Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.20 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Для каждого утверждения укажите рисунок, который его опровергает (рис. 9.11).

а) Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон.

б) Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

в) Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть прямые углы.

Рис. 9.11

а) Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон.

Данное утверждение является неверным определением прямоугольника. Чтобы его опровергнуть, необходимо найти четырёхугольник, который имеет две пары равных сторон, но не является прямоугольником (то есть его углы не прямые). Таким свойством обладает, например, параллелограмм или дельтоид.

Рассмотрим фигуру на рисунке 2. Это дельтоид. Две его верхние смежные стороны имеют длины $ \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{(5-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10} $. Две нижние смежные стороны имеют длины $ \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10} $. Таким образом, у фигуры есть две пары равных смежных сторон: одна пара сторон длиной $ \sqrt{5} $ и другая пара сторон длиной $ \sqrt{10} $. При этом углы этой фигуры не являются прямыми. Следовательно, фигура 2 опровергает данное утверждение.

Ответ: рисунок 2.

б) Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Это утверждение является неверным определением квадрата, так как ему соответствует и ромб, который не является квадратом. Контрпримером будет четырёхугольник, у которого все стороны равны, но углы не прямые.

Рассмотрим фигуру на рисунке 3. Это ромб. Найдём длину одной из его сторон, например, между вершинами с координатами (0, 1) и (2, 2). Длина равна $ \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} $. Можно убедиться, что все четыре стороны этой фигуры равны $ \sqrt{5} $. Однако углы этого ромба не прямые, а значит, он не является квадратом. Следовательно, фигура 3 опровергает данное утверждение.

Ответ: рисунок 3.

в) Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть прямые углы.

Это утверждение также является неверным. Правильное определение прямоугольника гласит, что это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Чтобы опровергнуть данное утверждение, нужно найти четырёхугольник, у которого есть хотя бы один прямой угол, но который не является прямоугольником.

Рассмотрим фигуру на рисунке 1. Это прямоугольная трапеция. У неё есть два прямых угла ($ 90^\circ $). Однако два других угла не являются прямыми, поэтому эта фигура не является прямоугольником. Таким образом, фигура 1 опровергает данное утверждение.

Ответ: рисунок 1.

9.21 Найдите периметр квадрата со стороной, равной:

а) 5 см;

б) 7 см 5 мм;

в) 10 см 3 мм.

Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Так как у квадрата все стороны равны, его периметр ($P$) можно найти по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина одной стороны.

а)

Длина стороны квадрата $a = 5$ см.
Подставляем это значение в формулу периметра:
$P = 4 \times 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
Ответ: 20 см.

б)

Длина стороны квадрата $a = 7$ см 5 мм.
Способ 1: Вычисление с составными единицами.
Умножим сантиметры и миллиметры на 4 по отдельности:
$P = 4 \times (7 \text{ см } 5 \text{ мм}) = (4 \times 7 \text{ см}) + (4 \times 5 \text{ мм}) = 28 \text{ см } 20 \text{ мм}$.
Так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, то 20 мм = 2 см.
Теперь сложим сантиметры: $P = 28 \text{ см} + 2 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Способ 2: Перевод в одну единицу измерения.
Переведем длину стороны в миллиметры: $a = 7 \text{ см } 5 \text{ мм} = 70 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 75 \text{ мм}$.
Найдем периметр: $P = 4 \times 75 \text{ мм} = 300 \text{ мм}$.
Переведем результат обратно в сантиметры: $300 \text{ мм} = 30 \text{ см}$.
Ответ: 30 см.

в)

Длина стороны квадрата $a = 10$ см 3 мм.
Способ 1: Вычисление с составными единицами.
Умножим сантиметры и миллиметры на 4 по отдельности:
$P = 4 \times (10 \text{ см } 3 \text{ мм}) = (4 \times 10 \text{ см}) + (4 \times 3 \text{ мм}) = 40 \text{ см } 12 \text{ мм}$.
Так как 12 мм = 10 мм + 2 мм = 1 см 2 мм, то:
$P = 40 \text{ см} + 1 \text{ см } 2 \text{ мм} = 41 \text{ см } 2 \text{ мм}$.
Способ 2: Перевод в одну единицу измерения.
Переведем длину стороны в миллиметры: $a = 10 \text{ см } 3 \text{ мм} = 100 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 103 \text{ мм}$.
Найдем периметр: $P = 4 \times 103 \text{ мм} = 412 \text{ мм}$.
Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры: $412 \text{ мм} = 410 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 41 \text{ см } 2 \text{ мм}$.
Ответ: 41 см 2 мм.

