Страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею записывать, читать и сравнивать десятичные дроби.

1) Запишите какую-нибудь десятичную дробь с четырьмя десятичными знаками и прочитайте её.

2) а) Запишите в виде десятичной дроби: $\frac{39}{100}$; $\frac{39}{1000}$; $\frac{309}{100}$.

б) Представьте в виде обыкновенной дроби число: 0,3; 0,5; 2,48; 0,015.

1)

Десятичная дробь с четырьмя десятичными знаками — это дробь, у которой после запятой стоят четыре цифры. В качестве примера можно записать число 12,3456.

Это число читается так: «двенадцать целых, три тысячи четыреста пятьдесят шесть десятитысячных».

Ответ: 12,3456 (двенадцать целых, три тысячи четыреста пятьдесят шесть десятитысячных).

2) а)

Чтобы записать обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в виде десятичной, нужно в числителе отделить запятой справа столько цифр, сколько нулей в знаменателе. Если цифр в числителе не хватает, слева от них дописывают недостающие нули.

$\frac{39}{100}$: в знаменателе 100 (два нуля), поэтому в десятичной дроби должно быть два знака после запятой. Получаем 0,39.

$\frac{39}{1000}$: в знаменателе 1000 (три нуля), поэтому должно быть три знака после запятой. В числителе «39» всего две цифры, поэтому добавляем перед ними один ноль. Получаем 0,039.

$\frac{309}{100}$: в знаменателе 100 (два нуля), поэтому отделяем запятой два знака справа в числителе. Получаем 3,09. Другой способ — выделить целую часть: $\frac{309}{100} = 3\frac{9}{100} = 3,09$.

Ответ: $\frac{39}{100} = 0,39$; $\frac{39}{1000} = 0,039$; $\frac{309}{100} = 3,09$.

б)

Чтобы представить десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно записать число без запятой в числитель, а в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько знаков после запятой. Если у десятичной дроби есть целая часть, она становится целой частью смешанного числа. После этого, если возможно, дробь нужно сократить.

$0,3$: один знак после запятой, значит, в знаменателе 10. Получаем дробь $\frac{3}{10}$. Она несократимая.

$0,5$: один знак после запятой, значит, в знаменателе 10. Получаем $\frac{5}{10}$. Сокращаем числитель и знаменатель на 5: $\frac{5:5}{10:5} = \frac{1}{2}$.

$2,48$: целая часть равна 2. В дробной части «48» два знака, значит, в знаменателе 100. Получаем смешанное число $2\frac{48}{100}$. Сокращаем дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{48:4}{100:4} = \frac{12}{25}$. Итого получаем $2\frac{12}{25}$.

$0,015$: три знака после запятой, значит, в знаменателе 1000. Получаем $\frac{15}{1000}$. Сокращаем дробь на 5: $\frac{15:5}{1000:5} = \frac{3}{200}$.

Ответ: $0,3 = \frac{3}{10}$; $0,5 = \frac{1}{2}$; $2,48 = 2\frac{12}{25}$; $0,015 = \frac{3}{200}$.

2. Сравните числа:

а) $2,003$ и $1,987$;

б) $7,366$ и $7,41$;

в) $0,405$ и $0,4050$.

а) Чтобы сравнить десятичные дроби 2,003 и 1,987, в первую очередь необходимо сравнить их целые части (цифры до запятой). Целая часть числа 2,003 равна 2, а целая часть числа 1,987 равна 1. Поскольку $2 > 1$, то и всё число 2,003 больше числа 1,987.
Ответ: $2,003 > 1,987$.

б) Сравним числа 7,366 и 7,41. Их целые части равны (7 = 7). В этом случае нужно сравнивать дробные части поразрядно, слева направо. Сравним цифры в разряде десятых: у числа 7,366 это 3, а у числа 7,41 это 4. Так как $3 < 4$, то число 7,366 меньше, чем 7,41. Сравнение следующих разрядов уже не требуется.
Ответ: $7,366 < 7,41$.

в) Сравним числа 0,405 и 0,4050. Целые части обоих чисел равны 0. Сравним их дробные части. Чтобы сравнение было наглядным, уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль в конце первого числа (это не изменит его величину): 0,405 = 0,4050. Теперь видно, что числа полностью совпадают. Следовательно, они равны.
Ответ: $0,405 = 0,4050$.

Знаю правила округления десятичных дробей и умею применять их.

3. Округлите число $2.73852$ до единиц, до десятых, до сотых, до тысячных.

Для округления десятичной дроби до определённого разряда необходимо посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда:
• если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все следующие за ней цифры отбрасывают.
• если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу, а все следующие за ней цифры отбрасывают.

