Страница 223 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.1 Прочитайте десятичные дроби:

а) $0,2$; $0,03$; $0,004$;

б) $6,2$; $0,14$; $9,716$;

в) $0,025$; $4,308$;

г) $6,007$; $1,2018$;

д) $7,004$; $0,0025$;

е) $10,001$; $0,02008$.

а)

$0,2$ — читается как «ноль целых две десятых». После запятой одна цифра, что соответствует разряду десятых.

$0,03$ — читается как «ноль целых три сотых». После запятой две цифры, что соответствует разряду сотых.

$0,004$ — читается как «ноль целых четыре тысячных». После запятой три цифры, что соответствует разряду тысячных.

Ответ: ноль целых две десятых; ноль целых три сотых; ноль целых четыре тысячных.

б)

$6,2$ — читается как «шесть целых две десятых».

$0,14$ — читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

$9,716$ — читается как «девять целых семьсот шестнадцать тысячных».

Ответ: шесть целых две десятых; ноль целых четырнадцать сотых; девять целых семьсот шестнадцать тысячных.

в)

$0,025$ — читается как «ноль целых двадцать пять тысячных». После запятой три цифры (тысячные).

$4,308$ — читается как «четыре целых триста восемь тысячных».

Ответ: ноль целых двадцать пять тысячных; четыре целых триста восемь тысячных.

г)

$6,007$ — читается как «шесть целых семь тысячных».

$1,2018$ — читается как «одна целая две тысячи восемнадцать десятитысячных». После запятой четыре цифры (десятитысячные).

Ответ: шесть целых семь тысячных; одна целая две тысячи восемнадцать десятитысячных.

д)

$7,004$ — читается как «семь целых четыре тысячных».

$0,0025$ — читается как «ноль целых двадцать пять десятитысячных».

Ответ: семь целых четыре тысячных; ноль целых двадцать пять десятитысячных.

е)

$10,001$ — читается как «десять целых одна тысячная».

$0,02008$ — читается как «ноль целых две тысячи восемь стотысячных». После запятой пять цифр (стотысячные).

Ответ: десять целых одна тысячная; ноль целых две тысячи восемь стотысячных.

10.2 a) В числе 154038 сначала отделите запятой одну цифру справа, а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево, пока перед запятой не останется только одна цифра. Прочитайте каждую получившуюся десятичную дробь.

б) В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо, пока после запятой не окажется только одна цифра. Прочитайте каждую получившуюся десятичную дробь.

а) В числе $154038$ будем последовательно отделять запятой цифры, сдвигаясь справа налево.

1. Сначала отделим запятой одну цифру справа: $15403,8$.
   Прочитаем дробь: пятнадцать тысяч четыреста три целых восемь десятых.
2. Сдвинем запятую на одну цифру влево: $1540,38$.
   Прочитаем дробь: одна тысяча пятьсот сорок целых тридцать восемь сотых.
3. Снова сдвинем запятую на одну цифру влево: $154,038$.
   Прочитаем дробь: сто пятьдесят четыре целых тридцать восемь тысячных.
4. Еще раз сдвинем запятую на одну цифру влево: $15,4038$.
   Прочитаем дробь: пятнадцать целых четыре тысячи тридцать восемь десятитысячных.
5. Последний сдвиг влево, чтобы перед запятой осталась только одна цифра: $1,54038$.
   Прочитаем дробь: одна целая пятьдесят четыре тысячи тридцать восемь стотысячных.

Ответ: $15403,8$ (пятнадцать тысяч четыреста три целых восемь десятых); $1540,38$ (одна тысяча пятьсот сорок целых тридцать восемь сотых); $154,038$ (сто пятьдесят четыре целых тридцать восемь тысячных); $15,4038$ (пятнадцать целых четыре тысячи тридцать восемь десятитысячных); $1,54038$ (одна целая пятьдесят четыре тысячи тридцать восемь стотысячных).

б) В числе $6,012345$ будем последовательно сдвигать запятую на одну цифру вправо.

1. Сдвинем запятую на одну цифру вправо: $60,12345$.
   Прочитаем дробь: шестьдесят целых двенадцать тысяч триста сорок пять стотысячных.
2. Снова сдвинем запятую на одну цифру вправо: $601,2345$.
   Прочитаем дробь: шестьсот одна целая две тысячи триста сорок пять десятитысячных.
3. Еще раз сдвинем запятую на одну цифру вправо: $6012,345$.
   Прочитаем дробь: шесть тысяч двенадцать целых триста сорок пять тысячных.
4. Сдвинем запятую еще на одну цифру вправо: $60123,45$.
   Прочитаем дробь: шестьдесят тысяч сто двадцать три целых сорок пять сотых.
5. Последний сдвиг вправо, чтобы после запятой осталась только одна цифра: $601234,5$.
   Прочитаем дробь: шестьсот одна тысяча двести тридцать четыре целых пять десятых.

