Страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.48 Перенесите фигуру, изображённую на рисунке 9.26, в тетрадь. Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части. Сколько способов можно предложить?

Рис. 9.26

Для того чтобы разрезать фигуру одной прямой на две равные (то есть конгруэнтные) части, эта прямая должна быть осью симметрии фигуры или, в более общем случае, проходить через центр симметрии фигуры, если он существует. Данная фигура обладает центральной симметрией.

Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части.

1. Сначала найдем центр симметрии фигуры. Для удобства введем систему координат, совмещенную с сеткой на рисунке. Пусть левый нижний угол сетки имеет координаты $(0, 0)$. Сетка имеет размер 6x6 клеток. Тогда вершины многоугольника, изображенного на рисунке, будут иметь следующие координаты: $(1, 5)$, $(5, 5)$, $(4, 3)$, $(5, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$.

Центр симметрии этой фигуры — это точка, относительно которой фигура отображается сама на себя. Для данного многоугольника такой точкой является центр сетки $O(3, 3)$. Мы можем это проверить: для каждой вершины $(x, y)$ фигуры существует симметричная ей относительно точки $O(3, 3)$ вершина с координатами $(2 \cdot 3 - x, 2 \cdot 3 - y) = (6-x, 6-y)$. Например, для вершины $(1, 5)$ симметричной будет вершина $(6-1, 6-5) = (5, 1)$, и она также принадлежит фигуре. Аналогично для всех остальных вершин.

2. Любая прямая, проходящая через центр симметрии $O(3, 3)$, делит фигуру на две равные (конгруэнтные) части. Это является свойством всех центрально-симметричных фигур.

Самыми простыми примерами таких прямых являются оси симметрии фигуры:

• Вертикальная прямая, проходящая через центр. Ее уравнение $x=3$.
• Горизонтальная прямая, проходящая через центр. Ее уравнение $y=3$.

На рисунке ниже показана данная фигура, ее центр симметрии $O$ и два примера разрезающих прямых (вертикальная и горизонтальная).

На изображении синяя пунктирная линия представляет собой разрез по вертикали ($x=3$), а зеленая пунктирная линия — разрез по горизонтали ($y=3$). Обе прямые проходят через центр симметрии $O$ и делят фигуру на две равные части.

Ответ: Чтобы разрезать фигуру на две равные части, нужно провести любую прямую через ее центр симметрии, который находится в центре сетки $O(3, 3)$. Примерами таких прямых являются горизонтальная и вертикальная оси симметрии.

Сколько способов можно предложить?

Как было установлено, любая прямая, которая проходит через центр симметрии фигуры $O(3, 3)$, делит ее на две равные (конгруэнтные) части. Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество различных прямых.

Следовательно, существует бесконечное множество способов разрезать данную фигуру одной прямой на две равные части.

Ответ: Можно предложить бесконечно много способов.

9.49 Анализируем и ищем способ копирования

Треугольник, изображённый на рисунке 9.27, носит название «треугольник Серпинского» в честь создавшего его польского математика.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

в) во сколько раз сторона красного треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Подсказка. Равные треугольники считайте отдельно.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Рис. 9.27

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

Все сплошные (цветные) и полые (белые) треугольники, из которых состоит фигура, являются равносторонними. Это означает, что у каждого такого треугольника все три стороны равны и все три угла равны $60^\circ$.

Ответ: Все треугольники являются равносторонними.

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

Да, на рисунке есть множество равных треугольников. Треугольники считаются равными, если их соответствующие стороны и углы равны.

• Все 9 жёлтых треугольников равны между собой.
• Все 3 синих треугольника равны между собой.
• Розовый треугольник равен синим треугольникам.

Пример: любые два жёлтых треугольника на рисунке равны.

Ответ: Да, есть. Например, все жёлтые треугольники равны между собой.

в) во сколько раз сторона красного (розового) треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

Проанализируем соотношение сторон треугольников разных размеров. Пусть сторона самого маленького (жёлтого) треугольника равна $x$.

