Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.55 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните деление:

a) $27,13 : 10$, $210,36 : 100$, $45,56 : 1000$;

б) $104,85 : 10$, $38,5 : 100$, $562,7 : 1000$;

в) $9,28 : 10$, $104,7 : 100$, $36,128 : 1000$;

г) $0,36 : 10$, $4,931 : 100$, $900,5 : 1000$.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы в делителе. Если цифр слева от запятой не хватает, то перед ними дописывают необходимое количество нулей.

а)

$27,13 : 10 = 2,713$ (переносим запятую на 1 знак влево).
Ответ: 2,713.

$210,36 : 100 = 2,1036$ (переносим запятую на 2 знака влево).
Ответ: 2,1036.

$45,56 : 1000 = 0,04556$ (переносим запятую на 3 знака влево, дописывая один ноль слева).
Ответ: 0,04556.

б)

$104,85 : 10 = 10,485$ (переносим запятую на 1 знак влево).
Ответ: 10,485.

$38,5 : 100 = 0,385$ (переносим запятую на 2 знака влево).
Ответ: 0,385.

$562,7 : 1000 = 0,5627$ (переносим запятую на 3 знака влево).
Ответ: 0,5627.

в)

$9,28 : 10 = 0,928$ (переносим запятую на 1 знак влево).
Ответ: 0,928.

$104,7 : 100 = 1,047$ (переносим запятую на 2 знака влево).
Ответ: 1,047.

$36,128 : 1000 = 0,036128$ (переносим запятую на 3 знака влево, дописывая один ноль слева).
Ответ: 0,036128.

г)

$0,36 : 10 = 0,036$ (переносим запятую на 1 знак влево, дописывая один ноль слева).
Ответ: 0,036.

$4,931 : 100 = 0,04931$ (переносим запятую на 2 знака влево, дописывая один ноль слева).
Ответ: 0,04931.

$900,5 : 1000 = 0,9005$ (переносим запятую на 3 знака влево).
Ответ: 0,9005.

$10.56$ a) Каждое из чисел:

a) $0,2$; $1,112$; $13,0247$; $34,05$ увеличьте в $10$ раз, в $100$ раз, в $1000$ раз;

б) $2500$; $1555,01$; $4,45$; $0,6$ уменьшите в $10$ раз, в $100$ раз, в $1000$ раз.

а)

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10, 100 или 1000 раз, необходимо умножить ее на это число. Это равносильно переносу запятой вправо на 1, 2 или 3 знака соответственно. Если цифр в дробной части не хватает, справа дописываются нули.

Для числа 0,2:

Увеличение в 10 раз: $0,2 \cdot 10 = 2$

Увеличение в 100 раз: $0,2 \cdot 100 = 20$

Увеличение в 1000 раз: $0,2 \cdot 1000 = 200$

Для числа 1,112:

Увеличение в 10 раз: $1,112 \cdot 10 = 11,12$

Увеличение в 100 раз: $1,112 \cdot 100 = 111,2$

Увеличение в 1000 раз: $1,112 \cdot 1000 = 1112$

Для числа 13,0247:

Увеличение в 10 раз: $13,0247 \cdot 10 = 130,247$

Увеличение в 100 раз: $13,0247 \cdot 100 = 1302,47$

Увеличение в 1000 раз: $13,0247 \cdot 1000 = 13024,7$

Для числа 34,05:

Увеличение в 10 раз: $34,05 \cdot 10 = 340,5$

Увеличение в 100 раз: $34,05 \cdot 100 = 3405$

Увеличение в 1000 раз: $34,05 \cdot 1000 = 34050$

Ответ: для 0,2 это 2; 20; 200. Для 1,112 это 11,12; 111,2; 1112. Для 13,0247 это 130,247; 1302,47; 13024,7. Для 34,05 это 340,5; 3405; 34050.

б)

Чтобы уменьшить число в 10, 100 или 1000 раз, необходимо разделить его на это число. Это равносильно переносу запятой влево на 1, 2 или 3 знака соответственно. Если цифр в целой части не хватает, слева дописываются нули.

