Страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.12 МОДЕЛИРУЕМ

Взяли три равных проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника (рис. 11.12). Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их. Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника? Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник.

Каркасная модель многогранника, полученная путем спаивания трех равных проволочных квадратов в вершинах, представляет собой правильный октаэдр.

Правильный октаэдр — это многогранник, имеющий 8 граней (треугольники), 12 ребер и 6 вершин. В данном случае каркасная модель состоит только из ребер и вершин. Общее количество ребер у трех отдельных квадратов равно $3 \times 4 = 12$, что в точности совпадает с количеством ребер октаэдра. Это означает, что каждое ребро одного из квадратов становится одним ребром октаэдра.

Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их.

Поскольку изображение фигуры отсутствует, мы можем описать эти квадраты, используя обозначения вершин октаэдра. Представим октаэдр в системе координат с центром в начале. Его 6 вершин будут расположены на осях на равном расстоянии от центра.

Пусть вершины октаэдра имеют следующие координаты:
$V_1 = (a, 0, 0)$, $V_2 = (-a, 0, 0)$ — на оси Ox
$V_3 = (0, a, 0)$, $V_4 = (0, -a, 0)$ — на оси Oy
$V_5 = (0, 0, a)$, $V_6 = (0, 0, -a)$ — на оси Oz
где $a$ — положительное число.

Тогда три проволочных квадрата представляют собой три взаимно перпендикулярных сечения октаэдра, проходящих через его центр. Эти квадраты можно назвать по их вершинам:

• Первый квадрат: $V_1V_3V_2V_4$ (лежит в плоскости $z=0$)
• Второй квадрат: $V_1V_5V_2V_6$ (лежит в плоскости $y=0$)
• Третий квадрат: $V_3V_5V_4V_6$ (лежит в плоскости $x=0$)

Каждый из этих четырехугольников является квадратом, так как все его стороны являются ребрами октаэдра (и имеют равную длину $\sqrt{(a-0)^2+(0-a)^2+(0-0)^2} = a\sqrt{2}$), а его диагонали равны ($2a$).

Ответ: Три квадрата представляют собой три взаимно перпендикулярных центральных сечения октаэдра: $V_1V_3V_2V_4$, $V_1V_5V_2V_6$ и $V_3V_5V_4V_6$.

Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника?

Чтобы определить, сколько квадратов соединяется в каждой вершине, проанализируем, скольким из трех названных квадратов принадлежит каждая вершина октаэдра.

• Вершина $V_1(a, 0, 0)$ является вершиной квадрата $V_1V_3V_2V_4$ и квадрата $V_1V_5V_2V_6$. Таким образом, в этой вершине соединяются два квадрата.
• Вершина $V_3(0, a, 0)$ является вершиной квадрата $V_1V_3V_2V_4$ и квадрата $V_3V_5V_4V_6$. В этой вершине также соединяются два квадрата.

В силу симметрии правильного октаэдра, все его вершины равноправны. Следовательно, в каждой из 6 вершин многогранника соединяются по два квадрата.

Это также можно проверить с помощью простого подсчета: у трех квадратов всего $3 \times 4 = 12$ вершин. У октаэдра их 6. Чтобы получить 6 вершин из 12, нужно соединить их попарно ($12 / 6 = 2$).

Ответ: В каждой вершине многогранника соединяли по 2 квадрата.

Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник.

Для сборки модели октаэдра из трех проволочных квадратов необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Возьмите два квадрата. Мысленно пронумеруйте вершины каждого от 1 до 4 по часовой стрелке.
2. Совместите и спаяйте вершину 1 первого квадрата с вершиной 1 второго квадрата.
3. Спаяйте противолежащую вершину 3 первого квадрата с противолежащей вершиной 3 второго квадрата. В результате два квадрата окажутся соединенными в двух противоположных вершинах и будут расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях.
4. Возьмите третий квадрат. Его вершины также мысленно пронумеруйте от 1 до 4.
5. Вершину 1 третьего квадрата спаяйте с вершиной 2 первого квадрата.
6. Вершину 3 третьего квадрата спаяйте с вершиной 4 первого квадрата.
7. Вершину 2 третьего квадрата спаяйте с вершиной 2 второго квадрата.
8. Вершину 4 третьего квадрата спаяйте с вершиной 4 второго квадрата.

