Страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.146 Туристы прошли свой маршрут за два дня. В первый день они прошли $\frac{3}{10}$ маршрута и ещё $4\frac{1}{2}$ км, во второй день $\frac{3}{5}$ маршрута и оставшиеся $2\frac{1}{2}$ км. Чему равна длина маршрута?

Для решения задачи обозначим общую длину маршрута переменной $x$ (в км).

Согласно условию, маршрут был пройден за два дня.

Расстояние, пройденное в первый день, составляет $\frac{3}{10}$ всего маршрута и ещё $4\frac{1}{2}$ км. Математически это можно записать так:
$S_1 = \frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2}$

Расстояние, пройденное во второй день, составляет $\frac{3}{5}$ всего маршрута и оставшиеся $2\frac{1}{2}$ км. Это можно записать как:
$S_2 = \frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2}$

Общая длина маршрута $x$ равна сумме расстояний, пройденных в первый и второй дни ($x = S_1 + S_2$). Составим уравнение на основе этих данных:
$x = \left(\frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2}\right)$

Теперь решим это уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые: отдельно члены с переменной $x$ и отдельно числовые значения.
$x = \left(\frac{3}{10}x + \frac{3}{5}x\right) + \left(4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2}\right)$

Выполним сложение числовых значений:
$4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} = 4.5 + 2.5 = 7$

Теперь сложим члены с переменной $x$. Для этого приведём дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
$\frac{3}{10}x + \frac{6}{10}x = \frac{3+6}{10}x = \frac{9}{10}x$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:
$x = \frac{9}{10}x + 7$

Перенесём слагаемое $\frac{9}{10}x$ в левую часть уравнения, изменив его знак:
$x - \frac{9}{10}x = 7$

Представим $x$ как $\frac{10}{10}x$ и выполним вычитание:
$\frac{10}{10}x - \frac{9}{10}x = 7$
$\frac{1}{10}x = 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 10:
$x = 7 \cdot 10$
$x = 70$

Таким образом, полная длина маршрута составляет 70 км.

Ответ: 70 км.

8.147 Старинная задача. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась $\frac{1}{4}$ этой суммы, на долю второго $\frac{1}{7}$, а на долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Для решения задачи обозначим всю сумму выигрыша переменной $x$.

Согласно условию, доля первого игрока составляет $\frac{1}{4}$ от всей суммы, то есть $\frac{1}{4}x$.

Доля второго игрока составляет $\frac{1}{7}$ от всей суммы, то есть $\frac{1}{7}x$.

Доля третьего игрока составляет 17 флоринов.

Сумма долей всех троих игроков равна всему выигрышу $x$. Можно составить уравнение:

$\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x$

Для решения этого уравнения сначала найдем, какую долю от всего выигрыша составляют 17 флоринов третьего игрока. Для этого вычтем из всего выигрыша (который равен 1) доли первого и второго игроков.

Сначала сложим доли первого и второго игроков:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 28:

$\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}$

Это общая доля первого и второго игроков. Теперь найдем долю третьего игрока:

$1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28}$

Таким образом, 17 флоринов, которые получил третий игрок, составляют $\frac{17}{28}$ от всей суммы выигрыша.

Теперь мы можем найти всю сумму выигрыша $x$. Если $\frac{17}{28}$ от $x$ равны 17, то:

$\frac{17}{28}x = 17$

Чтобы найти $x$, разделим 17 на дробь $\frac{17}{28}$:

$x = 17 \div \frac{17}{28} = 17 \cdot \frac{28}{17} = 28$

Весь выигрыш составляет 28 флоринов.

Проверим решение:

• Доля первого: $\frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ флоринов.
• Доля второго: $\frac{1}{7} \cdot 28 = 4$ флорина.
• Доля третьего: 17 флоринов.
• Общая сумма: $7 + 4 + 17 = 28$ флоринов.

Ответ: весь выигрыш составил 28 флоринов.

8.148 Представьте данное число всеми возможными способами в виде произведения двух множителей (произведения, различающиеся только порядком множителей, считайте одинаковыми):

а) 36;

б) 60;

в) 63.

а) Чтобы представить число 36 в виде произведения двух множителей, нужно найти все его делители и сгруппировать их в пары. Условие, что произведения, различающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми, означает, что для каждой пары множителей $(a, b)$ мы ищем только те, где $a \le b$. Будем перебирать все целые числа, начиная с 1, и проверять, являются ли они делителями 36.
$1 \cdot 36 = 36$
$2 \cdot 18 = 36$
$3 \cdot 12 = 36$
$4 \cdot 9 = 36$
$5$ не является делителем 36.
$6 \cdot 6 = 36$
Так как $6 \times 6 = 36$, мы дошли до "середины". Следующий делитель, 9, уже был найден в паре с 4 ($4 \cdot 9$). Таким образом, все возможные способы найдены.
Ответ: $36 = 1 \cdot 36$; $36 = 2 \cdot 18$; $36 = 3 \cdot 12$; $36 = 4 \cdot 9$; $36 = 6 \cdot 6$.

