Страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Начертите на листе в клетку окружность и найдите площадь ограниченного ею круга.

Указание. Примите площадь одного квадрата за 1 кв. ед.

Для решения этой задачи сначала нужно начертить окружность на листе в клетку. Поскольку в задаче не указан радиус, мы можем выбрать его самостоятельно. Для удобства вычислений и подсчета клеток выберем радиус, равный 3 клеткам. Центр окружности разместим на пересечении линий сетки. Согласно указанию, площадь одной клетки (квадрата) равна 1 кв. ед., значит, сторона клетки равна 1 ед. Таким образом, радиус нашей окружности $R = 3$ ед.

Площадь круга, ограниченного этой окружностью, можно найти двумя способами: точным (с помощью формулы) и приближенным (с помощью подсчета клеток).

Площадь круга вычисляется по формуле:

$S = \pi R^2$

где $S$ — площадь круга, $R$ — его радиус, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Подставим в формулу значение нашего радиуса $R = 3$ ед.:

$S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$

Это точное значение площади. Для получения численного значения, используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 9 \cdot 3,14 = 28,26$ кв. ед.

Ответ: Точная площадь круга равна $9\pi$ кв. ед., что приблизительно составляет 28,26 кв. ед.

Этот метод дает приблизительное значение площади. Суть метода заключается в подсчете количества клеток, которые оказались внутри круга.

1. Сначала посчитаем количество целых клеток, которые полностью находятся внутри окружности. Обозначим это число как $N_{внутр}$. Для круга с радиусом 3, помещенного в центр координатной сетки, можно подсчитать, что таких клеток 16. Таким образом, $N_{внутр} = 16$.

2. Затем посчитаем количество клеток, которые окружность пересекает, то есть те, что частично находятся внутри, а частично снаружи. Обозначим это число как $N_{граничн}$. Для нашего круга таких клеток будет 20. Таким образом, $N_{граничн} = 20$.

Приближенную площадь круга можно вычислить по формуле Палисада:

$S_{прибл} = N_{внутр} + \frac{1}{2} N_{граничн}$

Подставим наши значения:

$S_{прибл} = 16 + \frac{1}{2} \cdot 20 = 16 + 10 = 26$ кв. ед.

Как мы видим, результат (26 кв. ед.) близок к точному значению (28,26 кв. ед.). Точность этого метода увеличивается с увеличением радиуса окружности.

Ответ: Приближенная площадь круга, найденная методом подсчета клеток, составляет 26 кв. ед.

9.53 1) Определите площади фигур, изображённых на рисунке 9.30.

2) Сторона единичного квадрата равна $5 \text{ мм}$. Чему равна его площадь в квадратных $ \text{мм}^2$? Чему равны площади фигур в квадратных $ \text{мм}^2$?

$1 \text{ кв. ед.}$

Рис. 9.30

1) Определите площади фигур, изображённых на рисунке 9.30.

Площадь фигуры определяется количеством единичных квадратов, из которых она состоит. Согласно рисунку, площадь одного закрашенного квадрата равна 1 квадратной единице (кв. ед.). Чтобы найти площадь каждой фигуры, посчитаем количество таких квадратов в ней.

Площадь фигуры 1: Фигура состоит из 5 единичных квадратов. Следовательно, её площадь $S_1 = 5$ кв. ед.
Площадь фигуры 2: Фигура состоит из 5 единичных квадратов. Следовательно, её площадь $S_2 = 5$ кв. ед.
Площадь фигуры 3: Фигура состоит из 6 единичных квадратов. Следовательно, её площадь $S_3 = 6$ кв. ед.
Площадь фигуры 4: Фигура состоит из 4 единичных квадратов. Следовательно, её площадь $S_4 = 4$ кв. ед.

Ответ: площадь фигуры 1 равна 5 кв. ед.; площадь фигуры 2 равна 5 кв. ед.; площадь фигуры 3 равна 6 кв. ед.; площадь фигуры 4 равна 4 кв. ед.

2) Сторона единичного квадрата равна 5 мм. Чему равна его площадь в квадратных миллиметрах? Чему равны площади фигур в квадратных миллиметрах?

Сначала найдем площадь одного единичного квадрата в квадратных миллиметрах. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.

По условию, сторона единичного квадрата $a = 5$ мм.
Тогда его площадь равна: $S_{\text{кв. ед.}} = (5 \text{ мм})^2 = 5 \text{ мм} \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}^2$.
Таким образом, 1 кв. ед. = 25 мм².

Теперь, зная площади фигур в квадратных единицах, мы можем найти их площади в квадратных миллиметрах. Для этого нужно умножить площадь в кв. ед. на 25 мм².

Площадь фигуры 1: $S_1 = 5 \text{ кв. ед.} \times 25 \frac{\text{мм}^2}{\text{кв. ед.}} = 125 \text{ мм}^2$.
Площадь фигуры 2: $S_2 = 5 \text{ кв. ед.} \times 25 \frac{\text{мм}^2}{\text{кв. ед.}} = 125 \text{ мм}^2$.
Площадь фигуры 3: $S_3 = 6 \text{ кв. ед.} \times 25 \frac{\text{мм}^2}{\text{кв. ед.}} = 150 \text{ мм}^2$.
Площадь фигуры 4: $S_4 = 4 \text{ кв. ед.} \times 25 \frac{\text{мм}^2}{\text{кв. ед.}} = 100 \text{ мм}^2$.

