Страница 237 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.77 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Коробка конфет весит 0,6 кг, а пачка печенья – 0,25 кг. В бандероль можно упаковать не более 2 кг.

1) Можно ли отправить в одной бандероли 3 коробки конфет; 4 коробки конфет; 8 пачек печенья; 4 пачки печенья и 2 коробки конфет?

2) Составьте другие наборы из конфет и печенья, которые можно упаковать в одну бандероль.

1) Можно ли отправить в одной бандероли 3 коробки конфет; 4 коробки конфет; 8 пачек печенья; 4 пачки печенья и 2 коробки конфет?

Для решения этой задачи нужно рассчитать общий вес каждого набора и сравнить его с максимально допустимым весом бандероли, который составляет 2 кг.

- 3 коробки конфет:
Вес одной коробки конфет — 0,6 кг. Вес трех коробок составляет: $3 \times 0,6 = 1,8$ кг.
Поскольку $1,8 \text{ кг} \le 2 \text{ кг}$, такой набор отправить можно.

- 4 коробки конфет:
Вес четырех коробок составляет: $4 \times 0,6 = 2,4$ кг.
Поскольку $2,4 \text{ кг} > 2 \text{ кг}$, такой набор отправить нельзя.

- 8 пачек печенья:
Вес одной пачки печенья — 0,25 кг. Вес восьми пачек составляет: $8 \times 0,25 = 2,0$ кг.
Поскольку $2,0 \text{ кг} \le 2 \text{ кг}$, такой набор отправить можно.

- 4 пачки печенья и 2 коробки конфет:
Суммарный вес набора составляет: $(4 \times 0,25) + (2 \times 0,6) = 1,0 + 1,2 = 2,2$ кг.
Поскольку $2,2 \text{ кг} > 2 \text{ кг}$, такой набор отправить нельзя.

Ответ: 3 коробки конфет отправить можно; 4 коробки конфет отправить нельзя; 8 пачек печенья отправить можно; 4 пачки печенья и 2 коробки конфет отправить нельзя.

2) Составьте другие наборы из конфет и печенья, которые можно упаковать в одну бандероль.

Чтобы составить другие наборы, необходимо найти такие комбинации коробок конфет (вес 0,6 кг) и пачек печенья (вес 0,25 кг), чтобы их общий вес не превышал 2 кг. Пусть $x$ — количество коробок конфет, а $y$ — количество пачек печенья. Тогда должно выполняться неравенство: $x \cdot 0,6 + y \cdot 0,25 \le 2$.

Приведем несколько возможных вариантов наборов:

Вариант 1: 1 коробка конфет и 5 пачек печенья.
Проверка веса: $1 \times 0,6 + 5 \times 0,25 = 0,6 + 1,25 = 1,85$ кг. Это меньше 2 кг.

Вариант 2: 2 коробки конфет и 3 пачки печенья.
Проверка веса: $2 \times 0,6 + 3 \times 0,25 = 1,2 + 0,75 = 1,95$ кг. Это меньше 2 кг.

Вариант 3: 2 коробки конфет и 2 пачки печенья.
Проверка веса: $2 \times 0,6 + 2 \times 0,25 = 1,2 + 0,5 = 1,7$ кг. Это меньше 2 кг.

Вариант 4: 1 коробка конфет и 2 пачки печенья.
Проверка веса: $1 \times 0,6 + 2 \times 0,25 = 0,6 + 0,5 = 1,1$ кг. Это меньше 2 кг.

Вариант 5: Только печенье, например, 6 пачек.
Проверка веса: $6 \times 0,25 = 1,5$ кг. Это меньше 2 кг.

Ответ: Например, можно упаковать: 1 коробку конфет и 5 пачек печенья; или 2 коробки конфет и 3 пачки печенья; или 6 пачек печенья.