до единиц
Округляем число $2,73852$ до единиц (до целых). Цифра в разряде единиц — $2$. Справа от неё стоит цифра $7$. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде единиц увеличиваем на $1$: $2 + 1 = 3$. Все цифры после запятой отбрасываем.
$2,73852 \approx 3$.
Ответ: $3$.

до десятых
Округляем число $2,73852$ до десятых. Цифра в разряде десятых — $7$. Справа от неё стоит цифра $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений. Все цифры правее разряда десятых отбрасываем.
$2,73852 \approx 2,7$.
Ответ: $2,7$.

до сотых
Округляем число $2,73852$ до сотых. Цифра в разряде сотых — $3$. Справа от неё стоит цифра $8$. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на $1$: $3 + 1 = 4$. Все цифры правее разряда сотых отбрасываем.
$2,73852 \approx 2,74$.
Ответ: $2,74$.

до тысячных
Округляем число $2,73852$ до тысячных. Цифра в разряде тысячных — $8$. Справа от неё стоит цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на $1$: $8 + 1 = 9$. Все цифры правее разряда тысячных отбрасываем.
$2,73852 \approx 2,739$.
Ответ: $2,739$.

Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей; умею складывать и вычитать десятичные дроби.

4. На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите, как складывают и вычитают десятичные дроби.

Сложение

Чтобы сложить десятичные дроби, например, 24,9 и 8,23, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Уравнять количество знаков после запятой. У числа 24,9 один знак после запятой, а у числа 8,23 — два. Допишем к числу 24,9 справа ноль, чтобы количество знаков после запятой стало одинаковым: $24,9 = 24,90$.
2. Записать числа в столбик так, чтобы запятая находилась строго под запятой. При этом соответствующие разряды окажутся друг под другом.
3. Выполнить сложение так, как если бы это были натуральные числа, не обращая внимания на запятую.
4. В полученной сумме поставить запятую под запятыми в исходных числах.

Применим это правило для сложения чисел 24,9 и 8,23:

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 24,90 \\ 8,23 \\ \hline 33,13 \end{array} $

Складываем поразрядно справа налево:
Сотые: $0 + 3 = 3$.
Десятые: $9 + 2 = 11$. Записываем 1 в разряд десятых, а 1 (единицу) переносим в следующий, более старший разряд (единиц).
Единицы: $4 + 8 + 1 = 13$. Записываем 3 в разряд единиц, а 1 (десяток) переносим в разряд десятков.
Десятки: $2 + 1 = 3$.
Ставим в результате запятую под запятыми.

Ответ: $24,9 + 8,23 = 33,13$.

Вычитание

Чтобы вычесть одну десятичную дробь из другой, например, 8,23 из 24,9, нужно:

1. Уравнять количество знаков после запятой в уменьшаемом и вычитаемом. Как и в случае со сложением, представим 24,9 в виде 24,90.
2. Записать вычитаемое под уменьшаемым в столбик так, чтобы запятая находилась под запятой.
3. Выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, как с натуральными числами.
4. В полученной разности поставить запятую под запятыми.

Выполним вычитание в столбик:

$ \begin{array}{r} - \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 24,90 \\ 8,23 \\ \hline 16,67 \end{array} $

Вычитаем поразрядно справа налево:
Сотые: из 0 вычесть 3 нельзя. Занимаем 1 из разряда десятых (у 9 десятых). $10 - 3 = 7$.
Десятые: в разряде десятых уменьшаемого осталось $9 - 1 = 8$. Вычитаем: $8 - 2 = 6$.
Единицы: из 4 вычесть 8 нельзя. Занимаем 1 из разряда десятков (у 2 десятков). $14 - 8 = 6$.
Десятки: в разряде десятков уменьшаемого осталось $2 - 1 = 1$. Вычитаем: $1 - 0 = 1$.
Ставим в результате запятую под запятыми.

Ответ: $24,9 - 8,23 = 16,67$.

5. Найдите сумму $3,005 + 0,265 + 18,79$, выполнив вычисления столбиком.

Для того чтобы сложить десятичные дроби столбиком, нужно записать их так, чтобы запятые находились друг под другом. Это означает, что соответствующие разряды (единицы под единицами, десятые под десятыми и т.д.) также окажутся в одном столбце.

Запишем числа $3,005$, $0,265$ и $18,79$. Чтобы выравнивание было наглядным, уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль в конец числа $18,79$, получив $18,790$.

