки A, H и M совместятся в одной вершине куба.

Ответ: С точкой А совместятся точки H и M.

Какие рёбра склеятся? Назовите все такие пары.

При сборке куба рёбра, находящиеся на внешнем контуре развёртки, склеиваются попарно. Определить эти пары можно, проследив, какие вершины и стороны граней совмещаются.

• Поскольку точки A и H совмещаются, а точка T у них общая, ребро AT склеится с ребром HT.
• Точки B и D также совместятся (образуя верхнюю заднюю левую вершину), поэтому ребро BC склеится с ребром DC.
• Совмещаются точки E и N (верхняя передняя левая вершина), поэтому ребро EF склеится с ребром NF.
• Совмещаются точки P и L (верхняя передняя правая вершина), поэтому ребро PO склеится с ребром LO.
• Верхняя грань LNMK закрывает куб. Её рёбра склеиваются с верхними рёбрами боковых граней:
  • Ребро AB (верхнее ребро задней грани) склеится с ребром KM (заднее ребро верхней грани).
  • Ребро ED (верхнее ребро левой грани) склеится с ребром NK (левое ребро верхней грани).
  • Ребро PH (верхнее ребро правой грани) склеится с ребром LM (правое ребро верхней грани).

Всего получается 7 пар склеивающихся рёбер.

Ответ: Склеятся следующие пары рёбер:
1) AT и HT;
2) BC и DC;
3) EF и NF;
4) PO и LO;
5) AB и KM;
6) ED и NK;
7) PH и LM.

11.26 На рисунке 11.22 изображена развёртка параллелепипеда, указаны её размеры. Начертите развёртку на листе в клетку, вырежьте её и сложите параллелепипед. Каковы его измерения?

$4 \text{ см}$

$3 \text{ см}$

$4 \text{ см}$

$3 \text{ см}$

$10 \text{ см}$

Рис. 11.22

Чтобы определить измерения параллелепипеда, необходимо проанализировать его развёртку, представленную на рисунке. Развёртка прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются его гранями. Противоположные грани параллелепипеда равны, поэтому развёртка состоит из трёх пар одинаковых прямоугольников.

Пусть измерения параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a, b$ и $c$. Тогда его грани представляют собой три пары прямоугольников со сторонами $a \times b$, $a \times c$ и $b \times c$.

Изучив размеры на схеме развёртки, мы можем определить размеры этих трёх пар прямоугольников:

• На развёртке видна пара прямоугольников с размерами 10 см и 4 см.
• Также видна пара прямоугольников с размерами 10 см и 3 см.
• И третья пара прямоугольников имеет размеры 4 см и 3 см.

Эти три набора размеров сторон прямоугольников ($10 \times 4$, $10 \times 3$, $4 \times 3$) соответствуют трём парам граней параллелепипеда. Из этого следует, что три измерения параллелепипеда — это длины рёбер, которые образуют эти грани.

Сравнивая размеры граней, можно установить три уникальных измерения. Если пары сторон граней равны $10 \times 4$, $10 \times 3$ и $4 \times 3$, то очевидно, что измерениями самого параллелепипеда являются длины 10 см, 4 см и 3 см.

Ответ: Измерения параллелепипеда: 10 см, 4 см, 3 см.

11.27 Многогранники на рисунке 11.23, б составлены из одинаковых параллелепипедов, один из которых изображён на рисунке 11.23, а. Определите длины ломаных, выделенных красным цветом.

Для решения задачи необходимо видеть рисунки 11.23, а и 11.23, б, чтобы знать размеры исходного параллелепипеда и конфигурацию самих ломаных линий. Поскольку изображения отсутствуют, будет представлен общий метод решения.

Пусть из рисунка 11.23, а известны размеры одного параллелепипеда: длина — $a$, ширина — $b$, высота — $c$.Длина любой ломаной — это сумма длин составляющих ее прямолинейных отрезков. Каждый отрезок ломаной может быть ребром, диагональю грани или пространственной диагональю одного из параллелепипедов.