б) Аналогично найдем все пары множителей для числа 60. Будем искать делители, не превосходящие квадратный корень из 60, то есть $d \le \sqrt{60} \approx 7.7$.
$1 \cdot 60 = 60$
$2 \cdot 30 = 60$
$3 \cdot 20 = 60$
$4 \cdot 15 = 60$
$5 \cdot 12 = 60$
$6 \cdot 10 = 60$
Следующий делитель числа 60 - это 10, но он уже является вторым множителем в последней найденной паре. Значит, мы перечислили все уникальные произведения.
Ответ: $60 = 1 \cdot 60$; $60 = 2 \cdot 30$; $60 = 3 \cdot 20$; $60 = 4 \cdot 15$; $60 = 5 \cdot 12$; $60 = 6 \cdot 10$.

в) Найдем все пары множителей для числа 63. Будем искать делители, не превосходящие $\sqrt{63} \approx 7.9$.
$1 \cdot 63 = 63$
$63$ не делится на 2, так как оно нечетное.
$3 \cdot 21 = 63$
$63$ не делится на 4, 5, 6.
$7 \cdot 9 = 63$
Следующий делитель - 9, который уже присутствует в последней паре. Следовательно, все способы найдены.
Ответ: $63 = 1 \cdot 63$; $63 = 3 \cdot 21$; $63 = 7 \cdot 9$.

8.149 Сравните двумя способами дроби:

а) $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$.

а) Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{3}$

1 способ: Приведение к общему знаменателю.

Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 5 и 3. Так как 5 и 3 — простые числа, их НОК равно их произведению.

$НОК(5, 3) = 5 \times 3 = 15$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 15. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{4}{5}$ дополнительный множитель равен $15 \div 5 = 3$:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$

Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $15 \div 3 = 5$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{12}{15}$ и $\frac{10}{15}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

Так как $12 > 10$, то $\frac{12}{15} > \frac{10}{15}$. Следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{2}{3}$.

2 способ: Преобразование в десятичные дроби.

Переведем каждую обыкновенную дробь в десятичную, разделив ее числитель на знаменатель.

$\frac{4}{5} = 4 \div 5 = 0.8$

$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6)$

Теперь сравним полученные десятичные дроби $0.8$ и $0.666...$.

Так как цифра в разряде десятых у первой дроби (8) больше, чем у второй (6), то $0.8 > 0.666...$.

Следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{5} > \frac{2}{3}$

б) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$

1 способ: Приведение к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. Для знаменателей 5 и 10 наименьшим общим кратным является 10, так как 10 делится на 5 без остатка.

$НОК(5, 10) = 10$.

Дробь $\frac{3}{10}$ уже имеет знаменатель 10. Приведем дробь $\frac{2}{5}$ к этому знаменателю. Дополнительный множитель для нее равен $10 \div 5 = 2$.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$

Теперь сравним дроби $\frac{4}{10}$ и $\frac{3}{10}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители.

Поскольку $4 > 3$, то $\frac{4}{10} > \frac{3}{10}$. Следовательно, $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.

2 способ: Преобразование в десятичные дроби.

Переведем каждую дробь в десятичную.

$\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4$

$\frac{3}{10} = 3 \div 10 = 0.3$

Сравним полученные десятичные дроби $0.4$ и $0.3$.

Так как $0.4 > 0.3$, то $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$

8.150 Вычислите:

а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} - \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\right)$;

б) $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{6}{7}$;

в) $\left(\frac{2}{5} - \frac{2}{7}\right) : \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5}$;

г) $\left(\frac{5}{6} - \frac{3}{10}\right) : \left(\frac{3}{10} + \frac{2}{15}\right)$.

а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} - (\frac{5}{6} - \frac{1}{4})$

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12.
$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12}$.
2. Вторым действием выполним умножение. Сократим дроби перед умножением.
$\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.
3. Третьим действием выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{7}{12} = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} = \frac{8 - 7}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{6}{7}$

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение.
$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{12}{35}$.
2. Теперь выражение выглядит так: $\frac{3}{5} + \frac{12}{35} + \frac{6}{7}$. Выполним сложение. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю 35.
$\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{12}{35} + \frac{6 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{12}{35} + \frac{30}{35}$.
3. Сложим числители полученных дробей.
$\frac{21 + 12 + 30}{35} = \frac{63}{35}$.
4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7.
$\frac{63 \div 7}{35 \div 7} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}$.