9.22 Найдите периметр прямоугольника со сторонами, равными:

а) 22 м и 14 м;

б) 3 м 45 см и 1 м 70 см.

а)

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Даны стороны прямоугольника: $a = 22$ м и $b = 14$ м.

Подставим значения в формулу:

$P = 2 \times (22 + 14)$

$P = 2 \times 36$

$P = 72$ м

Ответ: 72 м.

б)

Даны стороны прямоугольника: $a = 3$ м 45 см и $b = 1$ м 70 см.

Для удобства вычислений можно работать с составными единицами измерения или перевести всё в одну единицу, например, в сантиметры. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Сложение в метрах и сантиметрах.

Сначала найдем сумму длин сторон:

$(3 \text{ м } 45 \text{ см }) + (1 \text{ м } 70 \text{ см }) = (3+1) \text{ м } + (45+70) \text{ см } = 4 \text{ м } 115 \text{ см }$

Так как 100 см = 1 м, то 115 см можно представить как 1 м 15 см.

Тогда сумма сторон равна: $4 \text{ м } + 1 \text{ м } 15 \text{ см } = 5 \text{ м } 15 \text{ см }$.

Теперь умножим сумму на 2, чтобы найти периметр:

$P = 2 \times (5 \text{ м } 15 \text{ см }) = 10 \text{ м } 30 \text{ см }$.

Способ 2: Перевод в сантиметры.

Переведем длины сторон в сантиметры, зная, что 1 м = 100 см:

$a = 3 \text{ м } 45 \text{ см } = 3 \times 100 \text{ см } + 45 \text{ см } = 345 \text{ см }$

$b = 1 \text{ м } 70 \text{ см } = 1 \times 100 \text{ см } + 70 \text{ см } = 170 \text{ см }$

Теперь найдем периметр по формуле:

$P = 2 \times (345 + 170)$

$P = 2 \times 515$

$P = 1030$ см

Переведем результат обратно в метры и сантиметры: $1030 \text{ см } = 10 \text{ м } 30 \text{ см }$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 10 м 30 см.

9.23 а) Периметр прямоугольника равен 36 см, длина одной стороны – 10 см. Найдите длину другой стороны прямоугольника.

б) Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его сторона?

а) Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию, периметр $P = 36$ см, а длина одной из сторон, пусть это будет $a$, равна 10 см. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину другой стороны $b$.

1. Запишем формулу с известными данными:

$36 = 2 \cdot (10 + b)$

2. Сначала найдем полупериметр (сумму двух смежных сторон), разделив периметр на 2:

$10 + b = 36 / 2$

$10 + b = 18$

3. Теперь найдем неизвестную сторону $b$, вычтя из полупериметра известную сторону:

$b = 18 - 10$

$b = 8$ см

Ответ: 8 см.

б) У квадрата все четыре стороны равны. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4s$, где $s$ — длина его стороны. По условию, периметр $P = 36$ см. Чтобы найти длину стороны квадрата, нужно его периметр разделить на 4.

$s = P / 4$

$s = 36 / 4$

$s = 9$ см

Ответ: 9 см.

9.24 Разметили два земельных участка прямоугольной формы. Размеры одного – 110 м и 190 м, а другого – 150 м и 140 м. У какого участка длина ограды будет больше?

Чтобы определить, у какого участка длина ограды будет больше, нужно вычислить периметр каждого прямоугольного участка. Длина ограды равна периметру.

1. Вычисление длины ограды первого участка

Размеры первого участка: длина $a_1 = 190$ м и ширина $b_1 = 110$ м. Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \times (a+b)$.

Подставим значения для первого участка:

$P_1 = 2 \times (190 \text{ м} + 110 \text{ м}) = 2 \times 300 \text{ м} = 600 \text{ м}$

2. Вычисление длины ограды второго участка

Размеры второго участка: длина $a_2 = 150$ м и ширина $b_2 = 140$ м.