• Из рисунка видно, что сторона синего треугольника состоит из двух сторон жёлтого, значит, её длина равна $2x$.
• Розовый треугольник по размеру равен синему, его сторона также равна $2x$.
• Сторона самого большого треугольника (внешней рамки) состоит из двух сторон синего (или розового) треугольника, значит, её длина равна $2 \times (2x) = 4x$.

Теперь ответим на вопросы:

• Отношение стороны большого треугольника к стороне розового: $\frac{4x}{2x} = 2$. Таким образом, сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого.
• Отношение стороны розового треугольника к стороне синего: $\frac{2x}{2x} = 1$. Их стороны равны.
• Отношение стороны синего треугольника к стороне жёлтого: $\frac{2x}{x} = 2$. Таким образом, сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

Ответ: Сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого треугольника. Стороны синего и розового треугольников равны. Сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Для подсчёта всех треугольников сгруппируем их по размеру и направлению вершины (вверх или вниз).

• Самые маленькие треугольники (размером с жёлтый):
  • Вершиной вверх (жёлтые): 9 штук.
  • Вершиной вниз (белые "отверстия" в синих и розовом треугольниках): 3 штуки.
• Средние треугольники (размером с синий/розовый):
  • Вершиной вверх (синие и розовый): 3 + 1 = 4 штуки.
  • Вершиной вниз (центральный белый "отверстие"): 1 штука.
• Самый большой треугольник (вся фигура):
  • Вершиной вверх: 1 штука (внешний контур).

Суммируем все найденные треугольники: $9 + 3 + 4 + 1 + 1 = 18$.

Ответ: Всего на рисунке 18 треугольников.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Треугольник Серпинского — это фрактал, который строится по следующему рекурсивному алгоритму:

1. Шаг 1: Начать с одного сплошного равностороннего треугольника.
2. Шаг 2: Найти середины каждой из трёх сторон треугольника.
3. Шаг 3: Соединить эти три точки. Это разделит исходный треугольник на четыре меньших, равных между собой, равносторонних треугольника.
4. Шаг 4: Удалить (или закрасить фоновым цветом) центральный из этих четырёх треугольников (тот, который обращён вершиной вниз).
5. Шаг 5: Повторить шаги 2-4 для каждого из трёх оставшихся неубранных треугольников.

Этот процесс повторяется многократно (в теории — до бесконечности), создавая всё более детализированный узор. На рисунке показан результат после нескольких таких итераций.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном разделении равностороннего треугольника на четыре меньших и удалении центрального из них, повторяя этот процесс для всех оставшихся треугольников.

9.50 При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.

a) Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нём содержится свинца и сколько – олова?

б) Сколько свинца и сколько олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?

а)

Сплав состоит из 2 частей свинца и 5 частей олова.

1. Найдем общее количество частей в сплаве. Для этого сложим части свинца и олова:
$2 + 5 = 7$ (частей).

2. Общая масса куска сплава составляет 350 г. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу на количество частей:
$350 \text{ г} / 7 = 50 \text{ г}$.
Таким образом, одна часть сплава весит 50 г.

3. Теперь рассчитаем массу свинца и олова в этом куске:

• Масса свинца (2 части): $2 \times 50 \text{ г} = 100 \text{ г}$.
• Масса олова (5 частей): $5 \times 50 \text{ г} = 250 \text{ г}$.

Проверка: $100 \text{ г} + 250 \text{ г} = 350 \text{ г}$.

Ответ: 100 г свинца и 250 г олова.

б)

В этом случае нам неизвестна общая масса сплава, но известно, что олова на 360 г больше, чем свинца.

1. Узнаем, на сколько частей олова больше, чем свинца:
$5 \text{ частей} - 2 \text{ части} = 3 \text{ части}$.

2. Эта разница в 3 части соответствует разнице в массе 360 г. Найдем массу одной части:
$360 \text{ г} / 3 = 120 \text{ г}$.
Следовательно, масса одной части сплава равна 120 г.

3. Теперь вычислим массу свинца и олова в данном куске сплава:

• Масса свинца (2 части): $2 \times 120 \text{ г} = 240 \text{ г}$.
• Масса олова (5 частей): $5 \times 120 \text{ г} = 600 \text{ г}$.