10.78 Найдите значение выражения:

а) $0,4 \cdot 2,55 \cdot 1,6;$

б) $(1,34 + 0,9) \cdot 5,4;$

в) $40 \cdot (7,85 - 3,9);$

г) $17 - 3,44 \cdot 3,5;$

д) $2,15 \cdot (3,9 + 0,18) \cdot 5;$

е) $20,3 - 5,7 \cdot (2,4 + 0,43).$

а) $0,4 \cdot 2,55 \cdot 1,6$
Сначала выполним первое умножение: $0,4 \cdot 2,55 = 1,02$.
Затем результат умножим на 1,6: $1,02 \cdot 1,6 = 1,632$.
Ответ: 1,632

б) $(1,34 + 0,9) \cdot 5,4$
Первым действием выполним сложение в скобках: $1,34 + 0,9 = 2,24$.
Затем выполним умножение: $2,24 \cdot 5,4 = 12,096$.
Ответ: 12,096

в) $40 \cdot (7,85 - 3,9)$
Первым действием выполним вычитание в скобках: $7,85 - 3,9 = 3,95$.
Затем выполним умножение: $40 \cdot 3,95 = 158$.
Ответ: 158

г) $17 - 3,44 \cdot 3,5$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение: $3,44 \cdot 3,5 = 12,04$.
Затем выполняем вычитание: $17 - 12,04 = 4,96$.
Ответ: 4,96

д) $2,15 \cdot (3,9 + 0,18) \cdot 5$
Первым действием выполним сложение в скобках: $3,9 + 0,18 = 4,08$.
Получаем выражение: $2,15 \cdot 4,08 \cdot 5$.
Удобнее сначала умножить $2,15$ на $5$: $2,15 \cdot 5 = 10,75$.
Затем выполним оставшееся умножение: $10,75 \cdot 4,08 = 43,86$.
Ответ: 43,86

е) $20,3 - 5,7 \cdot (2,4 + 0,43)$
Первым действием выполним сложение в скобках: $2,4 + 0,43 = 2,83$.
Затем, согласно порядку действий, выполним умножение: $5,7 \cdot 2,83 = 16,131$.
Последним действием выполним вычитание: $20,3 - 16,131 = 4,169$.
Ответ: 4,169

10.79 Вычислите:

а) $2.1^2 - 2.1;$

б) $0.9 - 0.9^2;$

в) $2 \cdot 0.8^2;$

г) $(2 \cdot 0.8)^2;$

д) $2.5^2 - 0.5^2;$

е) $(2.5 - 0.5)^2.$

а) $2,1^2 - 2,1$. Чтобы упростить вычисления, вынесем общий множитель $2,1$ за скобки: $2,1 \cdot (2,1 - 1)$. Выполним вычитание в скобках: $2,1 - 1 = 1,1$. Теперь выполним умножение: $2,1 \cdot 1,1 = 2,31$.
Ответ: $2,31$.

б) $0,9 - 0,9^2$. Вынесем общий множитель $0,9$ за скобки: $0,9 \cdot (1 - 0,9)$. Выполним вычитание в скобках: $1 - 0,9 = 0,1$. Теперь выполним умножение: $0,9 \cdot 0,1 = 0,09$.
Ответ: $0,09$.

в) $2 \cdot 0,8^2$. Согласно порядку действий, сначала выполним возведение в степень: $0,8^2 = 0,64$. Затем выполним умножение: $2 \cdot 0,64 = 1,28$.
Ответ: $1,28$.

г) $(2 \cdot 0,8)^2$. Сначала выполним действие в скобках: $2 \cdot 0,8 = 1,6$. Затем возведем полученный результат в квадрат: $1,6^2 = 2,56$.
Ответ: $2,56$.

д) $2,5^2 - 0,5^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=2,5$ и $b=0,5$. Получаем: $(2,5 - 0,5)(2,5 + 0,5) = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: $6$.

е) $(2,5 - 0,5)^2$. Сначала выполним действие в скобках: $2,5 - 0,5 = 2$. Затем возведем результат в квадрат: $2^2 = 4$.
Ответ: $4$.

10.80 а) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 её длины. Сколько метров ленты осталось?

