Страница 224 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.8 Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной дроби (используйте в качестве образца пример 3):

а) $ \frac{7}{25}, \frac{3}{20}, \frac{1}{2} $

б) $ \frac{11}{25}, \frac{9}{20}, \frac{1}{5} $

а)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{7}{25}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0,28$
Ответ: 0,28

Чтобы преобразовать дробь $\frac{3}{20}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15$
Ответ: 0,15

Чтобы преобразовать дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$
Ответ: 0,5

б)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{11}{25}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{11}{25} = \frac{11 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{44}{100} = 0,44$
Ответ: 0,44

Чтобы преобразовать дробь $\frac{9}{20}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100} = 0,45$
Ответ: 0,45

Чтобы преобразовать дробь $\frac{1}{5}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0,2$
Ответ: 0,2

Сравните числа (10.9–10.10).

10.9 а) 0,6 и 0,4;

б) 0,2 и 0,1;

в) 0,30 и 0,3;

г) 2,55 и 2,65;

д) 1,21 и 1,28;

е) 4,75 и 4,05;

ж) 1,99 и 10,9;

з) 7,0191 и 7,1;

и) 2,44 и 2,404.

а) Чтобы сравнить десятичные дроби 0,6 и 0,4, нужно сравнить их поразрядно, начиная со старшего разряда. Целые части у обоих чисел равны нулю. Сравниваем разряд десятых: у числа 0,6 это 6, а у числа 0,4 это 4. Так как $6 > 4$, то и $0,6 > 0,4$.
Ответ: $0,6 > 0,4$.

б) Сравниваем числа 0,2 и 0,1. Целые части равны нулю. Сравниваем десятые доли: $2 > 1$. Следовательно, $0,2 > 0,1$.
Ответ: $0,2 > 0,1$.

в) Сравниваем числа 0,30 и 0,3. В десятичных дробях можно отбрасывать нули в конце дробной части, при этом значение дроби не изменится. Таким образом, $0,30 = 0,3$. Можно также уравнять количество знаков после запятой, дописав к числу 0,3 справа ноль: $0,3 = 0,30$. Сравнивая 0,30 и 0,30, получаем, что они равны.
Ответ: $0,30 = 0,3$.

г) Сравниваем числа 2,55 и 2,65. Целые части у чисел равны (2). Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 2,55 это 5, у числа 2,65 это 6. Так как $5 < 6$, то $2,55 < 2,65$.
Ответ: $2,55 < 2,65$.

д) Сравниваем числа 1,21 и 1,28. Целые части равны (1). Цифры в разряде десятых также равны (2). Сравниваем цифры в разряде сотых: у числа 1,21 это 1, у числа 1,28 это 8. Так как $1 < 8$, то $1,21 < 1,28$.
Ответ: $1,21 < 1,28$.

е) Сравниваем числа 4,75 и 4,05. Целые части равны (4). Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 4,75 это 7, у числа 4,05 это 0. Так как $7 > 0$, то $4,75 > 4,05$.
Ответ: $4,75 > 4,05$.

ж) Сравниваем числа 1,99 и 10,9. Сначала сравниваем целые части чисел. У числа 1,99 целая часть равна 1, а у числа 10,9 целая часть равна 10. Так как $1 < 10$, то $1,99 < 10,9$.
Ответ: $1,99 < 10,9$.

з) Сравниваем числа 7,0191 и 7,1. Целые части равны (7). Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 7,0191 это 0, у числа 7,1 это 1. Так как $0 < 1$, то $7,0191 < 7,1$.
Ответ: $7,0191 < 7,1$.

и) Сравниваем числа 2,44 и 2,404. Целые части равны (2). Цифры в разряде десятых также равны (4). Сравниваем цифры в разряде сотых: у числа 2,44 это 4, у числа 2,404 это 0. Так как $4 > 0$, то $2,44 > 2,404$. Можно также уравнять количество цифр после запятой: $2,44 = 2,440$. Сравниваем 2,440 и 2,404. Так как $440 > 404$, то $2,44 > 2,404$.
Ответ: $2,44 > 2,404$.

10.10 а) 50,001 и 50,01;

б) 17,183 и 17,09;

в) 29,5 и 29,53;

г) 7 и 6,99;

д) 0,89 и 1,5;

е) 0,00041 и 0,0005.