Проверка: $600 \text{ г} - 240 \text{ г} = 360 \text{ г}$. Разница в массах соответствует условию задачи.

Ответ: 240 г свинца и 600 г олова.

9.51 Округлите число 2 968 135 до десятков, до сотен, до тысяч и т. д., вплоть до старшего разряда.

Чтобы округлить число, нужно определить разряд, до которого производится округление, и посмотреть на цифру в следующем, более младшем разряде.

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в округляемом разряде остаётся без изменений, а все следующие за ней цифры заменяются нулями.
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все следующие за ней цифры заменяются нулями.

Исходное число: $2\ 968\ 135$.

Округление до десятков

Округляем до разряда десятков (цифра $3$). Смотрим на следующую цифру в разряде единиц — это $5$. Так как она равна $5$, увеличиваем разряд десятков на $1$: $3+1=4$. Все последующие разряды (единицы) заменяем нулём.
$2\ 968\ 135 \approx 2\ 968\ 140$.

Ответ: $2\ 968\ 140$.

Округление до сотен

Округляем до разряда сотен (цифра $1$). Смотрим на следующую цифру в разряде десятков — это $3$. Так как $3 < 5$, оставляем разряд сотен без изменений. Все последующие разряды (десятки и единицы) заменяем нулями.
$2\ 968\ 135 \approx 2\ 968\ 100$.

Ответ: $2\ 968\ 100$.

Округление до тысяч

Округляем до разряда тысяч (цифра $8$). Смотрим на следующую цифру в разряде сотен — это $1$. Так как $1 < 5$, оставляем разряд тысяч без изменений. Все последующие разряды заменяем нулями.
$2\ 968\ 135 \approx 2\ 968\ 000$.

Ответ: $2\ 968\ 000$.

Округление до десятков тысяч

Округляем до разряда десятков тысяч (цифра $6$). Смотрим на следующую цифру в разряде тысяч — это $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков тысяч на $1$: $6+1=7$. Все последующие разряды заменяем нулями.
$2\ 968\ 135 \approx 2\ 970\ 000$.

Ответ: $2\ 970\ 000$.

Округление до сотен тысяч

Округляем до разряда сотен тысяч (цифра $9$). Смотрим на следующую цифру в разряде десятков тысяч — это $6$. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен тысяч на $1$: $9+1=10$. В этом случае в разряд сотен тысяч записываем $0$, а $1$ переносим в старший разряд (миллионы): $2+1=3$. Все последующие разряды заменяем нулями.
$2\ 968\ 135 \approx 3\ 000\ 000$.

Ответ: $3\ 000\ 000$.

Округление до старшего разряда (миллионов)

Старший разряд в числе — миллионы (цифра $2$). Смотрим на следующую цифру в разряде сотен тысяч — это $9$. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд миллионов на $1$: $2+1=3$. Все последующие разряды заменяем нулями.
$2\ 968\ 135 \approx 3\ 000\ 000$.

Ответ: $3\ 000\ 000$.

9.52 Найдите значение выражения, воспользовавшись распределительным свойством: $9 \cdot 23 + 25 \cdot 17 + 16 \cdot 23.$

Данное выражение: $9 \cdot 23 + 25 \cdot 17 + 16 \cdot 23$.

Для решения воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие общий множитель 23. Для этого используем переместительное свойство сложения:

$9 \cdot 23 + 25 \cdot 17 + 16 \cdot 23 = (9 \cdot 23 + 16 \cdot 23) + 25 \cdot 17$

Теперь вынесем общий множитель 23 за скобки в первой группе слагаемых:

$(9 + 16) \cdot 23 + 25 \cdot 17$

Выполним сложение в скобках:

$9 + 16 = 25$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$25 \cdot 23 + 25 \cdot 17$

Теперь у нас новое выражение, в котором есть общий множитель 25. Снова применим распределительное свойство и вынесем 25 за скобки:

$25 \cdot (23 + 17)$

Выполним сложение в скобках:

$23 + 17 = 40$

Наконец, выполним умножение:

$25 \cdot 40 = 1000$

Ответ: 1000