Номер 4, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.1. Геометрические тела и их изображение. Вопросы - номер 4, страница 248.

Условие.

Сколько у многогранника на рисунке 11.3 вершин видимых, а сколько — невидимых? Сколько рёбер? Сколько граней?

а) б) в) г) Рис. 11.3

Решение 6.

а)

Многогранник, изображенный на рисунке а), — это треугольная пирамида (тетраэдр).

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 4 вершины — 3 в основании и 1 наверху (апекс). В данном ракурсе все вершины являются видимыми. Следовательно, имеется 4 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: У пирамиды 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, идущих к апексу. Общее число рёбер: $3 + 3 = 6$.
• Грани: У фигуры 4 грани — 1 треугольное основание и 3 треугольные боковые грани. Общее число граней: $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4 видимых вершины, 0 невидимых вершин, 6 рёбер, 4 грани.

б)

Многогранник, изображенный на рисунке б), — это пятиугольная бипирамида (два пятиугольных пирамиды, соединенных основаниями).

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 7 вершин — 1 верхний апекс, 1 нижний апекс и 5 вершин в общем пятиугольном основании. Все вершины на рисунке видимы. Следовательно, имеется 7 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: Фигура состоит из 5 рёбер верхнего конуса, 5 рёбер нижнего конуса и 5 рёбер в основании. Общее число рёбер: $5 + 5 + 5 = 15$.
• Грани: Все грани являются треугольниками. 5 граней образуют верхнюю пирамиду и 5 — нижнюю. Общее число граней: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 7 видимых вершин, 0 невидимых вершин, 15 рёбер, 10 граней.

в)

Многогранник на рисунке в) является сложной фигурой, состоящей из усеченной пятиугольной пирамиды, на верхнем основании которой построена еще одна пятиугольная пирамида. Он изображен в виде каркасной модели, где видны все элементы.

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У фигуры 1 вершина на самом верху, 5 вершин на среднем уровне (верхнее основание усеченной пирамиды) и 5 вершин на нижнем уровне (нижнее основание). Так как это каркасная модель, все вершины считаются видимыми. Общее число вершин: $1 + 5 + 5 = 11$. Следовательно, имеется 11 видимых и 0 невидимых вершин.
• Рёбра: У фигуры 5 рёбер верхней пирамиды, 5 рёбер верхнего основания, 5 боковых рёбер усеченной пирамиды и 5 рёбер нижнего основания. Общее число рёбер: $5 + 5 + 5 + 5 = 20$.
• Грани: У фигуры 5 треугольных граней сверху, 5 боковых трапециевидных граней и 1 пятиугольная грань в основании. Общее число граней: $5 + 5 + 1 = 11$.

Ответ: 11 видимых вершин, 0 невидимых вершин, 20 рёбер, 11 граней.

г)

Многогранник на рисунке г) — это пятиугольная пирамида, у которой невидимые рёбра изображены пунктирными линиями.

Для определения количества элементов посчитаем их:

• Вершины: У пирамиды 6 вершин: 1 апекс и 5 в основании. Видимыми являются апекс и 3 передние вершины основания, соединенные сплошными линиями. Две задние вершины основания, от которых отходят пунктирные линии, являются невидимыми. Следовательно, имеется $1 + 3 = 4$ видимых и 2 невидимых вершины.
• Рёбра: У пирамиды 5 рёбер в основании и 5 боковых рёбер, идущих к апексу. Общее число рёбер: $5 + 5 = 10$.
• Грани: У фигуры 1 пятиугольное основание и 5 треугольных боковых граней. Общее число граней: $1 + 5 = 6$.

Ответ: 4 видимых вершины, 2 невидимых вершины, 10 рёбер, 6 граней.