в) $(\frac{2}{5} - \frac{2}{7}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5}$

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 5 и 7 равен 35.
$\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7}{35} - \frac{2 \cdot 5}{35} = \frac{14 - 10}{35} = \frac{4}{35}$.
2. Деление и умножение выполняются по порядку слева направо. Сначала выполним деление.
$\frac{4}{35} : \frac{2}{7} = \frac{4}{35} \cdot \frac{7}{2}$.
3. Сократим дроби перед умножением.
$\frac{4 \cdot 7}{35 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5}$.
4. Теперь выполним умножение.
$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$.

г) $(\frac{5}{6} - \frac{3}{10}) : (\frac{3}{10} + \frac{2}{15})$

1. Выполним действие в первой скобке. Общий знаменатель для 6 и 10 равен 30.
$\frac{5}{6} - \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 5}{30} - \frac{3 \cdot 3}{30} = \frac{25 - 9}{30} = \frac{16}{30}$. Сократим дробь на 2: $\frac{8}{15}$.
2. Выполним действие во второй скобке. Общий знаменатель для 10 и 15 равен 30.
$\frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 3}{30} + \frac{2 \cdot 2}{30} = \frac{9 + 4}{30} = \frac{13}{30}$.
3. Выполним деление результатов, полученных в скобках.
$\frac{8}{15} : \frac{13}{30} = \frac{8}{15} \cdot \frac{30}{13}$.
4. Сократим дроби перед умножением.
$\frac{8}{15} \cdot \frac{30}{13} = \frac{8 \cdot 2}{1 \cdot 13} = \frac{16}{13}$.
Ответ: $\frac{16}{13}$.

8.151 Постройте в тетради отрезок OA и проведите окружность радиусом OA. Проведите радиусы OB, OC и OD так, чтобы $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, $\angle AOD = 135^\circ$ (транспортир не используйте). Чему равен угол DOB?

Для решения задачи выполним построение и вычисления.

Построение

Поскольку использование транспортира запрещено, мы будем строить углы с помощью циркуля и линейки.

1. Начертим произвольный отрезок OA и проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA.
2. Для построения угла $ \angle AOC = 90^\circ $, построим прямую, перпендикулярную лучу OA и проходящую через точку O. Для этого продлим отрезок AO за точку O. Поставим иглу циркуля в точку O и проведем дугу, пересекающую прямую в двух точках (назовем их P и Q). Затем из точек P и Q проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем OA) так, чтобы они пересеклись. Соединим точку O с точкой пересечения этих дуг. Луч, который мы получили, будет перпендикулярен OA. Точку пересечения этого луча с нашей окружностью назовем C. Таким образом, мы построили $ \angle AOC = 90^\circ $.
3. Для построения угла $ \angle AOB = 45^\circ $, разделим угол $ \angle AOC $ пополам (построим его биссектрису). Для этого из точек A и C проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $ \angle AOC $. Через точку пересечения этих дуг и точку O проведем луч. Точку пересечения этого луча с окружностью назовем B. Так как $ 45^\circ = 90^\circ / 2 $, то $ \angle AOB = 45^\circ $.
4. Для построения угла $ \angle AOD = 135^\circ $, заметим, что $ 135^\circ = 90^\circ + 45^\circ $. У нас уже есть угол $ \angle AOC = 90^\circ $. Теперь нам нужно отложить от луча OC угол в $ 45^\circ $ в сторону, противоположную лучу OA. Для этого построим биссектрису угла, смежного с углом $ \angle AOC $. Продлим луч AO за точку O до пересечения с окружностью в точке A'. Угол $ \angle A'OC = 90^\circ $. Построим биссектрису угла $ \angle A'OC $. Точку пересечения биссектрисы с окружностью назовем D. Тогда $ \angle COD = 45^\circ $. Угол $ \angle AOD $ будет равен сумме углов $ \angle AOC $ и $ \angle COD $: $ \angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ $.

Нахождение угла DOB

Угол $ \angle DOB $ можно найти как разность углов $ \angle AOD $ и $ \angle AOB $, так как луч OB находится между лучами OA и OD по нашему построению.

$ \angle DOB = \angle AOD - \angle AOB $

Подставим известные значения:

$ \angle DOB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ $

Также можно было найти этот угол, сложив углы $ \angle DOC $ и $ \angle COB $. Из построения мы знаем, что $ \angle DOC = 45^\circ $. Угол $ \angle COB $ можно найти как разность: $ \angle COB = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Тогда $ \angle DOB = \angle DOC + \angle COB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $.

Ответ: Угол DOB равен $90^\circ$.