Подставим значения для второго участка в ту же формулу:

$P_2 = 2 \times (150 \text{ м} + 140 \text{ м}) = 2 \times 290 \text{ м} = 580 \text{ м}$

3. Сравнение длин оград

Теперь сравним полученные периметры:

$P_1 = 600$ м

$P_2 = 580$ м

Поскольку $600 > 580$, длина ограды первого участка больше, чем длина ограды второго участка.

Ответ: длина ограды будет больше у первого участка (размером 110 м и 190 м).

9.25 Ищем способ копирования

Скопируйте рисунок 9.12 на лист нелинованной бумаги и раскрасьте его по-своему. Расскажите алгоритм построения.

Рис. 9.12

Для того чтобы скопировать рисунок, представленный в задаче, и описать алгоритм его построения, необходимо воспользоваться циркулем и линейкой. Алгоритм состоит из следующих шагов:

Алгоритм построения

1. Начертите на листе бумаги квадрат произвольного размера. Обозначим его вершины по часовой стрелке A, B, C, D, начиная с левого верхнего угла. Пусть длина стороны квадрата равна $a$.

2. Для полного соответствия исходному рисунку, найдите середины каждой из четырех сторон квадрата. Соедините отрезками середины противоположных сторон. Эти две линии разделят исходный квадрат на четыре равных малых квадрата и пересекутся в его центре.

3. Возьмите циркуль. Установите его острие в вершину A квадрата, а грифель — в вершину B. Таким образом, радиус циркуля будет равен стороне квадрата: $R=a$.

4. Проведите дугу окружности с центром в точке A и радиусом $a$. Дуга должна начинаться в вершине B и заканчиваться в вершине D, проходя внутри квадрата.

5. Не меняя установленный радиус циркуля, поочередно используйте остальные вершины квадрата в качестве центров для построения еще трех дуг:
• С центром в вершине B проведите дугу от вершины C до вершины A.
• С центром в вершине C проведите дугу от вершины D до вершины B.
• С центром в вершине D проведите дугу от вершины A до вершины C.

6. В результате пересечения этих четырех дуг в центре квадрата образуется искомый узор из четырех лепестков.

7. После завершения построения контуров, рисунок можно раскрасить по своему усмотрению, закрасив лепестки одним цветом, а оставшиеся области — другим.

Ответ: Для построения узора необходимо в квадрате со стороной $a$ провести четыре дуги окружности. Каждая дуга имеет радиус $R=a$ и в качестве центра использует одну из вершин квадрата. Дуга с центром в вершине A соединяет вершины B и D; дуга с центром в B соединяет A и C; дуга с центром в C соединяет B и D; дуга с центром в D соединяет A и C. Пересечение этих четырех дуг образует требуемую фигуру.

9.26 Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон. Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами. Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?

Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон. По условию, периметр равен 24 см.
$2 \cdot (a + b) = 24$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 12$
Сумма длин двух смежных сторон прямоугольника должна быть равна 12 см. Мы можем выбрать любые два числа, которые в сумме дают 12. Например, пусть одна сторона $a$ будет равна 8 см. Тогда вторая сторона $b$ будет:
$b = 12 - 8 = 4$ см.
Итак, можно начертить прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см.
Проверка: $P = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Ответ: Можно начертить прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см.

Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами.
Нам нужно найти другую пару чисел, сумма которых также равна 12. Возьмем, к примеру, сторону $a$ равной 10 см. Тогда сторона $b$ будет:
$b = 12 - 10 = 2$ см.
Получился прямоугольник со сторонами 10 см и 2 см.
Проверка: $P = 2 \cdot (10 + 2) = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Другие возможные пары сторон: 1 см и 11 см; 3 см и 9 см; 5 см и 7 см.
Ответ: Можно начертить прямоугольник со сторонами 10 см и 2 см.

Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. То есть, $a = b$.
Используем наше условие, что сумма смежных сторон равна 12 см:
$a + b = 12$
Так как $a = b$, мы можем заменить $b$ на $a$:
$a + a = 12$
$2a = 12$
$a = 12 / 2$
$a = 6$ см.
Значит, квадрат со стороной 6 см будет иметь периметр $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см. Это соответствует условию задачи.
Ответ: Да, может. Это будет квадрат со стороной 6 см.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (9.27–9.28)

9.27 Представьте, что вам надо определить периметр вашей классной комнаты, а у вас нет измерительных инструментов. Определите размеры комнаты на глаз, а затем проверьте себя, выполнив необходимые измерения.

