Страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сколько у многогранника на рисунке 11.3 вершин видимых, а сколько — невидимых? Сколько рёбер? Сколько граней?

а) б) в) г) Рис. 11.3

Многогранник, изображенный на рисунке а), — это треугольная пирамида (тетраэдр).

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 4 вершины — 3 в основании и 1 наверху (апекс). В данном ракурсе все вершины являются видимыми. Следовательно, имеется 4 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: У пирамиды 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, идущих к апексу. Общее число рёбер: $3 + 3 = 6$.
• Грани: У фигуры 4 грани — 1 треугольное основание и 3 треугольные боковые грани. Общее число граней: $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4 видимых вершины, 0 невидимых вершин, 6 рёбер, 4 грани.

Многогранник, изображенный на рисунке б), — это пятиугольная бипирамида (два пятиугольных пирамиды, соединенных основаниями).

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 7 вершин — 1 верхний апекс, 1 нижний апекс и 5 вершин в общем пятиугольном основании. Все вершины на рисунке видимы. Следовательно, имеется 7 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: Фигура состоит из 5 рёбер верхнего конуса, 5 рёбер нижнего конуса и 5 рёбер в основании. Общее число рёбер: $5 + 5 + 5 = 15$.
• Грани: Все грани являются треугольниками. 5 граней образуют верхнюю пирамиду и 5 — нижнюю. Общее число граней: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 7 видимых вершин, 0 невидимых вершин, 15 рёбер, 10 граней.

Многогранник на рисунке в) является сложной фигурой, состоящей из усеченной пятиугольной пирамиды, на верхнем основании которой построена еще одна пятиугольная пирамида. Он изображен в виде каркасной модели, где видны все элементы.

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 1 вершина на самом верху, 5 вершин на среднем уровне (верхнее основание усеченной пирамиды) и 5 вершин на нижнем уровне (нижнее основание). Так как это каркасная модель, все вершины считаются видимыми. Общее число вершин: $1 + 5 + 5 = 11$. Следовательно, имеется 11 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: У фигуры 5 рёбер верхней пирамиды, 5 рёбер верхнего основания, 5 боковых рёбер усеченной пирамиды и 5 рёбер нижнего основания. Общее число рёбер: $5 + 5 + 5 + 5 = 20$.
• Грани: У фигуры 5 треугольных граней сверху, 5 боковых трапециевидных граней и 1 пятиугольная грань в основании. Общее число граней: $5 + 5 + 1 = 11$.

Ответ: 11 видимых вершин, 0 невидимых вершин, 20 рёбер, 11 граней.

Многогранник на рисунке г) — это пятиугольная пирамида, у которой невидимые рёбра изображены пунктирными линиями.

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У пирамиды 6 вершин: 1 апекс и 5 в основании. Видимыми являются апекс и 3 передние вершины основания, соединенные сплошными линиями. Две задние вершины основания, от которых отходят пунктирные линии, являются невидимыми. Следовательно, имеется $1 + 3 = 4$ видимых и 2 невидимых вершины.
• Рёбра: У пирамиды 5 рёбер в основании и 5 боковых рёбер, идущих к апексу. Общее число рёбер: $5 + 5 = 10$.
• Грани: У фигуры 1 пятиугольное основание и 5 треугольных боковых граней. Общее число граней: $1 + 5 = 6$.

Ответ: 4 видимых вершины, 2 невидимых вершины, 10 рёбер, 6 граней.

Наблюдаем (11.1–11.3)

11.1 Рассмотрите какой-нибудь многогранник и ответьте на вопросы:

1) Какую форму имеют его грани? Сколько их? Есть ли среди них равные?

2) Сколько у многогранника рёбер? Есть ли у него рёбра равной длины?

3) Сколько у многогранника вершин? Сколько рёбер выходит из каждой вершины? Есть ли среди них равные? Сколько граней сходится в каждой вершине многогранника?

Рассмотрим в качестве примера один из самых известных многогранников — куб (правильный гексаэдр).