а)

Рассмотрим первую ломаную линию на рисунке 11.23, б. Чтобы найти ее длину, нужно мысленно разбить ее на отдельные отрезки. Затем для каждого отрезка определить его длину. Например, если отрезок совпадает с ребром параллелепипеда, его длина будет $a$, $b$ или $c$. Если отрезок является диагональю грани, его длину можно найти по теореме Пифагора: $\sqrt{a^2+b^2}$, $\sqrt{a^2+c^2}$ или $\sqrt{b^2+c^2}$. Если отрезок является пространственной диагональю параллелепипеда, его длина равна $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Просуммировав длины всех отрезков, мы получим общую длину ломаной.

Ответ: Длина первой ломаной равна сумме длин всех ее сегментов, которые определяются по размерам параллелепипеда ($a, b, c$) и их расположению на многограннике.

б)

Аналогично, рассмотрим вторую ломаную линию. Разобьем ее на составляющие отрезки. Определим длину каждого отрезка, исходя из того, является ли он ребром или диагональю (грани или пространственной) одного из одинаковых параллелепипедов. Сложив длины всех найденных отрезков, получим искомую длину второй ломаной.

Ответ: Длина второй ломаной вычисляется как сумма длин составляющих ее отрезков, размеры которых зависят от измерений исходного параллелепипеда ($a, b, c$).

11.28 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Сложите параллелепипед из одинаковых кубиков, выложив в длину 3 кубика, в ширину 2 кубика, в высоту 2 кубика. Подсчитайте число использованных кубиков. А сколько кубиков потребуется, если в длину выложить 5 кубиков, в ширину - 3 кубика, в высоту - 2 кубика?

Рис. 11.23

2) Ребро кубика приняли за единицу длины. Из кубиков сложили куб с ребром, равным 3 ед. длины, и параллелепипед с рёбрами, равными 3, 4 и 1 ед. длины. В каком случае потребуется больше таких кубиков?

3) Коробку начали заполнять кубиками, как показано на рисунке 11.24. Сколько кубиков войдёт в коробку?

4) В какую коробку войдёт больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3 см и 2 см или с размерами 2 см, 2 см и 5 см?

Рис. 11.24

1) Для того чтобы найти общее число кубиков в параллелепипеде, нужно перемножить количество кубиков по длине, ширине и высоте.
Для первого случая, когда параллелепипед состоит из 3 кубиков в длину, 2 в ширину и 2 в высоту, общее число кубиков равно: $3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков.
Для второго случая, когда в длину выложено 5 кубиков, в ширину – 3 кубика, а в высоту – 2 кубика, потребуется: $5 \times 3 \times 2 = 30$ кубиков.
Ответ: 12 кубиков; 30 кубиков.

2) Сначала найдем, сколько кубиков с ребром в 1 единицу длины требуется для каждой фигуры.
Для куба с ребром 3 ед. длины потребуется: $V_1 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ кубиков.
Для параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 1 ед. длины потребуется: $V_2 = 3 \times 4 \times 1 = 12$ кубиков.
Сравним полученные значения: $27 > 12$. Следовательно, для построения куба потребуется больше кубиков.
Ответ: больше кубиков потребуется для куба с ребром 3 ед. длины.

3) По рисунку 11.24 можно определить размеры коробки в кубиках. Вдоль каждого ребра (в длину, ширину и высоту) укладывается по 3 кубика. Чтобы найти общее количество кубиков, которое войдёт в коробку, нужно перемножить эти три измерения.
Количество кубиков = $3 \times 3 \times 3 = 27$.
Ответ: в коробку войдёт 27 кубиков.

4) Чтобы определить, в какую коробку войдёт больше кубиков с ребром 1 см, нужно сравнить объёмы этих коробок. Количество кубиков будет равно числовому значению объёма, выраженному в см³.
Объём первой коробки с размерами 4 см, 3 см и 2 см равен: $V_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ см³. В неё войдёт 24 кубика.
Объём второй коробки с размерами 2 см, 2 см и 5 см равен: $V_2 = 2 \times 2 \times 5 = 20$ см³. В неё войдёт 20 кубиков.
Сравниваем объёмы: $24 \text{ см}^3 > 20 \text{ см}^3$. Таким образом, в первую коробку поместится больше кубиков.
Ответ: больше кубиков войдёт в коробку с размерами 4 см, 3 см и 2 см.