б) Уроки и перемены длятся 6 ч. На уроки уходит 0,75 этого времени. Сколько времени приходится на все перемены?

а)

Чтобы найти, сколько метров ленты осталось, сначала нужно определить длину отрезанного куска. Он составляет 0,3 от всей длины ленты.
1. Находим длину отрезанного куска:
$15 \text{ м} \times 0,3 = 4,5 \text{ м}$.
2. Теперь вычитаем длину отрезанного куска из общей длины ленты, чтобы найти остаток:
$15 \text{ м} - 4,5 \text{ м} = 10,5 \text{ м}$.

Можно решить задачу и вторым способом. Если отрезали 0,3 всей длины, то оставшаяся часть составляет $1 - 0,3 = 0,7$ от всей ленты.
1. Находим, какая часть ленты осталась:
$1 - 0,3 = 0,7$.
2. Находим длину оставшейся части:
$15 \text{ м} \times 0,7 = 10,5 \text{ м}$.
Ответ: 10,5 м.

б)

Чтобы найти, сколько времени приходится на все перемены, можно сначала вычислить время, затраченное на уроки, а затем вычесть его из общего времени.
1. Находим время, которое уходит на уроки. Оно составляет 0,75 от общего времени:
$6 \text{ ч} \times 0,75 = 4,5 \text{ ч}$.
2. Вычитаем время уроков из общего времени, чтобы найти время, приходящееся на перемены:
$6 \text{ ч} - 4,5 \text{ ч} = 1,5 \text{ ч}$.

Второй способ заключается в том, чтобы сначала найти долю времени, приходящуюся на перемены.
1. Если на уроки уходит 0,75 времени, то на перемены приходится:
$1 - 0,75 = 0,25$.
2. Теперь находим, сколько это составляет в часах:
$6 \text{ ч} \times 0,25 = 1,5 \text{ ч}$.
Значение 1,5 часа можно также выразить как 1 час 30 минут, так как $0,5 \text{ ч} = 0,5 \times 60 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$.
Ответ: 1,5 ч.

10.81 Выполните действия:

a) $0,14 \cdot 0,35 \cdot 2,2;$

б) $0,8 \cdot 0,375 \cdot 1,93;$

в) $4,4 \cdot 2,25 \cdot 10,2;$

г) $4 \cdot 0,15 \cdot 3,6 \cdot 0,001;$

д) $32 \cdot 0,03 \cdot 1,1 \cdot 0,005;$

е) $1,6 \cdot 0,375 \cdot 0,05 \cdot 3,3.$

а) $0,14 \cdot 0,35 \cdot 2,2$
Выполним умножение последовательно:
1) $0,14 \cdot 0,35 = 0,049$
2) $0,049 \cdot 2,2 = 0,1078$
Ответ: 0,1078

б) $0,8 \cdot 0,375 \cdot 1,93$
Выполним умножение последовательно. Удобно представить $0,375$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$.
1) $0,8 \cdot 0,375 = \frac{8}{10} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{10} = 0,3$
2) $0,3 \cdot 1,93 = 0,579$
Ответ: 0,579

в) $4,4 \cdot 2,25 \cdot 10,2$
Выполним умножение последовательно. Удобно представить $2,25$ как обыкновенную дробь $\frac{9}{4}$.
1) $4,4 \cdot 2,25 = 4,4 \cdot \frac{9}{4} = 1,1 \cdot 9 = 9,9$
2) $9,9 \cdot 10,2 = 100,98$
Ответ: 100,98

г) $4 \cdot 0,15 \cdot 3,6 \cdot 0,001$
Выполним умножение последовательно:
1) $4 \cdot 0,15 = 0,6$
2) $0,6 \cdot 3,6 = 2,16$
3) $2,16 \cdot 0,001 = 0,00216$
Ответ: 0,00216

д) $32 \cdot 0,03 \cdot 1,1 \cdot 0,005$
Сгруппируем множители для удобства вычислений:
1) $32 \cdot 0,005 = 0,16$
2) $0,03 \cdot 1,1 = 0,033$
3) $0,16 \cdot 0,033 = 0,00528$
Ответ: 0,00528

