Страница 231 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.44 a) В кувшине на $2,7 \text{ л}$ молока меньше, чем в бидоне, и на $1,5 \text{ л}$ меньше, чем в ведре. Сколько всего молока, если в кувшине $1,25 \text{ л}$ молока?

б) Одна сторона треугольника равна $11,5 \text{ см}$. Она на $0,6 \text{ см}$ меньше другой стороны и на $0,9 \text{ см}$ больше третьей. Чему равен периметр треугольника?

а)

1. Найдём количество молока в бидоне. По условию, в кувшине на 2,7 л молока меньше, чем в бидоне, значит, в бидоне на 2,7 л больше. В кувшине 1,25 л молока.
$1,25 + 2,7 = 3,95$ л молока в бидоне.

2. Найдём количество молока в ведре. В кувшине на 1,5 л меньше, чем в ведре, значит, в ведре на 1,5 л больше.
$1,25 + 1,5 = 2,75$ л молока в ведре.

3. Найдём общее количество молока, сложив объём в кувшине, бидоне и ведре.
$1,25 + 3,95 + 2,75 = 7,95$ л.

Ответ: всего 7,95 л молока.

б)

1. Найдём длину второй стороны треугольника. Первая сторона равна 11,5 см, и она на 0,6 см меньше второй. Значит, вторая сторона на 0,6 см длиннее первой.
$11,5 + 0,6 = 12,1$ см – длина второй стороны.

2. Найдём длину третьей стороны. Первая сторона на 0,9 см больше третьей. Значит, третья сторона на 0,9 см короче первой.
$11,5 - 0,9 = 10,6$ см – длина третьей стороны.

3. Найдём периметр треугольника, который равен сумме длин всех его сторон.
$P = 11,5 + 12,1 + 10,6 = 34,2$ см.

Ответ: периметр треугольника равен 34,2 см.

10.45 a) Дедушка с внуком вместе собрали $18,5 \text{ кг}$ яблок. В ящике у дедушки на $2,5 \text{ кг}$ яблок больше, чем у внука. Сколько килограммов яблок в ящике у каждого?

б) В двух канистрах было $15,4 \text{ л}$ бензина. В одной канистре было на $3,4 \text{ л}$ меньше, чем в другой. Сколько бензина было в каждой канистре?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это количество яблок в ящике у внука. Поскольку у дедушки на 2,5 кг яблок больше, то в его ящике $(x + 2,5)$ кг. Вместе они собрали 18,5 кг, поэтому мы можем составить уравнение:

$x + (x + 2,5) = 18,5$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 2,5 = 18,5$

$2x = 18,5 - 2,5$

$2x = 16$

$x = 16 \div 2$

$x = 8$

Итак, у внука было 8 кг яблок. Теперь найдем, сколько яблок было у дедушки:

$8 + 2,5 = 10,5$ (кг)

Проверка: $8 + 10,5 = 18,5$ кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: у внука в ящике было 8 кг яблок, а у дедушки — 10,5 кг.

б)

Пусть $y$ л — это количество бензина в канистре, где его больше. Тогда в другой канистре, где бензина на 3,4 л меньше, было $(y - 3,4)$ л. Всего в двух канистрах было 15,4 л бензина. Составим уравнение:

$y + (y - 3,4) = 15,4$

Решим полученное уравнение:

$2y - 3,4 = 15,4$

$2y = 15,4 + 3,4$

$2y = 18,8$

$y = 18,8 \div 2$

$y = 9,4$

Таким образом, в одной канистре было 9,4 л бензина. Найдем количество бензина в другой канистре:

$9,4 - 3,4 = 6$ (л)

Проверка: $9,4 + 6 = 15,4$ л, что соответствует условию задачи.

Ответ: в одной канистре было 6 л бензина, а в другой — 9,4 л.

10.46 РАССУЖДАЕМ Вычислите сумму, используя свойства сложения:

a) $1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8;$

б) $2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 + 8,5 + 9,2;$

в) $1,7 + 3,3 + 7,72 + 3,28 + 1,11 + 8,89;$

г) $18,8 + 19 + 12,2 + 11,4 + 0,6 + 11.$

а) Для вычисления суммы $1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8$ воспользуемся свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые, равноотстоящие от концов ряда, так как их сумма одинакова (первое с последним, второе с предпоследним и так далее).
$1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 = (1,2 + 7,8) + (2,3 + 6,7) + (3,4 + 5,6) + 4,5 = 9 + 9 + 9 + 4,5 = 27 + 4,5 = 31,5$.
Ответ: 31,5.

б) Для вычисления суммы $2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 + 8,5 + 9,2$ сгруппируем слагаемые попарно так, чтобы сумма их дробных частей давала целое число.
$2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 + 8,5 + 9,2 = (2,3 + 6,7) + (3,4 + 5,6) + (4,5 + 8,5) + (7,8 + 9,2) = 9 + 9 + 13 + 17 = 18 + 30 = 48$.
Ответ: 48.