Теперь выполним сложение в столбик:

 3,005+ 0,265 18,790------- 22,060 

Проведем вычисления по разрядам, начиная справа:

1. Складываем тысячные: $5 + 5 + 0 = 10$. Пишем $0$, $1$ переносим в следующий разряд (сотые).
2. Складываем сотые: $0 + 6 + 9 + 1$ (из переноса) $= 16$. Пишем $6$, $1$ переносим в следующий разряд (десятые).
3. Складываем десятые: $0 + 2 + 7 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переносим в следующий разряд (единицы). Ставим запятую в результате под запятыми слагаемых.
4. Складываем единицы: $3 + 0 + 8 + 1$ (из переноса) $= 12$. Пишем $2$, $1$ переносим в следующий разряд (десятки).
5. Складываем десятки: $1 + 1$ (из переноса) $= 2$. Пишем $2$.

В результате получаем $22,060$. Конечный ноль в дробной части числа можно отбросить.

Ответ: 22,06.

Умею умножать и делить дроби на 10, 100, 1000, ...

6. Вычислите:

а) $7,045 \cdot 100$;

б) $0,8 \cdot 1000$;

в) $25,14 : 10$;

г) $6,38 : 100$.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков вправо, сколько нулей в множителе, то есть на два знака. Перемещаем запятую в числе 7,045 на две позиции вправо.

$7,045 \cdot 100 = 704,5$

Ответ: 704,5

б) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, нужно перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. В числе 0,8 после запятой только одна цифра. Чтобы перенести запятую на три знака, нам нужно добавить справа недостающие нули (в данном случае два нуля).

$0,8 \cdot 1000 = 800$

Ответ: 800

в) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей в делителе, то есть на один знак. Перемещаем запятую в числе 25,14 на одну позицию влево.

$25,14 : 10 = 2,514$

Ответ: 2,514

г) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака влево. В числе 6,38 слева от запятой только одна цифра. Чтобы перенести запятую на два знака, нам нужно добавить слева недостающие нули (в данном случае один ноль).

$6,38 : 100 = 0,0638$

Ответ: 0,0638

7. Выразите:

а) 1,35 км в метрах;

б) 730 г в килограммах.

а) Для того чтобы перевести километры в метры, необходимо знать, что в одном километре содержится 1000 метров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Чтобы найти, сколько метров в 1,35 км, нужно умножить это число на 1000:
$1,35 \times 1000 = 1350 \text{ м}$
Ответ: 1350 м.

б) Для того чтобы перевести граммы в килограммы, нужно знать, что в одном килограмме содержится 1000 граммов.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Следовательно, 1 грамм составляет одну тысячную часть килограмма:
$1 \text{ г} = \frac{1}{1000} \text{ кг} = 0,001 \text{ кг}$
Чтобы найти, сколько килограммов в 730 г, нужно разделить это число на 1000:
$730 \div 1000 = 0,73 \text{ кг}$
Ответ: 0,73 кг.

Знаю правило умножения десятичных дробей; умею умножать десятичные дроби.

8. Расскажите, как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь; на натуральное число. Вычислите:

a) $9,38 \cdot 1,5$;

б) $0,06 \cdot 50$;

в) $0,3^3$.

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, необходимо:

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (как будто это натуральные числа).
2. В полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

При умножении десятичной дроби на натуральное число правило, по сути, то же самое. Натуральное число можно считать десятичной дробью, у которой дробная часть равна нулю (то есть 0 знаков после запятой). Поэтому, чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. Умножить их, не обращая внимания на запятую.
2. В полученном произведении отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби.

Вычислим:

а) $9,38 \cdot 1,5$

1. Умножим числа как натуральные: $938 \cdot 15 = 14070$.

2. В первом множителе ($9,38$) две цифры после запятой, во втором ($1,5$) — одна. Всего $2 + 1 = 3$ цифры.

3. Отделяем в произведении $14070$ три цифры справа, получаем $14,070$. Конечный ноль в дробной части можно отбросить.

$9,38 \cdot 1,5 = 14,07$.

Ответ: $14,07$

б) $0,06 \cdot 50$

1. Умножим числа, не обращая внимания на запятую: $6 \cdot 50 = 300$.

2. В десятичной дроби $0,06$ две цифры после запятой. В натуральном числе $50$ цифр после запятой нет.

3. Отделяем в произведении $300$ две цифры справа, получаем $3,00$, что равно $3$.

$0,06 \cdot 50 = 3$.

Ответ: $3$

в) $0,3^3$

Возведение в куб означает умножение числа на само себя три раза: $0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3$.

1. Сначала выполним первое умножение: $0,3 \cdot 0,3$.

$3 \cdot 3 = 9$. В обоих множителях по одной цифре после запятой, значит, в результате их будет $1+1=2$. Получаем $0,09$.

2. Теперь результат умножим на $0,3$: $0,09 \cdot 0,3$.

$9 \cdot 3 = 27$. В первом множителе ($0,09$) две цифры после запятой, во втором ($0,3$) — одна. Всего $2+1=3$ цифры. Получаем $0,027$.

$0,3^3 = 0,027$.

Ответ: $0,027$