Для числа 2500:

Уменьшение в 10 раз: $2500 : 10 = 250$

Уменьшение в 100 раз: $2500 : 100 = 25$

Уменьшение в 1000 раз: $2500 : 1000 = 2,5$

Для числа 1555,01:

Уменьшение в 10 раз: $1555,01 : 10 = 155,501$

Уменьшение в 100 раз: $1555,01 : 100 = 15,5501$

Уменьшение в 1000 раз: $1555,01 : 1000 = 1,55501$

Для числа 4,45:

Уменьшение в 10 раз: $4,45 : 10 = 0,445$

Уменьшение в 100 раз: $4,45 : 100 = 0,0445$

Уменьшение в 1000 раз: $4,45 : 1000 = 0,00445$

Для числа 0,6:

Уменьшение в 10 раз: $0,6 : 10 = 0,06$

Уменьшение в 100 раз: $0,6 : 100 = 0,006$

Уменьшение в 1000 раз: $0,6 : 1000 = 0,0006$

Ответ: для 2500 это 250; 25; 2,5. Для 1555,01 это 155,501; 15,5501; 1,55501. Для 4,45 это 0,445; 0,0445; 0,00445. Для 0,6 это 0,06; 0,006; 0,0006.

10.57 а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров?

б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Сколько надо заплатить за 10 таких же стиральных машин?

а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Чтобы узнать, сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров, можно сначала найти цену одного компьютера, а затем умножить её на 200.

1. Найдём цену одного компьютера:
$484,5 \div 20 = 24,225$ тыс. р.

2. Теперь найдём стоимость 200 компьютеров:
$24,225 \times 200 = 4845$ тыс. р.

Также можно заметить, что 200 компьютеров — это в 10 раз больше, чем 20 компьютеров ($200 \div 20 = 10$). Следовательно, и заплатить нужно будет в 10 раз больше:
$484,5 \text{ тыс. р.} \times 10 = 4845 \text{ тыс. р.}$
4845 тыс. р. – это 4 845 000 рублей.

Ответ: 4845 тыс. р.

б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Чтобы узнать, сколько надо заплатить за 10 таких же машин, можно сначала найти цену одной машины, а затем умножить её на 10.

1. Найдём цену одной стиральной машины:
$1,26 \div 100 = 0,0126$ млн р.

2. Теперь найдём стоимость 10 машин:
$0,0126 \times 10 = 0,126$ млн р.

Также можно заметить, что 10 машин — это в 10 раз меньше, чем 100 машин ($100 \div 10 = 10$). Следовательно, и заплатить нужно будет в 10 раз меньше:
$1,26 \text{ млн р.} \div 10 = 0,126 \text{ млн р.}$
0,126 млн р. – это 126 000 рублей.

Ответ: 0,126 млн р.

10.58 На какое число нужно умножить или разделить число 25,6, чтобы в результате получилось:

а) 25 600;

б) 2,56;

в) 0,0256;

г) 256?

а) 25 600

Чтобы из числа 25,6 получить 25 600, нужно его увеличить. Для этого будем использовать умножение. Чтобы найти, на какое число нужно умножить 25,6, разделим конечный результат на исходное число.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда:

$25,6 \cdot x = 25600$

$x = \frac{25600}{25,6}$

Чтобы избавиться от запятой в делителе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{256000}{256} = 1000$

Значит, число 25,6 нужно умножить на 1000.

Ответ: умножить на 1000.

б) 2,56

Чтобы из числа 25,6 получить 2,56, нужно его уменьшить. Для этого будем использовать деление. Чтобы найти, на какое число нужно разделить 25,6, разделим исходное число на конечный результат.

Пусть искомое число — это $y$. Тогда:

$\frac{25,6}{y} = 2,56$

$y = \frac{25,6}{2,56}$

Чтобы избавиться от запятых, умножим числитель и знаменатель на 100:

$y = \frac{2560}{256} = 10$

Значит, число 25,6 нужно разделить на 10.

Ответ: разделить на 10.

в) 0,0256

Чтобы из числа 25,6 получить 0,0256, нужно его уменьшить. Для этого будем использовать деление. Чтобы найти, на какое число нужно разделить 25,6, разделим исходное число на конечный результат.

Пусть искомое число — это $y$. Тогда:

$\frac{25,6}{y} = 0,0256$

$y = \frac{25,6}{0,0256}$

Чтобы избавиться от запятых, умножим числитель и знаменатель на 10000:

$y = \frac{256000}{256} = 1000$

Значит, число 25,6 нужно разделить на 1000.

