Страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Какие из треугольников, изображённых на рисунке 9.1, являются равнобедренными? Есть ли среди них равносторонние треугольники?

Поскольку изображение содержит только текст вопроса, а сам рисунок 9.1 отсутствует, невозможно дать конкретный ответ, какие именно треугольники из показанных на нем являются равнобедренными или равносторонними. Однако, можно дать общее теоретическое разъяснение, которое поможет определить их на любом рисунке.

Какие из треугольников, изображённых на рисунке 9.1, являются равнобедренными?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. У равнобедренного треугольника есть характерные признаки, по которым его можно определить:

1. По сторонам: Если в треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, то он равнобедренный. На чертежах равные стороны обычно помечаются одинаковым количеством штрихов (например, по одной черточке на каждой из двух равных сторон).
2. По углам: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Эти равные углы находятся при основании треугольника, напротив равных боковых сторон.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проанализировать каждый треугольник на рисунке 9.1: измерить его стороны, если это возможно, или обратить внимание на данные (длины сторон, величины углов) и условные обозначения (штрихи на сторонах, дуги на углах).

Ответ: Равнобедренными являются те треугольники, у которых на чертеже обозначены две равные стороны или два равных угла.

Есть ли среди них равносторонние треугольники?

Равносторонний (или правильный) треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника, у которого все три стороны равны.

Признаки равностороннего треугольника:

1. По сторонам: Все три стороны треугольника равны между собой. На чертеже это обозначается одинаковыми штрихами на всех трех сторонах.
2. По углам: Все три угла треугольника равны и составляют $60^\circ$ каждый. Это следует из того, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, а у равностороннего все углы равны ($180^\circ / 3 = 60^\circ$).

Таким образом, любой равносторонний треугольник является и равнобедренным (так как у него как минимум две стороны равны). Чтобы найти равносторонние треугольники на рисунке, нужно искать те, у которых либо все три стороны помечены как равные, либо все углы равны $60^\circ$.

Ответ: Да, среди равнобедренных треугольников могут быть и равносторонние. Это те треугольники, у которых равны все три стороны или все три угла равны $60^\circ$.

Какие из данных треугольников являются остроугольными; тупоугольными; прямоугольными?

Поскольку на изображении не представлены сами треугольники, а только вопрос о них, невозможно указать, какие именно из них к какому типу относятся. Вместо этого, приведем определения и способы классификации треугольников.

Для определения типа треугольника по его сторонам, обозначим длины его сторон как $a$, $b$ и $c$, где $c$ — наибольшая сторона.

Треугольник называется остроугольным, если все три его внутренних угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше 90°.

Чтобы определить, является ли треугольник остроугольным по его сторонам, нужно проверить выполнение неравенства, которое является следствием теоремы косинусов. Квадрат самой длинной стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон:

$c^2 < a^2 + b^2$

Если это условие выполняется, то угол, лежащий напротив самой большой стороны, будет острым, а значит, и два других угла (которые заведомо меньше) также будут острыми.

Ответ: Остроугольными являются треугольники, у которых все три угла острые (меньше 90°).

Треугольник называется тупоугольным, если один из его внутренних углов является тупым, то есть его градусная мера больше 90°. В треугольнике может быть только один тупой угол.

Чтобы определить тупоугольный треугольник по его сторонам, нужно проверить следующее неравенство. Квадрат самой длинной стороны должен быть больше суммы квадратов двух других сторон:

$c^2 > a^2 + b^2$

Если это условие выполняется, то угол, лежащий напротив самой большой стороны $c$, будет тупым.

Ответ: Тупоугольными являются треугольники, у которых один из углов тупой (больше 90°).

Треугольник называется прямоугольным, если один из его внутренних углов является прямым, то есть равен ровно 90°.

Для определения прямоугольного треугольника по его сторонам используется теорема Пифагора. Квадрат самой длинной стороны (гипотенузы) должен быть равен сумме квадратов двух других сторон (катетов):

$c^2 = a^2 + b^2$

Если это равенство выполняется, то угол, лежащий напротив стороны $c$, является прямым.

Ответ: Прямоугольными являются треугольники, у которых один из углов прямой (равен 90°).

Назовите:

равнобедренный прямоугольный треугольник;

равнобедренный тупоугольный треугольник;

равнобедренный остроугольный треугольник.

равнобедренный прямоугольный треугольник
Это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$), а две стороны, образующие этот угол (катеты), равны между собой. В таком треугольнике углы при основании (гипотенузе) также равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Поскольку один угол равен $90^\circ$, на два других угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них составляет $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Таким образом, у равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.
Ответ: Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен $90^\circ$, а два других — по $45^\circ$.

равнобедренный тупоугольный треугольник
Это равнобедренный треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Если предположить, что угол при основании тупой, то сумма двух таких углов уже превысит $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, то есть угол, образованный равными сторонами. Углы при основании в таком треугольнике всегда будут острыми и равными.
Например, если тупой угол при вершине равен $110^\circ$, то каждый из углов при основании будет равен $(180^\circ - 110^\circ) / 2 = 35^\circ$.
Ответ: Равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого угол между равными сторонами больше $90^\circ$, а два угла при основании равны и острые.

равнобедренный остроугольный треугольник
Это равнобедренный треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из них как $\alpha$. Тогда угол при вершине будет равен $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Чтобы треугольник был остроугольным, все его углы должны быть меньше $90^\circ$.
- Углы при основании $\alpha$ по определению должны быть острыми: $\alpha < 90^\circ$.
- Угол при вершине $\gamma$ также должен быть острым: $180^\circ - 2\alpha < 90^\circ$. Из этого неравенства следует, что $90^\circ < 2\alpha$, или $\alpha > 45^\circ$.
Следовательно, в равнобедренном остроугольном треугольнике равные углы при основании должны быть в диапазоне от $45^\circ$ до $90^\circ$ ($45^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Частным и самым известным случаем является равносторонний треугольник, у которого все углы равны $60^\circ$. Другой пример: треугольник с углами $70^\circ$, $70^\circ$ и $40^\circ$.
Ответ: Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы меньше $90^\circ$, при этом два равных угла при основании имеют величину больше $45^\circ$.