а) Чтобы сравнить десятичные дроби 50,001 и 50,01, сначала сравниваем их целые части. Целые части у обоих чисел равны 50. Затем сравниваем дробные части поразрядно, слева направо.
Первая цифра после запятой (разряд десятых) у обоих чисел равна 0.
Вторая цифра после запятой (разряд сотых) у числа 50,001 равна 0, а у числа 50,01 равна 1.
Так как $0 < 1$, то и $50,001 < 50,01$.
Другой способ — уравнять количество знаков после запятой. Допишем ноль в конце числа 50,01, получим 50,010. Теперь сравним 50,001 и 50,010. Поскольку $1 < 10$, то $50,001 < 50,010$.
Ответ: $50,001 < 50,01$.

б) Сравниваем числа 17,183 и 17,09. Целые части у них одинаковые (17). Сравниваем дробные части поразрядно.
В разряде десятых у числа 17,183 стоит цифра 1, а у числа 17,09 — цифра 0.
Поскольку $1 > 0$, то число 17,183 больше, чем 17,09.
Ответ: $17,183 > 17,09$.

в) Сравниваем числа 29,5 и 29,53. Целые части у них равны (29). Для сравнения дробных частей уравняем количество знаков после запятой, дописав к числу 29,5 ноль: $29,5 = 29,50$.
Теперь сравним числа 29,50 и 29,53.
Поскольку $50 < 53$, то $29,50 < 29,53$, следовательно, $29,5 < 29,53$.
Ответ: $29,5 < 29,53$.

г) Сравниваем числа 7 и 6,99. В первую очередь сравниваем целые части чисел.
Целая часть первого числа — 7.
Целая часть второго числа — 6.
Так как $7 > 6$, то $7 > 6,99$.
Ответ: $7 > 6,99$.

д) Сравниваем числа 0,89 и 1,5. Сравниваем целые части.
Целая часть первого числа — 0.
Целая часть второго числа — 1.
Так как $0 < 1$, то $0,89 < 1,5$.
Ответ: $0,89 < 1,5$.

е) Сравниваем числа 0,00041 и 0,0005. Целые части у обоих чисел равны 0. Сравниваем дробные части поразрядно.
Цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных у обоих чисел равны 0.
Цифра в разряде десятитысячных у числа 0,00041 равна 4, а у числа 0,0005 равна 5.
Поскольку $4 < 5$, то $0,00041 < 0,0005$.
Можно также уравнять число знаков после запятой: $0,0005 = 0,00050$. Сравнивая 0,00041 и 0,00050, видим, что $41 < 50$, значит $0,00041 < 0,0005$.
Ответ: $0,00041 < 0,0005$.

РАССУЖДАЕМ (10.11–10.12)

10.11 Какое из трёх данных чисел наибольшее и какое наименьшее:

а) 0,5; 0,6; 0,56;

б) 3,215; 32,15; 0,3215;

в) 0,016; 0,044; 0,031;

г) 2,601; 2,610; 2,061?

а) Для сравнения чисел $0,5$; $0,6$; $0,56$ приведем их к одинаковому числу знаков после запятой, добавив нули в конце. Наибольшее число знаков после запятой — два, у числа $0,56$.
$0,5 = 0,50$
$0,6 = 0,60$
Теперь сравним полученные числа: $0,50$; $0,60$; $0,56$.
Целые части у всех чисел равны ($0$). Сравниваем дробные части как натуральные числа: $50$, $60$, $56$.
Поскольку $50 < 56 < 60$, то и соответствующие десятичные дроби находятся в том же соотношении: $0,50 < 0,56 < 0,60$.
Таким образом, наименьшее число — это $0,5$, а наибольшее — $0,6$.
Ответ: наибольшее число — 0,6; наименьшее число — 0,5.

б) Для сравнения чисел $3,215$; $32,15$; $0,3215$ в первую очередь сравним их целые части (числа, стоящие до запятой).
У числа $3,215$ целая часть равна $3$.
У числа $32,15$ целая часть равна $32$.
У числа $0,3215$ целая часть равна $0$.
Сравнивая целые части, получаем: $0 < 3 < 32$.
Больше та дробь, у которой больше целая часть. Следовательно, наименьшее число — $0,3215$, а наибольшее — $32,15$.
Ответ: наибольшее число — 32,15; наименьшее число — 0,3215.

