Номер 10.47, страница 231 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.3. Сложение и вычитание десятичных дробей. Глава 10. Десятичные дроби и действия с ними - номер 10.47, страница 231.

10.47 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

1) Вычислите суммы:

$0,1 + 0,2 + 0,3 + \dots + 0,9;$

$0,01 + 0,02 + 0,03 + \dots + 0,09;$

$0,001 + 0,002 + 0,003 + \dots + 0,009.$

2) Запишите следующую сумму. Догадайтесь, чему равно её значение, и проверьте себя с помощью вычислений.

3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы $0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + \dots + 0,000009.$

1) Для вычисления каждой суммы вынесем общий множитель за скобки. Сумма целых чисел от 1 до 9 равна $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$.
- Для первой суммы: $0,1 + 0,2 + 0,3 + \ldots + 0,9 = 0,1 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,1 \cdot 45 = 4,5$.
- Для второй суммы: $0,01 + 0,02 + 0,03 + \ldots + 0,09 = 0,01 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,01 \cdot 45 = 0,45$.
- Для третьей суммы: $0,001 + 0,002 + 0,003 + \ldots + 0,009 = 0,001 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 9) = 0,001 \cdot 45 = 0,045$.
Ответ: 4,5; 0,45; 0,045.

2) Закономерность заключается в том, что слагаемые каждой следующей суммы в 10 раз меньше слагаемых предыдущей.
Предыдущая сумма: $0,001 + 0,002 + \ldots + 0,009$.
Значит, следующая сумма будет: $0,0001 + 0,0002 + 0,0003 + \ldots + 0,0009$.
Значения сумм также уменьшаются в 10 раз: 4,5; 0,45; 0,045. Можно предположить, что значение следующей суммы будет $0,045 : 10 = 0,0045$.
Проверим вычислением, используя найденную в пункте 1) сумму чисел от 1 до 9, равную 45:
$0,0001 \cdot (1 + 2 + \ldots + 9) = 0,0001 \cdot 45 = 0,0045$.
Предположение верно.
Ответ: Следующая сумма $0,0001 + 0,0002 + \ldots + 0,0009$, её значение равно 0,0045.

3) Используя найденную закономерность, значение любой такой суммы можно найти, умножив первый член на 45 (сумму чисел от 1 до 9).
В заданной сумме $0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + \ldots + 0,000009$ первый член равен $0,000001$.
Следовательно, значение суммы равно:
$0,000001 \cdot 45 = 0,000045$.
Ответ: 0,000045.