Ответ: $60,12345$ (шестьдесят целых двенадцать тысяч триста сорок пять стотысячных); $601,2345$ (шестьсот одна целая две тысячи триста сорок пять десятитысячных); $6012,345$ (шесть тысяч двенадцать целых триста сорок пять тысячных); $60123,45$ (шестьдесят тысяч сто двадцать три целых сорок пять сотых); $601234,5$ (шестьсот одна тысяча двести тридцать четыре целых пять десятых).

10.3 Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби:

а) $0.9$;

б) $0.123$;

в) $0.03$;

г) $0.027$;

д) $10.01$;

е) $6.006$;

ж) $2.1004$;

з) $50.05005$.

а) Десятичная дробь 0,9 читается как «ноль целых, девять десятых». Чтобы преобразовать ее в обыкновенную дробь, мы записываем число после запятой (9) в числитель, а в знаменатель ставим 10, так как после запятой стоит одна цифра.
$0,9 = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$

б) Десятичная дробь 0,123 читается как «ноль целых, сто двадцать три тысячных». Число после запятой (123) будет числителем. Так как после запятой три цифры, знаменателем будет 1000.
$0,123 = \frac{123}{1000}$
Ответ: $\frac{123}{1000}$

в) Десятичная дробь 0,03 читается как «ноль целых, три сотых». Число после запятой (3) становится числителем. В знаменатель ставим 100, так как после запятой две цифры.
$0,03 = \frac{3}{100}$
Ответ: $\frac{3}{100}$

г) Десятичная дробь 0,027 читается как «ноль целых, двадцать семь тысячных». Числителем будет 27. В знаменателе будет 1000, так как после запятой три цифры.
$0,027 = \frac{27}{1000}$
Ответ: $\frac{27}{1000}$

д) Десятичная дробь 10,01 читается как «десять целых, одна сотая». Число до запятой (10) является целой частью смешанной дроби. Дробную часть записываем так: 1 в числитель, 100 в знаменатель (две цифры после запятой).
$10,01 = 10 \frac{1}{100}$
Ответ: $10 \frac{1}{100}$

е) Десятичная дробь 6,006 читается как «шесть целых, шесть тысячных». Целая часть равна 6. Дробная часть 0,006 записывается как $\frac{6}{1000}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2.
$6,006 = 6 \frac{6}{1000} = 6 \frac{6 \div 2}{1000 \div 2} = 6 \frac{3}{500}$
Ответ: $6 \frac{3}{500}$

ж) Десятичная дробь 2,1004 читается как «две целых, одна тысяча четыре десятитысячных». Целая часть равна 2. Дробная часть 0,1004 записывается как $\frac{1004}{10000}$, так как после запятой четыре цифры. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4.
$2,1004 = 2 \frac{1004}{10000} = 2 \frac{1004 \div 4}{10000 \div 4} = 2 \frac{251}{2500}$
Ответ: $2 \frac{251}{2500}$

з) Десятичная дробь 50,05005 читается как «пятьдесят целых, пять тысяч пять стотысячных». Целая часть равна 50. Дробная часть 0,05005 записывается как $\frac{5005}{100000}$, так как после запятой пять цифр. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5.
$50,05005 = 50 \frac{5005}{100000} = 50 \frac{5005 \div 5}{100000 \div 5} = 50 \frac{1001}{20000}$
Ответ: $50 \frac{1001}{20000}$

10.4 Запишите числа в виде десятичных дробей и прочитайте их:

а) $\frac{3}{10}$, $\frac{23}{100}$, $\frac{7}{100}$, $\frac{457}{1000}$, $\frac{9}{1000}$, $\frac{21}{1000}$

б) $11\frac{7}{10}$, $2\frac{18}{100}$, $5\frac{3}{100}$, $1\frac{238}{1000}$, $12\frac{15}{1000}$, $8\frac{8}{1000}$

в) $\frac{39}{10}$, $\frac{187}{10}$, $\frac{341}{100}$, $\frac{528}{100}$, $\frac{1349}{1000}$, $\frac{1002}{1000}$

Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно обратить внимание на знаменатель. Если знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д., то количество знаков после запятой в десятичной дроби будет равно количеству нулей в знаменателе. Целая часть такой дроби равна нулю.