1) Какую форму имеют его грани? Сколько их? Есть ли среди них равные?

Грани куба представляют собой плоские многоугольники. В случае куба, каждая грань является квадратом. У куба 6 граней: верхняя, нижняя и четыре боковые. Так как по определению куба все его грани являются равными квадратами, то все 6 граней равны между собой.

Ответ: грани имеют форму квадрата; их 6; все грани равны.

2) Сколько у многогранника рёбер? Есть ли у него рёбра равной длины?

Рёбра многогранника — это отрезки, которые являются сторонами его граней. Можно посчитать рёбра куба: 4 ребра у верхнего основания, 4 ребра у нижнего основания и 4 боковых ребра, соединяющих вершины оснований. Итого $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер. В кубе все рёбра имеют одинаковую длину.

Ответ: у куба 12 рёбер; да, все рёбра имеют равную длину.

3) Сколько у многогранника вершин? Сколько рёбер выходит из каждой вершины? Есть ли среди них равные? Сколько граней сходится в каждой вершине многогранника?

Вершины многогранника — это точки, в которых сходятся его рёбра. У куба 4 вершины на верхнем основании и 4 на нижнем, всего 8 вершин. Если рассмотреть любую вершину куба, можно увидеть, что в ней пересекаются три ребра. Поскольку куб — это правильный многогранник, все его вершины эквивалентны (равны в структурном смысле). Также в каждой вершине куба сходятся 3 грани (три квадрата).

Ответ: у куба 8 вершин; из каждой вершины выходит 3 ребра; все вершины эквивалентны; в каждой вершине сходится 3 грани.

11.2 Проведите наблюдение по следующему плану:

1) Возьмите куб и определите, сколько у куба граней, вершин, рёбер.

2) Определите число рёбер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине.

3) Поставьте куб на стол. Какие грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью? Сколько их? Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней гранью?

1) Возьмите куб и определите, сколько у куба граней, вершин, рёбер.

Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Проведём подсчёт его элементов:
- Грани: Это плоские поверхности куба. У куба есть 1 верхняя, 1 нижняя и 4 боковые грани. Всего граней: $1 + 1 + 4 = 6$.
- Вершины: Это угловые точки, где сходятся рёбра. У куба 4 вершины на верхней грани и 4 вершины на нижней. Всего вершин: $4 + 4 = 8$.
- Рёбра: Это отрезки, соединяющие вершины и являющиеся сторонами граней. У куба 4 ребра на верхней грани, 4 ребра на нижней и 4 вертикальных ребра, соединяющих их. Всего рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.
Ответ: у куба $6$ граней, $8$ вершин и $12$ рёбер.

2) Определите число рёбер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине.

Рассмотрим любую из вершин куба. В каждой вершине пересекаются рёбра и грани.
- В каждой вершине сходятся ровно $3$ ребра. Эти рёбра взаимно перпендикулярны.
- В каждой вершине также сходятся ровно $3$ грани.
Это свойство одинаково для всех восьми вершин куба.
Ответ: в каждой вершине куба сходятся $3$ ребра и $3$ грани.

3) Поставьте куб на стол. Какие грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью? Сколько их? Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней гранью?

Когда куб стоит на столе, его основание — это нижняя грань. Нижняя грань является квадратом и имеет 4 ребра.
- Какие грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью? Каждое из четырёх рёбер нижней грани одновременно является ребром одной из боковых граней. Следовательно, все четыре боковые грани (передняя, задняя, левая и правая) имеют общие рёбра с нижней гранью.
- Сколько их? Таких граней $4$.
- Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней гранью? Из оставшихся граней (верхней и самой нижней) с нижней гранью не имеет общих рёбер только одна — верхняя грань. Она расположена параллельно нижней грани.
Такая грань $1$.
Ответ: $4$ боковые грани имеют общие рёбра с нижней гранью. $1$ грань (верхняя) не имеет общих рёбер с нижней гранью.