Ответ: разделить на 1000.

г) 256

Чтобы из числа 25,6 получить 256, нужно его увеличить. Для этого будем использовать умножение. Чтобы найти, на какое число нужно умножить 25,6, разделим конечный результат на исходное число.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда:

$25,6 \cdot x = 256$

$x = \frac{256}{25,6}$

Чтобы избавиться от запятой в делителе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{2560}{256} = 10$

Значит, число 25,6 нужно умножить на 10.

Ответ: умножить на 10.

Продолжите последовательность чисел 1100, 110, 11, ..., записав ещё три числа. Какая десятичная дробь должна быть записана на десятом месте?

Продолжите последовательность чисел 1100, 110, 11, ..., записав ещё три числа.

Чтобы определить закономерность в данной последовательности, рассмотрим отношение между соседними членами:

• Отношение второго члена к первому: $110 / 1100 = 1/10$.
• Отношение третьего члена ко второму: $11 / 110 = 1/10$.

Каждый следующий член последовательности получается путем деления предыдущего члена на 10. Следовательно, это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1/10$.

Чтобы продолжить последовательность, найдем следующие три члена:

• Четвертый член: $11 \div 10 = 1.1$
• Пятый член: $1.1 \div 10 = 0.11$
• Шестой член: $0.11 \div 10 = 0.011$

Ответ: 1.1; 0.11; 0.011.

Какая десятичная дробь должна быть записана на десятом месте?

Для нахождения десятого члена ($a_{10}$) можно использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

В нашем случае:

• $a_1 = 1100$
• $q = 1/10$
• $n = 10$

Подставим эти значения в формулу:
$a_{10} = 1100 \cdot (1/10)^{10-1} = 1100 \cdot (1/10)^9$

$a_{10} = 1100 \cdot \frac{1}{1000000000} = \frac{1100}{1000000000}$

Сократив дробь на 100, получим:
$a_{10} = \frac{11}{10000000} = 0.0000011$

Ответ: 0.0000011.

10.60 Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если эту дробь:

a) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз;

б) уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз?

Для каждого случая приведите примеры.

а) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз;

Уменьшить десятичную дробь в 1000 раз означает разделить её на 1000, что равносильно переносу запятой на 3 знака влево. Последующее уменьшение ещё в 10 раз означает деление на 10, то есть перенос запятой ещё на 1 знак влево.

Суммарное изменение соответствует уменьшению в $1000 \times 10 = 10000$ раз. Это значит, что запятую нужно перенести влево на общее количество знаков: $3 + 1 = 4$.

Пример:

Возьмём дробь 1234,5. Уменьшим её в 1000 раз:

$1234,5 : 1000 = 1,2345$

Теперь уменьшим результат ещё в 10 раз:

$1,2345 : 10 = 0,12345$

Изначальная дробь была 1234,5, а конечная — 0,12345. Запятая сместилась на 4 знака влево.

Ответ: Запятая в десятичной дроби сместится на 4 знака влево.

б) уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз?

Уменьшение десятичной дроби в 10 раз — это деление на 10, что соответствует переносу запятой на 1 знак влево. Последующее увеличение в 1000 раз — это умножение на 1000, что соответствует переносу запятой на 3 знака вправо.

Итоговое изменение положения запятой будет разницей между этими действиями: сдвиг на 1 знак влево и на 3 знака вправо эквивалентен сдвигу на $3 - 1 = 2$ знака вправо. Это то же самое, что увеличить дробь в $1000 : 10 = 100$ раз.

Пример:

Возьмём дробь 12,345. Уменьшим её в 10 раз:

$12,345 : 10 = 1,2345$

Теперь увеличим результат в 1000 раз:

$1,2345 \times 1000 = 1234,5$

Изначальная дробь была 12,345, а конечная — 1234,5. Запятая сместилась на 2 знака вправо.

Ответ: Запятая в десятичной дроби сместится на 2 знака вправо.

10.61 Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7}$

Чтобы найти значение выражения, сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби. Смешанное число вида $a\frac{b}{c}$ преобразуется в неправильную дробь по формуле $\frac{a \cdot c + b}{c}$.