Ответ: площадь единичного квадрата равна 25 мм². Площади фигур: фигура 1 — 125 мм², фигура 2 — 125 мм², фигура 3 — 150 мм², фигура 4 — 100 мм².

9.54 1) Вырежите из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со стороной, равной $2\text{ см}$. Чему равна площадь каждого такого квадрата? Рис. 9.30

2) Сложите из всех этих квадратов какой-нибудь многоугольник. Чему равна его площадь, если один квадрат принять за квадратную единицу? Чему равна его площадь в квадратных сантиметрах?

3) Сложите прямоугольник, площадь которого равна $8\text{ кв. ед.}$. Сколько таких прямоугольников можно сложить? Чему равна площадь каждого прямоугольника в квадратных сантиметрах?

1) Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. По условию, сторона квадрата $a = 2$ см. Подставив это значение в формулу, получаем:
$S = 2^2 = 4$ $см^2$.
Ответ: 4 $см^2$.

2) Многоугольник состоит из 8 одинаковых квадратов. Если один квадрат принять за единицу площади (1 кв. ед.), то площадь всего многоугольника будет равна количеству составляющих его квадратов.
Площадь в квадратных единицах: $8 \times 1 = 8$ кв. ед.
В первом пункте мы выяснили, что площадь одного квадрата равна 4 $см^2$. Чтобы найти площадь всего многоугольника в квадратных сантиметрах, нужно умножить количество квадратов на площадь одного квадрата:
Площадь в квадратных сантиметрах: $S = 8 \times 4 = 32$ $см^2$.
Ответ: 8 кв. ед.; 32 $см^2$.

3) Требуется сложить прямоугольник с площадью 8 кв. ед. Это означает, что прямоугольник должен состоять из 8 единичных квадратов. Количество различных прямоугольников, которые можно сложить, равно количеству пар натуральных чисел, произведение которых дает 8.
Такими парами являются (1, 8) и (2, 4).
Следовательно, можно сложить два различных по форме прямоугольника: со сторонами 1 и 8 единичных квадратов (1x8) и со сторонами 2 и 4 единичных квадратов (2x4).
Площадь каждого из этих прямоугольников в квадратных сантиметрах будет одинаковой, поскольку они состоят из одного и того же количества (8 штук) квадратов. Как было рассчитано в пункте 2, общая площадь составляет 32 $см^2$.
Ответ: можно сложить 2 прямоугольника; площадь каждого равна 32 $см^2$.

9.55 Определите площадь каждого из прямоугольников, изображенных на рисунке 9.31, а–г. Начертите в тетради прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см и найдите его площадь.

а) $1 \text{ см}^2$

б) в) г) Рис. 9.31

а) Прямоугольник состоит из 6 квадратов, площадь каждого из которых, согласно условию, равна $1$ $см^2$. Чтобы найти площадь всего прямоугольника, нужно посчитать количество квадратов и умножить на площадь одного квадрата. В данном случае в прямоугольнике 2 столбца и 3 ряда, всего $2 \cdot 3 = 6$ квадратов.
Площадь равна $6 \cdot 1$ $см^2 = 6$ $см^2$.
Ответ: $6$ $см^2$.

б) Прямоугольник состоит из 4 квадратов (2 столбца и 2 ряда), площадь каждого $1$ $см^2$.
Площадь равна $4 \cdot 1$ $см^2 = 4$ $см^2$.
Ответ: $4$ $см^2$.

в) Прямоугольник состоит из 9 квадратов (3 столбца и 3 ряда), площадь каждого $1$ $см^2$.
Площадь равна $9 \cdot 1$ $см^2 = 9$ $см^2$.
Ответ: $9$ $см^2$.

г) Прямоугольник состоит из 5 квадратов (5 столбцов и 1 ряд), площадь каждого $1$ $см^2$.
Площадь равна $5 \cdot 1$ $см^2 = 5$ $см^2$.
Ответ: $5$ $см^2$.

Для нахождения площади прямоугольника со сторонами $3$ см и $4$ см необходимо перемножить длины его сторон. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
$S = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ } см^2$.
Ответ: $12$ $см^2$.

9.56 Размеры одного прямоугольного садового участка 22 м и 30 м, а другого – 32 м и 20 м. Какой из них больше? На сколько квадратных метров?

Для того чтобы сравнить два прямоугольных садовых участка и найти разницу в их площади, необходимо сначала вычислить площадь каждого из них. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.

1. Вычислим площадь первого участка, размеры которого 22 м и 30 м:
$S_1 = 22 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 660 \text{ м}^2$.

2. Вычислим площадь второго участка, размеры которого 32 м и 20 м:
$S_2 = 32 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 640 \text{ м}^2$.

Какой из них больше?
Теперь сравним полученные площади:
$660 \text{ м}^2 > 640 \text{ м}^2$.
Это означает, что площадь первого участка больше площади второго.

На сколько квадратных метров?
Чтобы найти, на сколько один участок больше другого, вычтем из большей площади меньшую:
$S_1 - S_2 = 660 \text{ м}^2 - 640 \text{ м}^2 = 20 \text{ м}^2$.

Ответ: первый участок больше второго на 20 квадратных метров.