Это практическое задание, результат которого зависит от размеров конкретной классной комнаты. Поскольку реальные измерения невозможны, ниже приведен пример решения для гипотетического помещения.

Определение размеров комнаты на глаз
Предположим, что классная комната имеет стандартную прямоугольную форму. При визуальном осмотре оценим ее длину и ширину. Допустим, наша оценка такова: длина комнаты составляет примерно 9 метров, а ширина — около 6 метров.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.
Рассчитаем предполагаемый периметр, исходя из нашей оценки:
$P_{оценка} = 2 \cdot (9 \text{ м} + 6 \text{ м}) = 2 \cdot 15 \text{ м} = 30 \text{ м}$.
Ответ: Предполагаемый периметр комнаты, определенный на глаз, составляет 30 метров.

Проверка себя, выполнив необходимые измерения
Так как по условию измерительных инструментов нет, воспользуемся подручным методом — измерением шагами. Для этого сначала нужно примерно определить среднюю длину своего шага. Предположим, что мы измерили ее заранее, и она составила 0,75 метра (75 см).
Теперь выполним измерения комнаты в шагах:
1. Пройдем вдоль длинной стены комнаты, делая ровные шаги. Допустим, у нас получилось 12 шагов.
Таким образом, измеренная длина комнаты составляет: $a = 12 \text{ шагов} \times 0,75 \text{ м/шаг} = 9 \text{ м}$.
2. Пройдем вдоль короткой стены. Допустим, здесь у нас получилось 8,5 шагов.
Измеренная ширина комнаты составляет: $b = 8,5 \text{ шагов} \times 0,75 \text{ м/шаг} = 6,375 \text{ м}$.
Теперь, используя полученные данные, рассчитаем точный периметр:
$P_{измерение} = 2 \cdot (9 \text{ м} + 6,375 \text{ м}) = 2 \cdot 15,375 \text{ м} = 30,75 \text{ м}$.
Сравнивая результаты, видим, что первоначальная оценка (30 м) была очень близка к результату, полученному при помощи измерений (30,75 м). Абсолютная погрешность составила всего 0,75 м, что является хорошим результатом для оценки на глаз.
Ответ: Периметр комнаты, полученный в результате измерений шагами, равен 30,75 м.

9.28 Представьте, что вам надо начертить план комнаты, имеющей форму прямоугольника, длина которого равна 4 м, ширина – 3 м. Пусть сторона одной клетки тетради изображает 1 м. Начертите такой прямоугольник. Затем начертите прямоугольник с такими же размерами, если 1 м изображается отрезком, равным 1 см.

Задача состоит из двух частей. В обеих частях нужно начертить план прямоугольной комнаты с реальными размерами 4 м на 3 м, но в разном масштабе.

Сначала определим размеры плана комнаты в клетках тетради.
Дано:
Длина комнаты = 4 м.
Ширина комнаты = 3 м.
Масштаб: 1 клетка = 1 м.

Чтобы найти длину плана в клетках, нужно реальную длину умножить на масштаб:
Длина на плане = $4 \text{ м} \times \frac{1 \text{ клетка}}{1 \text{ м}} = 4 \text{ клетки}$.

Чтобы найти ширину плана в клетках, нужно реальную ширину умножить на масштаб:
Ширина на плане = $3 \text{ м} \times \frac{1 \text{ клетка}}{1 \text{ м}} = 3 \text{ клетки}$.

Следовательно, в тетради нужно начертить прямоугольник, одна сторона которого равна 4 клеткам, а другая — 3 клеткам.

Ответ: Нужно начертить прямоугольник со сторонами 4 клетки и 3 клетки.

Теперь определим размеры плана комнаты в сантиметрах.
Дано:
Длина комнаты = 4 м.
Ширина комнаты = 3 м.
Масштаб: 1 см = 1 м.

Чтобы найти длину плана в сантиметрах, переводим метры в сантиметры согласно масштабу:
Длина на плане = $4 \text{ м} \times \frac{1 \text{ см}}{1 \text{ м}} = 4 \text{ см}$.

Аналогично находим ширину плана в сантиметрах:
Ширина на плане = $3 \text{ м} \times \frac{1 \text{ см}}{1 \text{ м}} = 3 \text{ см}$.

Следовательно, с помощью линейки нужно начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см.

Ответ: Нужно начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см.