После выполнения всех соединений 12 вершин трех квадратов будут объединены попарно в 6 вершин итоговой фигуры. Каркас, который у вас получится, будет моделью правильного октаэдра.

Ответ: При правильной сборке из трех проволочных квадратов получается каркасная модель правильного октаэдра, у которого в каждой из 6 вершин сходятся ребра от двух разных квадратов.

11.13 Найдите значение выражения $ \frac{5}{6} + \frac{5}{18} - (3\frac{7}{9} - 2\frac{13}{15}) $.

Для нахождения значения выражения выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним вычитание в скобках: $3\frac{7}{9} - 2\frac{13}{15}$

Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 15 — это 45, так как $9 = 3^2$ и $15 = 3 \times 5$, а наименьшее общее кратное НОК(9, 15) = $3^2 \times 5 = 45$.

Приведем дроби к знаменателю 45:

$3\frac{7}{9} = 3\frac{7 \times 5}{9 \times 5} = 3\frac{35}{45}$

$2\frac{13}{15} = 2\frac{13 \times 3}{15 \times 3} = 2\frac{39}{45}$

Теперь выполним вычитание. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{35}{45}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{39}{45}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$3\frac{35}{45} = 2 + 1 + \frac{35}{45} = 2 + \frac{45}{45} + \frac{35}{45} = 2\frac{80}{45}$

Теперь вычитаем:

$2\frac{80}{45} - 2\frac{39}{45} = (2 - 2) + (\frac{80}{45} - \frac{39}{45}) = 0 + \frac{80 - 39}{45} = \frac{41}{45}$

2. Подставим полученное значение в исходное выражение: $\frac{5}{6} + \frac{5}{18} - \frac{41}{45}$

Теперь выполним оставшиеся действия. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{18}$ и $\frac{41}{45}$. Знаменатели: 6, 18, 45.

Разложим их на простые множители: $6 = 2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$, $45 = 3^2 \times 5$.

Наименьший общий знаменатель (НОК) равен $2 \times 3^2 \times 5 = 90$.

Приведем все дроби к знаменателю 90:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 15}{6 \times 15} = \frac{75}{90}$

$\frac{5}{18} = \frac{5 \times 5}{18 \times 5} = \frac{25}{90}$

$\frac{41}{45} = \frac{41 \times 2}{45 \times 2} = \frac{82}{90}$

Выполним сложение и вычитание:

$\frac{75}{90} + \frac{25}{90} - \frac{82}{90} = \frac{75 + 25 - 82}{90} = \frac{100 - 82}{90} = \frac{18}{90}$

3. Сократим полученную дробь.

Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 18.

$\frac{18}{90} = \frac{18 \div 18}{90 \div 18} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

11.14 Назовите какие-нибудь три дроби, заключенные между числами $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$.

Изобразите все пять дробей точками на координатной прямой, выбрав подходящий единичный отрезок.

Нахождение трех дробей

Чтобы найти дроби, заключенные между числами $1/5$ и $1/2$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10.

Приведем дроби к знаменателю 10:
$1/5 = (1 \cdot 2)/(5 \cdot 2) = 2/10$
$1/2 = (1 \cdot 5)/(2 \cdot 5) = 5/10$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти три дроби между $2/10$ и $5/10$. Между числителями 2 и 5 находятся только два целых числа: 3 и 4. Это дает нам только две дроби: $3/10$ и $4/10$. Нам же нужно найти три дроби.

Для этого увеличим общий знаменатель, например, в два раза. Возьмем знаменатель 20.