в) Для сравнения чисел $0,016$; $0,044$; $0,031$ будем сравнивать их поразрядно, так как их целые части равны нулю.
Смотрим на разряд десятых: у всех трёх чисел он равен $0$.
Смотрим на разряд сотых: у числа $0,016$ — это $1$; у числа $0,044$ — это $4$; у числа $0,031$ — это $3$.
Сравниваем цифры в разряде сотых: $1 < 3 < 4$.
Значит, и сами числа располагаются в таком же порядке: $0,016 < 0,031 < 0,044$.
Следовательно, наименьшее число — $0,016$, а наибольшее — $0,044$.
Ответ: наибольшее число — 0,044; наименьшее число — 0,016.

г) Для сравнения чисел $2,601$; $2,610$; $2,061$ сначала сравним их целые части. Они у всех трёх чисел равны $2$.
Переходим к сравнению дробных частей поразрядно, начиная с десятых.
Разряд десятых: у чисел $2,601$ и $2,610$ — это $6$; у числа $2,061$ — это $0$.
Поскольку $0 < 6$, число $2,061$ является наименьшим из трёх.
Теперь сравним оставшиеся числа $2,601$ и $2,610$. Их разряды десятых одинаковы, поэтому сравниваем разряды сотых.
Разряд сотых: у числа $2,601$ — это $0$; у числа $2,610$ — это $1$.
Так как $0 < 1$, то $2,601 < 2,610$. Значит, $2,610$ — наибольшее число.
Расположив числа в порядке возрастания, получаем: $2,061 < 2,601 < 2,610$.
Ответ: наибольшее число — 2,610; наименьшее число — 2,061.

10.12 Расположите в порядке возрастания числа:

а) 7,34; 7,4; 7,3;

б) 10,2; 10,1; 10,16;

в) 2,356; 2,35; 2,36;

г) 0,007; 0,008; 0,0073.

а) Даны числа: 7,34; 7,4; 7,3.
Чтобы сравнить десятичные дроби, приведем их к одинаковому количеству знаков после запятой, добавив справа нули. Наибольшее количество знаков — два (у числа 7,34).
$7,4 = 7,40$
$7,3 = 7,30$
Теперь сравниваем числа 7,34; 7,40; 7,30.
Так как целые части у всех чисел одинаковы (равны 7), сравниваем их дробные части как целые числа: 34, 40, 30.
Располагаем их в порядке возрастания: $30 < 34 < 40$.
Соответственно, и десятичные дроби располагаются в том же порядке: $7,30 < 7,34 < 7,40$.
Возвращаясь к исходной записи, получаем ряд: 7,3; 7,34; 7,4.
Ответ: 7,3; 7,34; 7,4.

б) Даны числа: 10,2; 10,1; 10,16.
Приведем все числа к двум знакам после запятой:
$10,2 = 10,20$
$10,1 = 10,10$
Сравниваем числа 10,20; 10,10; 10,16.
Целые части равны, поэтому сравниваем дробные части: 20, 10, 16.
В порядке возрастания: $10 < 16 < 20$.
Следовательно, $10,10 < 10,16 < 10,20$.
В исходной записи получаем ряд: 10,1; 10,16; 10,2.
Ответ: 10,1; 10,16; 10,2.

в) Даны числа: 2,356; 2,35; 2,36.
Приведем все числа к трем знакам после запятой:
$2,35 = 2,350$
$2,36 = 2,360$
Сравниваем числа 2,356; 2,350; 2,360.
Целые части равны, поэтому сравниваем дробные части: 356, 350, 360.
В порядке возрастания: $350 < 356 < 360$.
Следовательно, $2,350 < 2,356 < 2,360$.
В исходной записи получаем ряд: 2,35; 2,356; 2,36.
Ответ: 2,35; 2,356; 2,36.

г) Даны числа: 0,007; 0,008; 0,0073.
Приведем все числа к четырем знакам после запятой:
$0,007 = 0,0070$
$0,008 = 0,0080$
Сравниваем числа 0,0070; 0,0080; 0,0073.
Целые части равны, поэтому сравниваем дробные части. Мы можем сравнить числа 70, 80, 73.
В порядке возрастания: $70 < 73 < 80$.
Следовательно, $0,0070 < 0,0073 < 0,0080$.
В исходной записи получаем ряд: 0,007; 0,0073; 0,008.
Ответ: 0,007; 0,0073; 0,008.

10.13 Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок десять клеток. Отметьте на этой прямой числа:

a) $0,5$; $0,7$; $1,3$; $1,9$;

б) $0,25$; $0,55$; $1,45$; $1,75$.

Для решения этой задачи необходимо начертить координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок, то есть расстояние между целыми числами (например, от 0 до 1 или от 1 до 2), равен 10 клеткам. Это означает, что цена одного деления (одной клетки) составляет $1 \div 10 = 0,1$.