$\frac{3}{10} = 0,3$ (читается: ноль целых три десятых).

$\frac{23}{100} = 0,23$ (читается: ноль целых двадцать три сотых).

$\frac{7}{100} = 0,07$ (читается: ноль целых семь сотых).

$\frac{457}{1000} = 0,457$ (читается: ноль целых четыреста пятьдесят семь тысячных).

$\frac{9}{1000} = 0,009$ (читается: ноль целых девять тысячных).

$\frac{21}{1000} = 0,021$ (читается: ноль целых двадцать одна тысячная).

Ответ: 0,3; 0,23; 0,07; 0,457; 0,009; 0,021.

Чтобы записать смешанное число в виде десятичной дроби, целую часть числа записывают перед запятой, а дробную часть преобразуют в десятичную и записывают после запятой.

$11\frac{7}{10} = 11,7$ (читается: одиннадцать целых семь десятых).

$2\frac{18}{100} = 2,18$ (читается: две целых восемнадцать сотых).

$5\frac{3}{100} = 5,03$ (читается: пять целых три сотых).

$1\frac{238}{1000} = 1,238$ (читается: одна целая двести тридцать восемь тысячных).

$12\frac{15}{1000} = 12,015$ (читается: двенадцать целых пятнадцать тысячных).

$8\frac{8}{1000} = 8,008$ (читается: восемь целых восемь тысячных).

Ответ: 11,7; 2,18; 5,03; 1,238; 12,015; 8,008.

Чтобы записать неправильную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Другой способ — выделить целую часть, которая станет целой частью десятичной дроби, а оставшуюся правильную дробь записать после запятой.

$\frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3,9$ (читается: три целых девять десятых).

$\frac{187}{10} = 18\frac{7}{10} = 18,7$ (читается: восемнадцать целых семь десятых).

$\frac{341}{100} = 3\frac{41}{100} = 3,41$ (читается: три целых сорок одна сотая).

$\frac{528}{100} = 5\frac{28}{100} = 5,28$ (читается: пять целых двадцать восемь сотых).

$\frac{1349}{1000} = 1\frac{349}{1000} = 1,349$ (читается: одна целая триста сорок девять тысячных).

$\frac{1002}{1000} = 1\frac{2}{1000} = 1,002$ (читается: одна целая две тысячных).

Ответ: 3,9; 18,7; 3,41; 5,28; 1,349; 1,002.

10.5 Есть ли среди данных чисел равные? Если есть, то укажите их и запишите соответствующее равенство:

a) 3,001, 3,010, 3,100, 3,1;

$3.1 = 3.100$

б) 6,800, 6,080, 6,880, 6,08;

$6.080 = 6.08$

в) 0,4, 0,40, 0,004, 0,400.

$0.4 = 0.40 = 0.400$

а) Чтобы определить, есть ли среди чисел 3,001; 3,010; 3,100; 3,1 равные, воспользуемся свойством десятичных дробей: значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части дописать или отбросить нули.
Рассмотрим данные числа:
- $3,001$
- $3,010$ (можно отбросить ноль в конце, получим $3,01$)
- $3,100$ (можно отбросить два нуля в конце, получим $3,1$)
- $3,1$
Сравнивая полученные значения ($3,001$; $3,01$; $3,1$; $3,1$), мы видим, что числа $3,100$ и $3,1$ равны.
Ответ: Да, есть. $3,100 = 3,1$.

б) Рассмотрим числа 6,800; 6,080; 6,880; 6,08. Применим то же свойство десятичных дробей.
- $6,800 = 6,8$
- $6,080 = 6,08$
- $6,880 = 6,88$
- $6,08$
Сравнив числа после отбрасывания незначащих нулей ($6,8$; $6,08$; $6,88$; $6,08$), находим равную пару: $6,080$ и $6,08$.
Ответ: Да, есть. $6,080 = 6,08$.

в) Рассмотрим числа 0,4; 0,40; 0,004; 0,400.
- $0,4$
- $0,40$ (отбросив ноль, получаем $0,4$)
- $0,004$ (это число отлично от других, так как значащая цифра 4 стоит в разряде тысячных)
- $0,400$ (отбросив два нуля, получаем $0,4$)
Таким образом, мы видим, что три числа из данного списка равны между собой: 0,4; 0,40 и 0,400.
Ответ: Да, есть. $0,4 = 0,40 = 0,400$.