Приведем исходные дроби к знаменателю 20:
$1/5 = (1 \cdot 4)/(5 \cdot 4) = 4/20$
$1/2 = (1 \cdot 10)/(2 \cdot 10) = 10/20$

Теперь нужно найти три дроби, которые больше $4/20$, но меньше $10/20$. Числители таких дробей должны быть больше 4, но меньше 10. Например, мы можем выбрать числители 5, 6 и 7.

Таким образом, мы получаем три дроби: $5/20$, $6/20$ и $7/20$.

Ответ: $5/20$ (или $1/4$), $6/20$ (или $3/10$), $7/20$.

Изображение дробей на координатной прямой

Чтобы изобразить все пять дробей ($1/5$, $1/2$ и найденные $5/20$, $6/20$, $7/20$) на одной координатной прямой, приведем их все к общему знаменателю 20:

• $1/5 = 4/20$
• $5/20$
• $6/20$
• $7/20$
• $1/2 = 10/20$

Выберем единичный отрезок, который удобно разделить на 20 равных частей. Отметим на координатной прямой точки, соответствующие долям $4/20$, $5/20$, $6/20$, $7/20$ и $10/20$ от начала отсчета.

Ответ: Изображение представлено на координатной прямой выше.

11.15 Две моторные лодки одновременно отправляются по озеру навстречу друг другу от двух пристаней. Одна идёт со скоростью $20 \, \text{км/ч}$, а другая — со скоростью $24 \, \text{км/ч}$. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пристанями равно:

а) $88 \, \text{км}$;

б) $132 \, \text{км}$?

Для решения этой задачи сначала найдем скорость сближения двух моторных лодок. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

Обозначим скорость первой лодки как $v_1 = 20 \text{ км/ч}$, а скорость второй лодки как $v_2 = 24 \text{ км/ч}$.

Скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 20 \text{ км/ч} + 24 \text{ км/ч} = 44 \text{ км/ч}$.

Теперь, чтобы найти время $t$, через которое они встретятся, нужно разделить расстояние между пристанями $S$ на скорость сближения $v_{сбл}$ по формуле $t = S / v_{сбл}$.

а) Если расстояние между пристанями равно 88 км, то время до встречи составит:

$t = 88 \text{ км} / 44 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: через 2 часа.

б) Если расстояние между пристанями равно 132 км, то время до встречи составит:

$t = 132 \text{ км} / 44 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: через 3 часа.

11.16 Чтобы наносить воду из колодца 7-литровым ведром и заполнить бочку вместимостью 140 л, мальчику потребовалось 60 мин. Сколько времени ему понадобится на эту работу, если он возьмёт два пятилитровых ведра?

Для решения задачи сначала определим, сколько времени уходит у мальчика на один рейс к колодцу и обратно, когда он пользуется одним 7-литровым ведром.

1. Найдем количество рейсов, которое мальчик сделал с 7-литровым ведром, чтобы наполнить 140-литровую бочку:
$140 \text{ л} \div 7 \text{ л} = 20$ (рейсов).

2. Зная, что на 20 рейсов ушло 60 минут, найдем время, затрачиваемое на один рейс:
$60 \text{ мин} \div 20 \text{ рейсов} = 3$ (минуты на рейс).

Теперь рассчитаем, сколько времени понадобится, если мальчик будет использовать два пятилитровых ведра. Будем считать, что время одного рейса не изменится.

3. Определим, какой объем воды мальчик будет приносить за один рейс с двумя 5-литровыми ведрами:
$2 \times 5 \text{ л} = 10$ (литров за рейс).

4. Найдем новое количество рейсов, необходимое для заполнения бочки:
$140 \text{ л} \div 10 \text{ л} = 14$ (рейсов).

5. Рассчитаем общее время, которое потребуется мальчику на 14 рейсов:
$14 \text{ рейсов} \times 3 \text{ мин/рейс} = 42$ (минуты).

Ответ: 42 минуты.