Выполним преобразование для каждого множителя в выражении:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Теперь запишем исходное выражение в виде произведения полученных неправильных дробей:

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7}$

Рациональный способ вычисления заключается в сокращении дробей перед умножением. Мы можем сократить числитель одной дроби со знаменателем другой. В данном произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби:

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{6}} \cdot \frac{8}{\cancel{7}}$

После сокращения всех пар одинаковых чисел в числителях и знаменателях остаются только знаменатель первой дроби (2) и числитель последней дроби (8). Таким образом, выражение упрощается до:

$\frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4

10.62 Сколько минут содержится в $ \frac{1}{4} $ ч; в $ 1\frac{1}{2} $ ч?

Для решения этой задачи необходимо знать, что в одном часе содержится 60 минут.

в 1/4 ч

Чтобы найти, сколько минут содержится в $\frac{1}{4}$ часа, нужно умножить количество минут в одном часе на эту долю.

Выполним вычисление:

$60 \text{ минут} \cdot \frac{1}{4} = \frac{60}{4} = 15 \text{ минут.}$

Ответ: 15 минут.

в 1 1/2 ч

Чтобы найти, сколько минут содержится в $1\frac{1}{2}$ часа, можно представить это время как 1 час и еще $\frac{1}{2}$ часа.

1 час = 60 минут.

$\frac{1}{2}$ часа (половина часа) = $60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ минут.

Сложим эти значения:

$60 \text{ минут} + 30 \text{ минут} = 90 \text{ минут.}$

Другой способ — это перевести смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь и умножить на 60:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$60 \text{ минут} \cdot \frac{3}{2} = \frac{180}{2} = 90 \text{ минут.}$

Ответ: 90 минут.

10.63 В одном пакете 1,85 кг муки, в другом — на 0,5 кг больше. Сколько муки в двух пакетах? Выразите ответ в килограммах и граммах.

Для ответа на вопрос задачи нужно выполнить несколько действий. Сначала найдем, сколько муки во втором пакете. По условию, это на 0,5 кг больше, чем в первом пакете, где 1,85 кг.
$1,85 + 0,5 = 2,35$ (кг) — масса муки во втором пакете.

Сколько муки в двух пакетах?
Теперь сложим массу муки в первом и втором пакетах, чтобы найти общую массу:
$1,85 + 2,35 = 4,2$ (кг).
Ответ: в двух пакетах 4,2 кг муки.

Выразите ответ в килограммах и граммах.
Общая масса муки составляет 4,2 кг. Мы знаем, что в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
Масса в 4,2 кг состоит из 4 целых килограммов и 0,2 килограмма.
Переведем 0,2 кг в граммы:
$0,2 \times 1000 = 200$ (г).
Следовательно, 4,2 кг — это 4 килограмма и 200 граммов.
Ответ: 4 кг 200 г.

10.64 Измерьте длины сторон четырёхугольника (рис. 10.2). Выразите их в сантиметрах и найдите периметр этого четырёхугольника.

Рис. 10.2

Измерение длин сторон четырёхугольника и их выражение в сантиметрах

Для того чтобы измерить длины сторон четырёхугольника, изображенного на рис. 10.2, необходимо воспользоваться линейкой. Приложив линейку к каждой стороне, мы можем определить их длины. В ходе измерений выясняется, что у данной фигуры две пары смежных сторон равны. Такая фигура называется дельтоид.
Результаты измерений, выраженные в сантиметрах, приблизительно следующие:
Длина каждой из двух верхних (более длинных) сторон: $3.2$ см.
Длина каждой из двух нижних (более коротких) сторон: $3.0$ см.

Нахождение периметра этого четырёхугольника

Периметр ($P$) — это сумма длин всех сторон многоугольника. Чтобы найти периметр данного четырёхугольника, нужно сложить длины всех его четырёх сторон.

Выполним сложение:

$P = 3.2 \text{ см} + 3.2 \text{ см} + 3.0 \text{ см} + 3.0 \text{ см}$

Для удобства вычислений можно сгруппировать слагаемые:

$P = 2 \cdot (3.2 \text{ см}) + 2 \cdot (3.0 \text{ см})$

$P = 6.4 \text{ см} + 6.0 \text{ см}$

$P = 12.4 \text{ см}$

Ответ: длины сторон четырёхугольника — две по $3.2$ см и две по $3.0$ см; периметр этого четырёхугольника равен $12.4$ см.