10.6 Замените данную десятичную дробь равной, содержащей наименьшее количество десятичных знаков:

а) $3.6000$;

б) $70.0200$;

в) $0.8700$;

г) $0.00300$.

Чтобы заменить данную десятичную дробь равной ей дробью с наименьшим количеством десятичных знаков, необходимо отбросить все нули, стоящие в конце дроби (справа). Это возможно благодаря основному свойству десятичной дроби: значение дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить нули.

а) В дроби $3,6000$ три последних знака — это нули. Отбросив их, мы получим равную ей дробь, которая будет содержать наименьшее возможное количество десятичных знаков.
$3,6000 = 3,6$
Ответ: 3,6.

б) В дроби $70,0200$ последние два знака — нули. Мы можем их отбросить. Нуль, стоящий между запятой и цифрой 2, отбрасывать нельзя, так как он не находится в конце дроби и является значащим разрядом.
$70,0200 = 70,02$
Ответ: 70,02.

в) В дроби $0,8700$ последние два знака — нули. Отбрасываем их, чтобы получить дробь с наименьшим количеством десятичных знаков.
$0,8700 = 0,87$
Ответ: 0,87.

г) В дроби $0,00300$ последние два знака — нули. Их можно отбросить. Нули, стоящие после запятой перед цифрой 3, отбрасывать нельзя, так как они определяют разряд цифры 3.
$0,00300 = 0,003$
Ответ: 0,003.

$10.7$ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Десятичные дроби, так же как и обыкновенные, изображают точками на координатной прямой. Для построения точки, соответствующей числу $0.47$, действуйте по плану:

1) Постройте точку, соответствующую числу $0.4$. На координатной прямой от точки $0$ отложите единичный отрезок, равный $20$ клеткам. Отрезок между точками $0$ и $1$ разделите на $10$ равных частей. Отсчитайте $4$ десятые доли от $0$ и отметьте точку $0.4$.

2) Постройте точку, соответствующую числу $0.47$. Единичный отрезок, который следует за точкой с координатой $0.4$, разделите на $10$ равных частей. Отсчитайте $7$ сотых долей от точки $0.4$ и отметьте точку $0.47$.

1) Постройте точку, соответствующую числу 0,4.

Для построения точки, соответствующей числу 0,4, на координатной прямой необходимо выполнить следующие действия. Сначала начертим саму прямую и отметим на ней начало отсчета — точку 0. Согласно условию, единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, равен 20 клеткам. Отложим это расстояние и отметим точку 1. Далее, чтобы отметить десятые доли, разделим отрезок [0, 1] на 10 равных частей. Длина каждой такой части (соответствующей 0,1) будет равна $20 \text{ клеток} \div 10 = 2 \text{ клетки}$. Число 0,4 соответствует четырем десятым долям. Чтобы найти эту точку, отсчитаем от точки 0 четыре таких части, что составит расстояние в $4 \times 2 \text{ клетки} = 8 \text{ клеток}$. Отложив 8 клеток вправо от точки 0, мы отмечаем искомую точку 0,4.

Ответ: Точка, соответствующая числу 0,4, находится на координатной прямой на расстоянии 8 клеток вправо от точки 0.

2) Постройте точку, соответствующую числу 0,47.

Для построения точки, соответствующей числу 0,47, мы исходим из уже найденного положения точки 0,4. Число 0,47 можно представить как сумму $0,4 + 0,07$. Это означает, что от точки 0,4 нам нужно отложить еще 7 сотых долей. Для этого разделим отрезок, соответствующий одной десятой доле (например, отрезок между 0,4 и 0,5), на 10 равных частей. Каждая такая часть будет соответствовать одной сотой доле (0,01). Длина отрезка, равного одной десятой доле, составляет 2 клетки. Следовательно, длина отрезка, равного одной сотой доле, будет $2 \text{ клетки} \div 10 = 0,2 \text{ клетки}$. Чтобы отложить 7 сотых долей, нужно сместиться от точки 0,4 вправо на расстояние, равное $7 \times 0,2 \text{ клетки} = 1,4 \text{ клетки}$. Таким образом, итоговое положение точки 0,47 относительно начала отсчета (точки 0) будет на расстоянии $8 \text{ клеток} + 1,4 \text{ клетки} = 9,4 \text{ клетки}$.

Ответ: Точка, соответствующая числу 0,47, находится на координатной прямой на расстоянии 9,4 клетки вправо от точки 0.