в) В сумме $1,7 + 3,3 + 7,72 + 3,28 + 1,11 + 8,89$ сгруппируем слагаемые так, чтобы в сумме каждой пары получалось целое число.
$1,7 + 3,3 + 7,72 + 3,28 + 1,11 + 8,89 = (1,7 + 3,3) + (7,72 + 3,28) + (1,11 + 8,89) = 5 + 11 + 10 = 26$.
Ответ: 26.

г) В сумме $18,8 + 19 + 12,2 + 11,4 + 0,6 + 11$ сгруппируем слагаемые с дробными частями, которые в сумме дают целые числа, и отдельно сгруппируем целые числа.
$18,8 + 19 + 12,2 + 11,4 + 0,6 + 11 = (18,8 + 12,2) + (11,4 + 0,6) + (19 + 11) = 31 + 12 + 30 = 43 + 30 = 73$.
Ответ: 73.

10.47 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

1) Вычислите суммы:

$0,1 + 0,2 + 0,3 + \dots + 0,9;$

$0,01 + 0,02 + 0,03 + \dots + 0,09;$

$0,001 + 0,002 + 0,003 + \dots + 0,009.$

2) Запишите следующую сумму. Догадайтесь, чему равно её значение, и проверьте себя с помощью вычислений.

3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы $0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + \dots + 0,000009.$

1) Для вычисления каждой суммы вынесем общий множитель за скобки. Сумма целых чисел от 1 до 9 равна $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$.
- Для первой суммы: $0,1 + 0,2 + 0,3 + \ldots + 0,9 = 0,1 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,1 \cdot 45 = 4,5$.
- Для второй суммы: $0,01 + 0,02 + 0,03 + \ldots + 0,09 = 0,01 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,01 \cdot 45 = 0,45$.
- Для третьей суммы: $0,001 + 0,002 + 0,003 + \ldots + 0,009 = 0,001 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,001 \cdot 45 = 0,045$.
Ответ: 4,5; 0,45; 0,045.

2) Закономерность заключается в том, что слагаемые каждой следующей суммы в 10 раз меньше слагаемых предыдущей.
Предыдущая сумма: $0,001 + 0,002 + \ldots + 0,009$.
Значит, следующая сумма будет: $0,0001 + 0,0002 + 0,0003 + \ldots + 0,0009$.
Значения сумм также уменьшаются в 10 раз: 4,5; 0,45; 0,045. Можно предположить, что значение следующей суммы будет $0,045 : 10 = 0,0045$.
Проверим вычислением, используя найденную в пункте 1) сумму чисел от 1 до 9, равную 45:
$0,0001 \cdot (1 + 2 + \ldots + 9) = 0,0001 \cdot 45 = 0,0045$.
Предположение верно.
Ответ: Следующая сумма $0,0001 + 0,0002 + \ldots + 0,0009$, её значение равно 0,0045.

3) Используя найденную закономерность, значение любой такой суммы можно найти, умножив первый член на 45 (сумму чисел от 1 до 9).
В заданной сумме $0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + \ldots + 0,000009$ первый член равен $0,000001$.
Следовательно, значение суммы равно:
$0,000001 \cdot 45 = 0,000045$.
Ответ: 0,000045.

10.48 РАССУЖДАЕМ

Не складывая дроби, сравните с числом 10 сумму:

а) $4,79 + 4,538;$

б) $6,124 + 4,001;$

в) $2,901 + 2,809 + 2,999;$

г) $4,356 + 3,05 + 3,204.$

Образец. $8,65 + 0,936 < 9 + 1 = 10;$ $7,031 + 3,28 > 7 + 3 = 10.$

а) Чтобы сравнить сумму $4,79 + 4,538$ с числом 10, не выполняя сложения, можно оценить слагаемые. Округлим каждое слагаемое в большую сторону до ближайшего целого числа. Число $4,79$ меньше $5$, и число $4,538$ также меньше $5$. Следовательно, их сумма будет меньше, чем сумма $5 + 5$.
$4,79 < 5$
$4,538 < 5$
$4,79 + 4,538 < 5 + 5 = 10$
Таким образом, данная сумма меньше 10.
Ответ: $4,79 + 4,538 < 10$.

б) Для сравнения суммы $6,124 + 4,001$ с числом 10, оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону до целых чисел. Число $6,124$ больше $6$, а число $4,001$ больше $4$. Значит, их сумма будет больше, чем сумма $6 + 4$.
$6,124 > 6$
$4,001 > 4$
$6,124 + 4,001 > 6 + 4 = 10$
Таким образом, данная сумма больше 10.
Ответ: $6,124 + 4,001 > 10$.