е) $1,6 \cdot 0,375 \cdot 0,05 \cdot 3,3$
Сгруппируем множители для удобства вычислений. Представим $0,375$ как $\frac{3}{8}$.
1) $1,6 \cdot 0,375 = 1,6 \cdot \frac{3}{8} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$
2) $0,05 \cdot 3,3 = 0,165$
3) $0,6 \cdot 0,165 = 0,099$
Ответ: 0,099

10.82 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Разберите, как выполнено умножение числа 48 на 0,5 и на 0,25:

$48 \cdot 0,5 = 48 \cdot \frac{1}{2} = 48 : 2 = 24; \quad 48 \cdot 0,25 = 48 \cdot \frac{1}{4} = 48 : 4 = 12;$

Вы видите, что умножение свелось к делению на 2 и на 4 соответственно.

2) Вычислите устно:

а) $116 \cdot 0,5;$

б) $84 \cdot 0,25;$

в) $780 \cdot 0,1;$

г) $1008 \cdot 0,25.$

а) Чтобы умножить число на $0,5$, можно представить $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$. Умножение на $\frac{1}{2}$ равносильно делению на $2$.

$116 \cdot 0,5 = 116 : 2 = 58$.

Ответ: $58$.

б) Чтобы умножить число на $0,25$, можно представить $0,25$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$. Умножение на $\frac{1}{4}$ равносильно делению на $4$.

$84 \cdot 0,25 = 84 : 4 = 21$.

Ответ: $21$.

в) Чтобы умножить число на $0,1$, можно представить $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$. Умножение на $\frac{1}{10}$ равносильно делению на $10$.

$780 \cdot 0,1 = 780 : 10 = 78$.

Ответ: $78$.

г) Как и в пункте б), умножение на $0,25$ равносильно делению на $4$, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.

$1008 \cdot 0,25 = 1008 : 4 = 252$.

Ответ: $252$.

10.83 Турист шёл пешком полтора часа. Первые полчаса он шёл со скоростью $5.4\text{ км/ч}$, затем $48\text{ мин} –$ со скоростью $4.5\text{ км/ч}$, а оставшееся время – со скоростью $5\text{ км/ч}$. Какое расстояние прошёл турист за эти полтора часа?

Для решения задачи необходимо найти расстояние, пройденное туристом на каждом из трёх участков пути, а затем сложить эти расстояния. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Расстояние, пройденное за первые полчаса.

Первые полчаса (0,5 часа) турист шёл со скоростью 5,4 км/ч. Найдём расстояние $S_1$, которое он прошёл за это время:

$S_1 = 5,4 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 2,7 \text{ км}$.

2. Расстояние, пройденное за следующие 48 минут.

Далее турист шёл 48 минут со скоростью 4,5 км/ч. Сначала переведём время из минут в часы, зная, что в одном часе 60 минут:

$t_2 = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0,8 \text{ ч}$.

Теперь вычислим расстояние $S_2$:

$S_2 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 0,8 \text{ ч} = 3,6 \text{ км}$.

3. Расстояние, пройденное за оставшееся время.

Общее время пути туриста составляет полтора часа, то есть 1,5 часа. Найдём оставшееся время $t_3$, вычтя из общего времени время первых двух участков:

$t_3 = 1,5 \text{ ч} - t_1 - t_2 = 1,5 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} - 0,8 \text{ ч} = 0,2 \text{ ч}$.

На этом участке турист шёл со скоростью 5 км/ч. Вычислим расстояние $S_3$:

$S_3 = 5 \text{ км/ч} \cdot 0,2 \text{ ч} = 1 \text{ км}$.

4. Общее расстояние.

Чтобы найти общее расстояние $S_{общ}$, которое прошёл турист, сложим расстояния, пройденные на каждом из трёх участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 2,7 \text{ км} + 3,6 \text{ км} + 1 \text{ км} = 7,3 \text{ км}$.

Ответ: 7,3 км.