Чтобы найти положение любого числа на этой прямой, нужно умножить это число на 10. Результат покажет, сколько клеток нужно отсчитать от начала координат (точки 0).

а)

Отметим на прямой числа 0,5; 0,7; 1,3; 1,9.

• Число 0,5. Чтобы найти его положение, умножаем: $0,5 \times 10 = 5$. Значит, нужно отступить от нуля 5 клеток вправо.

• Число 0,7. Умножаем: $0,7 \times 10 = 7$. Отступаем от нуля 7 клеток вправо.

• Число 1,3. Умножаем: $1,3 \times 10 = 13$. Отступаем от нуля 13 клеток вправо. Это также можно представить как 1 единичный отрезок (10 клеток) и еще 3 клетки.

• Число 1,9. Умножаем: $1,9 \times 10 = 19$. Отступаем от нуля 19 клеток вправо, или 1 единичный отрезок (10 клеток) и еще 9 клеток.

Ответ: На координатной прямой, где 1 единичный отрезок = 10 клеток, точки будут расположены следующим образом: 0,5 – на 5-й клетке от 0; 0,7 – на 7-й клетке от 0; 1,3 – на 13-й клетке от 0 (или 3-й клетке после 1); 1,9 – на 19-й клетке от 0 (или 9-й клетке после 1).

б)

Отметим на прямой числа 0,25; 0,55; 1,45; 1,75.

• Число 0,25. Умножаем: $0,25 \times 10 = 2,5$. Это означает, что нужно отступить от нуля 2,5 клетки вправо. Точка будет находиться ровно посередине между 2-й и 3-й клеткой.

• Число 0,55. Умножаем: $0,55 \times 10 = 5,5$. Отступаем от нуля 5,5 клеток вправо. Точка будет находиться ровно посередине между 5-й и 6-й клеткой.

• Число 1,45. Умножаем: $1,45 \times 10 = 14,5$. Отступаем от нуля 14,5 клеток вправо. Точка будет находиться посередине между 14-й и 15-й клеткой (или 4,5 клетки после отметки 1).

• Число 1,75. Умножаем: $1,75 \times 10 = 17,5$. Отступаем от нуля 17,5 клеток вправо. Точка будет находиться посередине между 17-й и 18-й клеткой (или 7,5 клеток после отметки 1).

Ответ: На той же координатной прямой точки будут расположены следующим образом: 0,25 – на расстоянии 2,5 клетки от 0; 0,55 – на расстоянии 5,5 клеток от 0; 1,45 – на расстоянии 14,5 клеток от 0; 1,75 – на расстоянии 17,5 клеток от 0.

10.14 Ищем закономерность

Продолжите последовательность десятичных дробей, записав ещё два числа, и прочитайте все записанные десятичные дроби:

а) $0,5$; $0,55$; $0,555$; ...

б) $0,4$; $0,04$; $0,004$; ...

в) $0,32$; $0,323$; $0,3232$; ...

г) $0,6$; $0,606$; $0,60606$; ...

а) 0,5; 0,55; 0,555; ...

Закономерность данной последовательности заключается в том, что каждое последующее число получается путем добавления еще одной цифры «5» в конец десятичной части предыдущего числа.

Следуя этому правилу, найдем следующие два числа:

• Четвертое число: к 0,555 добавляем «5», получаем 0,5555.
• Пятое число: к 0,5555 добавляем «5», получаем 0,55555.

Таким образом, полная последовательность из пяти чисел выглядит так: 0,5; 0,55; 0,555; 0,5555; 0,55555.

Прочитаем все записанные дроби:

• 0,5 — ноль целых, пять десятых;
• 0,55 — ноль целых, пятьдесят пять сотых;
• 0,555 — ноль целых, пятьсот пятьдесят пять тысячных;
• 0,5555 — ноль целых, пять тысяч пятьсот пятьдесят пять десятитысячных;
• 0,55555 — ноль целых, пятьдесят пять тысяч пятьсот пятьдесят пять стотысячных.

Ответ: 0,5555; 0,55555.

б) 0,4; 0,04; 0,004; ...

В этой последовательности мы видим, что каждый следующий член в 10 раз меньше предыдущего. Это является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{10}$. Другими словами, для получения следующего числа нужно предыдущее разделить на 10 (или сдвинуть запятую на один знак влево).

Найдем следующие два числа:

• Четвертое число: $0,004 : 10 = 0,0004$.
• Пятое число: $0,0004 : 10 = 0,00004$.