в) Чтобы сравнить сумму $2,901 + 2,809 + 2,999$ с числом 10, округлим каждое слагаемое в большую сторону до ближайшего целого числа. Каждое из слагаемых ($2,901$, $2,809$ и $2,999$) меньше $3$. Следовательно, их сумма будет меньше, чем сумма $3 + 3 + 3$.
$2,901 < 3$
$2,809 < 3$
$2,999 < 3$
$2,901 + 2,809 + 2,999 < 3 + 3 + 3 = 9$
Поскольку $9 < 10$, то и сумма $2,901 + 2,809 + 2,999$ меньше 10.
Ответ: $2,901 + 2,809 + 2,999 < 10$.

г) Для сравнения суммы $4,356 + 3,05 + 3,204$ с числом 10, оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону до целых чисел. Число $4,356$ больше $4$, число $3,05$ больше $3$, и число $3,204$ больше $3$. Значит, их сумма будет больше, чем сумма $4 + 3 + 3$.
$4,356 > 4$
$3,05 > 3$
$3,204 > 3$
$4,356 + 3,05 + 3,204 > 4 + 3 + 3 = 10$
Таким образом, данная сумма больше 10.
Ответ: $4,356 + 3,05 + 3,204 > 10$.

10.49 Размеры одного прямоугольного земельного участка 24 м и 30 м, а другого – 22 м и 33 м. Какой из них больше? На сколько квадратных метров?

Для решения задачи необходимо вычислить площади обоих прямоугольных участков и сравнить их.

Какой из них больше?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$.

1. Вычислим площадь первого участка с размерами 24 м и 30 м:$S_1 = 24 \, \text{м} \cdot 30 \, \text{м} = 720 \, \text{м}^2$.

2. Вычислим площадь второго участка с размерами 22 м и 33 м:$S_2 = 22 \, \text{м} \cdot 33 \, \text{м} = 726 \, \text{м}^2$.

3. Сравним полученные площади:$S_1 = 720 \, \text{м}^2$$S_2 = 726 \, \text{м}^2$Так как $726 > 720$, второй участок имеет большую площадь.

Ответ: Второй участок больше.

На сколько квадратных метров?

Чтобы найти, на сколько квадратных метров один участок больше другого, нужно найти разницу между их площадями. Для этого из большей площади вычтем меньшую:

$S_2 - S_1 = 726 \, \text{м}^2 - 720 \, \text{м}^2 = 6 \, \text{м}^2$.

Ответ: Второй участок больше на 6 квадратных метров.

10.50 Сколько сантиметров содержится в $\frac{7}{20}$ m; в $1\frac{4}{5}$ m?

$\frac{7}{20}$ м

Для того чтобы перевести метры в сантиметры, необходимо знать основное соотношение этих единиц измерения: 1 метр равен 100 сантиметрам.

Чтобы найти, сколько сантиметров содержится в $\frac{7}{20}$ метра, нужно умножить эту дробь на 100:

$\frac{7}{20} \text{ м} = \frac{7}{20} \times 100 \text{ см} = \frac{7 \times 100}{20} \text{ см} = 7 \times 5 \text{ см} = 35 \text{ см}.$

Ответ: 35 см.

$1\frac{4}{5}$ м

Для перевода смешанного числа $1\frac{4}{5}$ метра в сантиметры, также умножим его на 100. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \times 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}.$

Теперь выполним умножение:

$\frac{9}{5} \text{ м} = \frac{9}{5} \times 100 \text{ см} = \frac{9 \times 100}{5} \text{ см} = 9 \times 20 \text{ см} = 180 \text{ см}.$

Другой способ — перевести целую и дробную части отдельно:

1 м = 100 см.

$\frac{4}{5}$ м = $\frac{4}{5} \times 100$ см = $4 \times 20$ см = 80 см.

Сложим полученные значения: $100$ см + $80$ см = $180$ см.

Ответ: 180 см.

10.51 В первой школе 600 учащихся, во второй – $ \frac{3}{4} $ этого числа, в третьей – в $ 1\frac{1}{2} $ раза больше, чем во второй. Сколько учащихся в третьей школе?

Для того чтобы найти количество учащихся в третьей школе, необходимо выполнить два действия. Сначала найдем количество учащихся во второй школе, а затем, используя это значение, вычислим количество учащихся в третьей.

1. Находим количество учащихся во второй школе.

В первой школе 600 учащихся. Во второй школе учится $\frac{3}{4}$ от этого числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь:

$600 \cdot \frac{3}{4} = \frac{600 \cdot 3}{4} = 150 \cdot 3 = 450$ (учащихся) – во второй школе.

2. Находим количество учащихся в третьей школе.

В третьей школе в $1\frac{1}{2}$ раза больше учащихся, чем во второй. Во второй школе 450 учащихся. Умножим это число на $1\frac{1}{2}$. Для удобства вычислений представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним умножение:

$450 \cdot \frac{3}{2} = \frac{450 \cdot 3}{2} = 225 \cdot 3 = 675$ (учащихся) – в третьей школе.

Ответ: 675 учащихся.