Страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Какая из следующих задач является задачей на нахождение части целого, какая — на нахождение целого по его части? Решите каждую из этих задач.

1) В школьных спортивных соревнованиях приняло участие $3/5$ учащихся пятых классов. А всего в пятых классах учатся 75 ребят. Сколько пятиклассников участвовало в соревнованиях?

2) В спортивных соревнованиях участвовало 45 пятиклассников. Это составило $3/5$ учащихся пятых классов. Сколько всего учащихся в пятых классах?

Первая задача — это задача на нахождение части целого, так как известно общее количество (целое) и нужно найти его часть. Вторая задача — на нахождение целого по его части, так как известна часть и какую долю она составляет, а найти нужно общее количество (целое).

1) В этой задаче нам известно целое — общее количество пятиклассников (75 человек) — и нам нужно найти его часть, а именно $\frac{3}{5}$ от этого числа. Чтобы найти часть от целого, нужно умножить целое на дробь, которая выражает эту часть.

Решение:

$75 \cdot \frac{3}{5} = \frac{75 \cdot 3}{5} = 15 \cdot 3 = 45$ (пятиклассников).

Ответ: 45 пятиклассников участвовало в соревнованиях.

2) В этой задаче нам известна часть — количество участников соревнований (45 человек) — и мы знаем, что эта часть составляет $\frac{3}{5}$ от всех учащихся пятых классов. Нам нужно найти целое (общее количество учащихся). Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на соответствующую ей дробь.

Решение:

$45 : \frac{3}{5} = 45 \cdot \frac{5}{3} = \frac{45 \cdot 5}{3} = 15 \cdot 5 = 75$ (учащихся).

Ответ: всего в пятых классах 75 учащихся.

Приведите свои примеры задач этих двух типов.

Поскольку в вопросе не уточняется, о каких двух типах задач идет речь, приведем примеры на одну из самых распространенных пар в математике: задачи на нахождение части от целого и задачи на нахождение целого по его части.

Задача на нахождение части от целого

Условие: В книге 300 страниц. Ученик прочитал 2/5 книги. Сколько страниц прочитал ученик?

Решение:
Чтобы найти, сколько страниц прочитал ученик, нам нужно найти 2/5 от общего количества страниц (300).
1. Сначала найдем, сколько страниц составляет 1/5 книги. Для этого разделим общее количество страниц на знаменатель дроби:
$300 \div 5 = 60$ (страниц) — это 1/5 книги.
2. Теперь найдем, сколько страниц составляют 2/5 книги. Для этого умножим количество страниц в одной пятой на числитель дроби:
$60 \times 2 = 120$ (страниц).
Решение можно записать одним выражением:
$300 \times \frac{2}{5} = \frac{300 \times 2}{5} = 60 \times 2 = 120$ (страниц).
Ответ: 120 страниц.

Задача на нахождение целого по его части

Условие: В школьной олимпиаде по математике приняли участие 42 ученика, что составило 15% от всех учащихся школы. Сколько всего учеников в школе?

Решение:
Нам известно, что 42 ученика — это 15% от общего числа учащихся. Обозначим общее число учащихся за $X$.
1. Сначала найдем, сколько учеников приходится на 1%. Для этого разделим известное количество учеников на соответствующее им число процентов:
$42 \div 15 = 2.8$ (ученика) — это 1%.
2. Общее число учащихся — это 100%. Чтобы найти его, умножим количество учеников в одном проценте на 100:
$2.8 \times 100 = 280$ (учеников).
Также можно решить, переведя проценты в дробь ($15\% = 0.15$) и разделив известную часть на эту дробь:
$X = 42 \div 0.15 = 4200 \div 15 = 280$ (учеников).
Ответ: 280 учеников.

8.133 а) В классе 32 ученика, $ \frac{3}{4} $ из них приняло участие в лыжной гонке. Сколько учеников участвовало в лыжной гонке?

б) От тесьмы, длина которой 10 м, отрезали $ \frac{2}{5} $ её длины, чтобы завязать коробку с подарками. Сколько метров тесьмы отрезали?

а) В классе 32 ученика. Чтобы найти, сколько из них приняло участие в лыжной гонке, нужно вычислить $\frac{3}{4}$ от общего числа учеников. Для этого мы умножаем общее количество учеников на дробь:

$32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4}$

Можно сначала разделить 32 на знаменатель 4, а затем умножить на числитель 3:

$(32 \div 4) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ (ученика).

Таким образом, в лыжной гонке участвовало 24 ученика.

Ответ: 24 ученика.

б) Длина тесьмы составляет 10 метров. Чтобы найти, сколько метров отрезали, нужно вычислить $\frac{2}{5}$ от её общей длины. Для этого умножаем длину тесьмы на эту дробь:

$10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 2}{5}$

Можно сначала разделить 10 на знаменатель 5, а затем умножить на числитель 2:

$(10 \div 5) \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$ (метра).

Следовательно, от тесьмы отрезали 4 метра.

Ответ: 4 метра.

8.134 а) В коробке 300 разноцветных шариков. Синие шарики составляют $\frac{4}{15}$ всех шариков, красные – $\frac{3}{20}$, жёлтые – $\frac{2}{25}$. Сколько в коробке шариков каждого из этих цветов?

б) На странице 2000 букв, причём $\frac{1}{20}$ всех букв составляет буква «а», $\frac{3}{50}$ – буква «и», $\frac{3}{100}$ – буква «м», $\frac{3}{1000}$ – буква «ь». Сколько раз встречается на странице каждая из этих букв?

а)

Чтобы найти количество шариков каждого цвета, необходимо общее количество шариков умножить на долю, которую составляет каждый цвет.

1. Количество синих шариков:

$300 \cdot \frac{4}{15} = \frac{300 \cdot 4}{15} = 20 \cdot 4 = 80$ (шариков)

2. Количество красных шариков:

$300 \cdot \frac{3}{20} = \frac{300 \cdot 3}{20} = 15 \cdot 3 = 45$ (шариков)

3. Количество жёлтых шариков:

$300 \cdot \frac{2}{25} = \frac{300 \cdot 2}{25} = 12 \cdot 2 = 24$ (шарика)

Ответ: в коробке 80 синих, 45 красных и 24 жёлтых шарика.

б)

Чтобы определить, сколько раз встречается каждая буква на странице, нужно общее количество букв умножить на долю, которую составляет каждая буква.

1. Количество букв «а»:

$2000 \cdot \frac{1}{20} = \frac{2000}{20} = 100$ (раз)

2. Количество букв «и»:

$2000 \cdot \frac{3}{50} = \frac{2000 \cdot 3}{50} = 40 \cdot 3 = 120$ (раз)

3. Количество букв «м»:

$2000 \cdot \frac{3}{100} = \frac{2000 \cdot 3}{100} = 20 \cdot 3 = 60$ (раз)

4. Количество букв «ъ»:

$2000 \cdot \frac{3}{1000} = \frac{2000 \cdot 3}{1000} = 2 \cdot 3 = 6$ (раз)

Ответ: буква «а» встречается 100 раз, буква «и» – 120 раз, буква «м» – 60 раз, буква «ъ» – 6 раз.