Полная последовательность: 0,4; 0,04; 0,004; 0,0004; 0,00004.

Прочитаем все записанные дроби:

• 0,4 — ноль целых, четыре десятых;
• 0,04 — ноль целых, четыре сотых;
• 0,004 — ноль целых, четыре тысячных;
• 0,0004 — ноль целых, четыре десятитысячных;
• 0,00004 — ноль целых, четыре стотысячных.

Ответ: 0,0004; 0,00004.

в) 0,32; 0,323; 0,3232; ...

Закономерность здесь состоит в поочередном добавлении цифр «3» и «2» в конец десятичной части числа. К первому числу 0,32 добавили «3», получилось 0,323. Затем к 0,323 добавили «2», получилось 0,3232.

Продолжим последовательность по этому правилу:

• Четвертое число: к 0,3232 добавляем «3», получаем 0,32323.
• Пятое число: к 0,32323 добавляем «2», получаем 0,323232.

Полная последовательность: 0,32; 0,323; 0,3232; 0,32323; 0,323232.

Прочитаем все записанные дроби:

• 0,32 — ноль целых, тридцать две сотых;
• 0,323 — ноль целых, триста двадцать три тысячных;
• 0,3232 — ноль целых, три тысячи двести тридцать две десятитысячных;
• 0,32323 — ноль целых, тридцать две тысячи триста двадцать три стотысячных;
• 0,323232 — ноль целых, триста двадцать три тысячи двести тридцать две миллионных.

Ответ: 0,32323; 0,323232.

г) 0,6; 0,606; 0,60606; ...

В этой последовательности каждое следующее число образуется путем дописывания группы цифр «06» в конец десятичной части предыдущего числа.

Найдем следующие два числа:

• Четвертое число: к 0,60606 дописываем «06», получаем 0,6060606.
• Пятое число: к 0,6060606 дописываем «06», получаем 0,606060606.

Полная последовательность: 0,6; 0,606; 0,60606; 0,6060606; 0,606060606.

Прочитаем все записанные дроби:

• 0,6 — ноль целых, шесть десятых;
• 0,606 — ноль целых, шестьсот шесть тысячных;
• 0,60606 — ноль целых, шестьдесят тысяч шестьсот шесть стотысячных;
• 0,6060606 — ноль целых, шесть миллионов шестьдесят тысяч шестьсот шесть десятимиллионных;
• 0,606060606 — ноль целых, шестьсот шесть миллионов шестьдесят тысяч шестьсот шесть миллиардных.

Ответ: 0,6060606; 0,606060606.

10.15 РАССУЖДАЕМ

а) На XIX зимних Олимпийских играх российская спортсменка С. Журова пробежала на коньках дистанцию 500 м за 37,55 с. Какой результат показала другая спортсменка, которая улучшила это время на одну сотую секунды; на две десятых секунды?

б) На XVII зимних Олимпийских играх первое место в беге на коньках на 500 м занял А. Голубев (Россия). Он пробежал дистанцию за 36,33 с. Спортсмен из Японии, занявший третье место, имел результат на две десятых секунды хуже. Какой результат показал японский спортсмен?

а)

Исходное время российской спортсменки С. Журовой — 37,55 секунды. В спортивных соревнованиях на время "улучшить результат" означает пробежать дистанцию быстрее, то есть затратить меньше времени. Следовательно, для нахождения нового результата необходимо вычитать из исходного времени.

• Улучшение на одну сотую секунды:

  Одна сотая секунды — это 0,01 с. Чтобы найти новый результат, вычтем это значение из исходного времени:

  $37,55 - 0,01 = 37,54$ с.

• Улучшение на две десятых секунды:

  Две десятых секунды — это 0,2 с. Чтобы найти новый результат, вычтем это значение из исходного времени:

  $37,55 - 0,2 = 37,35$ с.

Ответ: результат спортсменки, улучшившей время на одну сотую секунды, — 37,54 с; результат спортсменки, улучшившей время на две десятых секунды, — 37,35 с.

б)

Время А. Голубева, занявшего первое место, составляет 36,33 секунды. Результат японского спортсмена был "хуже" на две десятых секунды. Это означает, что он пробежал дистанцию медленнее, то есть затратил больше времени. Следовательно, к результату А. Голубева нужно прибавить указанное время.

Две десятых секунды — это 0,2 с. Рассчитаем время японского спортсмена:

$36,33 + 0,2 = 36,53$ с.

Ответ: результат японского спортсмена составил 36,53 с.