Страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Знаю, как связаны метрические единицы площади, и умею выражать одни единицы площади через другие.

8. Заполните пропуски:

$1 \text{ км}^2 = \dots \text{ м}^2$;

$1 \text{ м}^2 = \dots \text{ дм}^2 = \dots \text{ см}^2 = \dots \text{ мм}^2$.

1 км² = ... м²
Для того чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, необходимо знать соотношение между линейными единицами – километрами и метрами. В одном километре содержится 1000 метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Квадратный километр ($ \text{км}^2 $) – это площадь квадрата со стороной 1 км. Чтобы найти эту площадь в квадратных метрах ($ \text{м}^2 $), нужно перемножить длины его сторон, выраженные в метрах:
$1 \text{ км}^2 = 1 \text{ км} \times 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1\;000\;000 \text{ м}^2$
Таким образом, 1 квадратный километр равен 1 000 000 квадратных метров.
Ответ: $1 \text{ км}^2 = 1\;000\;000 \text{ м}^2$.

1 м² = ... дм² = ... см² = ... мм²
Для заполнения этой цепочки пропусков выполним последовательный перевод одного квадратного метра в другие, более мелкие единицы площади, основываясь на соотношениях линейных единиц.
1. Перевод в квадратные дециметры ($ \text{дм}^2 $):
В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Следовательно, площадь в 1 квадратный метр равна:
$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
2. Перевод в квадратные сантиметры ($ \text{см}^2 $):
В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Следовательно, площадь в 1 квадратный метр равна:
$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10\;000 \text{ см}^2$.
3. Перевод в квадратные миллиметры ($ \text{мм}^2 $):
В одном метре содержится 1000 миллиметров: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.
Следовательно, площадь в 1 квадратный метр равна:
$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} \times 1000 \text{ мм} = 1\;000\;000 \text{ мм}^2$.
Таким образом, полностью заполненная строка выглядит следующим образом:
$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10\;000 \text{ см}^2 = 1\;000\;000 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10\;000 \text{ см}^2 = 1\;000\;000 \text{ мм}^2$.

9. Выразите:

а) в квадратных сантиметрах $25 \, \text{дм}^2$, $700 \, \text{мм}^2$, $1 \, \text{дм}^2 \, 85 \, \text{см}^2$;

б) в квадратных метрах $2 \, \text{км}^2$, $300 \, \text{дм}^2$.

а) в квадратных сантиметрах 25 дм², 700 мм², 1 дм² 85 см²;

Для того чтобы выразить данные величины в квадратных сантиметрах ($см^2$), необходимо знать следующие соотношения единиц площади:

• В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому в одном квадратном дециметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров.
  $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
• В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому в одном квадратном сантиметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров.
  $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.

Теперь выполним преобразования для каждой величины:

1. Чтобы перевести 25 $дм^2$ в $см^2$, нужно умножить количество квадратных дециметров на 100:

$25 \text{ дм}^2 = 25 \times 100 \text{ см}^2 = 2500 \text{ см}^2$.

2. Чтобы перевести 700 $мм^2$ в $см^2$, нужно разделить количество квадратных миллиметров на 100:

$700 \text{ мм}^2 = 700 \div 100 \text{ см}^2 = 7 \text{ см}^2$.

3. Чтобы перевести 1 $дм^2$ 85 $см^2$ в $см^2$, сначала переведем квадратные дециметры в квадратные сантиметры, а затем прибавим оставшиеся квадратные сантиметры:

$1 \text{ дм}^2 85 \text{ см}^2 = 1 \times 100 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 185 \text{ см}^2$.

Ответ: $25 \text{ дм}^2 = 2500 \text{ см}^2$; $700 \text{ мм}^2 = 7 \text{ см}^2$; $1 \text{ дм}^2 85 \text{ см}^2 = 185 \text{ см}^2$.

б) в квадратных метрах 2 км², 300 дм²;

Для того чтобы выразить данные величины в квадратных метрах ($м^2$), необходимо знать следующие соотношения единиц площади:

• В одном километре 1000 метров, поэтому в одном квадратном километре содержится $1000 \times 1000 = 1\;000\;000$ квадратных метров.
  $1 \text{ км}^2 = 1\;000\;000 \text{ м}^2$.
• В одном метре 10 дециметров, поэтому в одном квадратном метре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных дециметров.
  $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.

Теперь выполним преобразования для каждой величины:

1. Чтобы перевести 2 $км^2$ в $м^2$, нужно умножить количество квадратных километров на 1 000 000:

$2 \text{ км}^2 = 2 \times 1\;000\;000 \text{ м}^2 = 2\;000\;000 \text{ м}^2$.

2. Чтобы перевести 300 $дм^2$ в $м^2$, нужно разделить количество квадратных дециметров на 100:

$300 \text{ дм}^2 = 300 \div 100 \text{ м}^2 = 3 \text{ м}^2$.

Ответ: $2 \text{ км}^2 = 2\;000\;000 \text{ м}^2$; $300 \text{ дм}^2 = 3 \text{ м}^2$.

Знаю, в каких ситуациях какие единицы измерения использую, могу выбрать подходящую единицу измерения.

10. Каждой площади поставьте в соответствие подходящую единицу:

1) $км^2$; 2) $дм^2$; 3) $м^2$; 4) $га$.

а) Площадь квартиры.

б) Площадь государства.

в) Площадь пашни.

г) Площадь окна.

Для того чтобы сопоставить каждой площади подходящую единицу измерения, необходимо оценить типичные размеры указанных объектов.

а) Площадь квартиры.

Площадь жилых помещений, таких как квартиры или дома, традиционно измеряется в квадратных метрах ($м^2$). Стандартные площади квартир варьируются от 20 до 150 $м^2$. Использовать квадратные километры ($км^2$) или гектары (га) было бы нецелесообразно, так как это единицы для очень больших территорий. Квадратные дециметры ($дм^2$) слишком малы, и площадь пришлось бы выражать очень большим числом (например, 50 $м^2$ = 5000 $дм^2$). Таким образом, наиболее подходящая единица — квадратный метр.

Ответ: 3

б) Площадь государства.

Государства занимают огромные территории, поэтому для измерения их площади используют самые крупные единицы. Стандартной единицей для измерения площади стран, континентов и крупных географических объектов является квадратный километр ($км^2$). Например, площадь России составляет более 17 миллионов $км^2$. Другие предложенные единицы (гектары, квадратные метры, квадратные дециметры) слишком малы для таких масштабов.

Ответ: 1

в) Площадь пашни.

Пашня — это сельскохозяйственные угодья, поля. Для измерения площади земельных участков, особенно в сельском хозяйстве, принято использовать гектары (га). Один гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров, то есть $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$. Эта единица удобна для измерения полей, которые могут иметь площадь от нескольких до нескольких сотен гектаров. Использовать $км^2$ можно для очень крупных агрохолдингов, но "гектар" является стандартной отраслевой единицей. $м^2$ и $дм^2$ слишком малы.

Ответ: 4

г) Площадь окна.

Окно имеет относительно небольшую площадь по сравнению с квартирой или полем. Площадь стандартного окна обычно составляет 1-2 квадратных метра. Если выразить это в квадратных дециметрах, получатся удобные целые числа. Например, окно размером 1,2 м на 1,5 м имеет площадь $1.8 \text{ м}^2$. Так как $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, то $1.8 \text{ м}^2 = 180 \text{ дм}^2$. Среди предложенных вариантов, квадратный дециметр ($дм^2$) является наиболее подходящей единицей для измерения площади таких небольших объектов, как окно, особенно в сравнении с остальными объектами из списка.

Ответ: 2